精品解析：北京市北京大学附属中学2025-2026学年第二学期行知/未名学院高一年级期中考试数学试卷

2025—2026学年第二学期行知/未名学院高一年级期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若扇形的弧长等于其半径的3倍，则扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. 3 B. C. D. 1 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，图象有多于1条对称轴，且相邻对称轴距离为的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆相交于点.若角的终边逆时针旋转，与角的终边重合，则（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知在三角形中，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 将函数的图象向右平移（）个单位，得到函数的图象.若与的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. “”是“存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列关于的性质：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④在区间上是增函数.其中正确的个数是（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 函数的最小正周期为______. 12. 已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 13. 已知函数，其中.若，且在区间上单调，则______. 14. 已知函数，若方程在的解为，（），则______，______. 15. 如图所示，在两年的时间跨度内，太阳直射点的纬度数（单位：度）与时间（单位：天）近似满足如下的正弦型函数关系式：（），其中，，为常数，，，. 由地理学的知识，的变化周期为一年（按365天计算）.的最大值为北回归线的纬度数（取23.5），此时对应夏至日；的最小值为南回归线的纬度数（取），此时对应冬至日.当时，对应春分或秋分.给出下列结论：①；②；③已知2026年夏至日为6月21日，若对应于2026年7月21日，则；④已知越南古都顺化的纬度数约为16.5，据此可以估算：顺化一年中约有三个月的时间正午日影朝南（即太阳直射点纬度数大于该地）.其中所有正确结论的序号是______.（注：，忽略闰年对日期计算的影响.） 三、解答题.共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知，. （1）求和的值； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的最值，并求出取得最值时相应的值； （2）设函数，，若的最小值为1，求的取值范围. 18. 已知函数（，），从下列三个条件中选择两个作为已知，使得函数存在：条件①：的图象经过点；条件②：在区间上单调；条件③：若对任意，恒成立，则的最小值为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的单调递增区间； （3）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.若函数在区间上恰好有2个零点，求的取值范围. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 对平面直角坐标系中的点，，定义运算.若由平面内个点（）组成的集合满足：对任意，（与可能相等），，且原点，则称为“集合”. （1）设，，计算并化简： ①； ②. （2）判断是否是“集合”？若是，给出证明；若不是，说明理由； （3）若是“集合”，点是的元素，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期行知/未名学院高一年级期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若扇形的弧长等于其半径的3倍，则扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】设扇形弧长为，半径为，圆心角为，则， 已知， ． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以或， 又，所以. 4. 下列函数中，图象有多于1条对称轴，且相邻对称轴距离为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数性质，逐一分析函数的对称轴情况即可. 【详解】选项A：，正切函数的图像是中心对称图形，没有对称轴，A错误； 选项B：是一个偶函数，仅关于轴对称，不满足“多于1条”的条件， B错误； 选项C：，是将的图像位于轴下方的部分翻折到轴上方得到的. 其对称轴为（），相邻对称轴之间的距离为，C错误. 选项D： ，对称轴为，即（）. 相邻对称轴之间的距离为，且有无数条对称轴，D正确. 5. 已知在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆相交于点.若角的终边逆时针旋转，与角的终边重合，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，再由两角和的正弦与余弦公式求解即可. 【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，且角的终边逆时针旋转，与角的终边重合， 所以，，且， 所以 所以， 所以. 6. 已知在三角形中，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】在中，，则， 而，因此，解得，所以. 7. 将函数的图象向右平移（）个单位，得到函数的图象.若与的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移写出的表达式，利用“与关于轴对称即”建立等式，求解的最小值. 【详解】将的图像向右平移个单位，得到： 因为与的图像关于轴对称，所以，即： 因为， 所以， 化简得：，即， 因为，故当且仅当时，的最小值为. 8. “”是“存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，分别判断充分性和必要性是否成立. 【详解】若，则， 由余弦函数的周期性可得：  ，即成立，可推出成立，因此是的必要条件， 若，根据余弦方程性质， 可得：， 当时，两边同时除以2可得：， 当时，两边同时除以2可得：， 这说明由不一定能推出存在使得成立， 综上，是“存在，使得”的必要不充分条件。 9. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用单位圆得出时，，结合正弦函数、余弦函数的性质判断AB，由特殊值判断D，再利用时，的变化趋势判断C. 【详解】如图，单位圆中，是单位圆与轴正方向的交点， 是圆在第一象限的圆弧上的点，设，则， 作于点，则，， ，由图知，因此，B错误， 又，所以，A正确， 时，，时，， 时，，因此，D错误； 当时，，而，因此C错误. 10. 已知函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列关于的性质：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④在区间上是增函数.其中正确的个数是（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①应用诱导公式判断是否成立即可; ②③、的等量关系判断正误; ④判断上对应单调性，即可判断. 【详解】① ，所以是函数的一个周期，正确; 因为 ， 所以不关于直线对称，而关于点对称，②错误，③正确; ④，则，，. 因为在均递增，故在上单调递增，正确. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数周期即可求解. 【详解】由于函数的最小正周期为， 所以的最小正周期为. 12. 已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由最值点确定周期，由周期得出，然后再由最低点或最高点确定. 【详解】由题意，， ，， 又因为，所以. 13. 已知函数，其中.若，且在区间上单调，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到或，根据在区间上单调及余弦型函数性质得到，进一步判断求解即可. 【详解】由，得， 则 . 所以或， 解得或. 令，，则，， 单调递减区间为， 同理可得，单调递增区间为. 因为在区间上单调， 所以或. 又， 当时，或， 当时，或， 故，所以，解得. 情况1：，当时，，符合条件；当时，，不符合条件； 情况2：，当时，，不符合条件， 综上，. 验证：当时，， ，，满足； 当时，，又在上单调递减，所以也满足题意. 因此，. 14. 已知函数，若方程在的解为，（），则______，______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】通过换元法将关于的方程转化为关于的方程，再利用正弦函数性质得到和的关系，进而求出的值；再根据的关系可得的范围，即可求解. 【详解】因为，令，则， 又因为方程在该区间有两个解，， 在区间内，由函数的图象与性质可知， 方程的两个解，关于直线对称， 所以两个根满足，所以， 整理得，即； 由可知，，则，  利用三角恒等变换可得： ， 因为，所以， 又因为  ，所以， 又因为 ，所以，， 所以，因此. 15. 如图所示，在两年的时间跨度内，太阳直射点的纬度数（单位：度）与时间（单位：天）近似满足如下的正弦型函数关系式：（），其中，，为常数，，，. 由地理学的知识，的变化周期为一年（按365天计算）.的最大值为北回归线的纬度数（取23.5），此时对应夏至日；的最小值为南回归线的纬度数（取），此时对应冬至日.当时，对应春分或秋分.给出下列结论：①；②；③已知2026年夏至日为6月21日，若对应于2026年7月21日，则；④已知越南古都顺化的纬度数约为16.5，据此可以估算：顺化一年中约有三个月的时间正午日影朝南（即太阳直射点纬度数大于该地）.其中所有正确结论的序号是______.（注：，忽略闰年对日期计算的影响.） 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意求出正弦型函数解析式，并结合性质求解即可. 【详解】①正弦型函数，，则最大值为，最小值为， 所以，①错误. ②最小正周期为，所以，②正确. ③由题意知，夏至日对应，此时， 即，则，，解得，， 又，所以，③错误. ④. 令，则， 所以，， 解得，，区间长度约为91天，约3个月，④正确. 三、解答题.共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知，. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 ①因为，所以. 因为，， 代入得. ②. 所以. 【小问2详解】 ；. . 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的最值，并求出取得最值时相应的值； （2）设函数，，若的最小值为1，求的取值范围. 【答案】（1）最小值为，此时；最大值为1，此时 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出指定区间上的最值. （2）求出取得最小值1的条件，再确定相位的范围并列出不等式求解. 【小问1详解】 函数， 当时，，由，得， 由，得，则函数在上递增，在上递减， 而，因此，， 所以函数在上的最小值为，此时；最大值为1，此时. 【小问2详解】 函数，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时， 函数能取到，函数取得最小值1， 所以的取值范围是. 18. 已知函数（，），从下列三个条件中选择两个作为已知，使得函数存在：条件①：的图象经过点；条件②：在区间上单调；条件③：若对任意，恒成立，则的最小值为. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的单调递增区间； （3）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.若函数在区间上恰好有2个零点，求的取值范围. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）单调递增区间为 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）选择①，③，求解函数周期，由周期求解，再由的图象经过点代入求解即可. （2）利用正弦函数的单调区间，通过换元法求解即可. （3）先求解的解析式与零点，再分析区间长度. 【小问1详解】 选择①，②，因为的图象经过点，可知为一条对称轴，且，所以在区间上不单调，与②矛盾，故此时不满足题意； 选择②，③，因为对任意，恒成立，则的最小值为，所以， 则有，得到，即，又因为在区间上单调， 即，即，与③矛盾，此时不满足题意； 选择①，③，因为对任意，恒成立，则的最小值为， 所以，则有，得到， 又因为的图象经过点，所以，代入可可得， ， 解得，又因为， 所以取可得，所以. 【小问2详解】 正弦函数的单调递增区间为，令， 则，解得，结合区间， 取得得到，即函数在区间上的单调递增区间. 【小问3详解】 由题意可得，函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，再向上平移1个单位长度， 得到函数的图象， 所以 ，令，得， 即或， 即或，相邻零点间距为或交替出现， 所以最小长度包含间距的两个零点，长度为， 最大长度，包含间距的两个零点，则其长度趋近于，所以的取值范围为. 19. 对平面直角坐标系中的点，，定义运算.若由平面内个点（）组成的集合满足：对任意，（与可能相等），，且原点，则称为“集合”. （1）设，，计算并化简： ①； ②. （2）判断是否是“集合”？若是，给出证明；若不是，说明理由； （3）若是“集合”，点是的元素，证明：. 【答案】（1）， （2）是，证明： ， ， 由周期性知， 又因为，， 不可能同时为零，所以原点，所以为“集合”. （3） 反证法：设中有个元素(是一个有限的数) 假设是的元素，且， 因为是“集合”，所以原点，所以， 设， 定义 ,， ，有，所以互不相同， 所以中有无数个元素，矛盾.所以假设错误，所以，证毕. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义计算即可； （2）根据“集合”的定义验证即可； （3）采用反证法. 【小问1详解】 ①.，， ②.由①得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $