重难点22 与复数模有关的最值与范围问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点22 与复数模有关的最值与范围问题 一、复数的模 模长：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 三、复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 四、求复数模最值的方法 1.利用基本不等式求解 复数的模为,根据平方和的特征,用基本不等式求解是常用方法。 2.利用模的性质不等式求解 不等式应用广泛,当与对应向量平行或共线时,可利用此不等式性质求最值。 3.利用函数的有界性求解 通过复数的三角式将模表示为关于正弦或余弦的函数,可用其有界性求解。 4.利用函数的单调性求解 若复数的模能用单调函数表示,则可通过闭区间端点的函数值求得最值。 5.利用数形结合求解 数量的极端性与图形的特殊性是密切相关的,充分利用图形上的信息特征,常常可直观、简捷地解决问题。 复平面内一些复数式子的几何意义常见模型举例如下: (1)表示两点间的距离. (2)表示两点连接线段的垂直平分线. (3)表示以点为圆心,以为半径的圆. (4)表示“阿波罗尼斯圆”(阿氏圆). 题型一、与复数模有关的轨迹判断 1. 设，满足条件的点的集合表示的图形的面积为 ． 【答案】 【分析】设，根据向量模的计算公式得到，即可求出点的集合表示的图形的面积. 【详解】设，因为，所以， 则，所以点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上， 所以点的集合表示的图形的面积. 故答案为： 2. 复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（    ）. A．点 B．圆 C．线段 D．圆环 【答案】B 【分析】根据复数模的知识求得正确答案. 【解析】由于，故对应点到原点的距离为， 所以复平面内点Z的轨迹是单位圆. 故选：B 3.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案. 【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 4.设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【解答过程】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 5.设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2)． 【答案】(1)以原点为圆心，为半径的圆 (2)以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界 【分析】根据复数的几何意义可求解. 【解析】（1）因为，即，所以满足的点Z的集合是以原点为圆心，为半径的圆，如图①． （2）不等式可化为不等式组不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆内部及圆上所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集． 因此，满足条件的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界，如图②． 6.已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【答案】(1)表示以对应的点为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【分析】根据复数模的几何意义，即可求解. 【解析】（1）， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 所以表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 题型二、利用代数法求模的最值范围问题 7.设是复数，且，则的最大值是______，最小值是______. 【答案】 3 0 【分析】先设，再结合复数的乘法运算化简，再计算模长，结合二次函数的值域得出最值即可. 【详解】 设， 因为，所以，且， 则 ， 从而 . 故当时，取得最大值9，即的最大值为3； 当时，取得最小值0，即的最小值为0. 故答案为：3；0. 8.若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知关系求得变量关系，然后统一未知量，最后根据二次函数性质可得答案. 【解析】设=，， ，即， 化简得，， ∴， 根据二次函数性质可知，当时，取得最小值，此时，符合，， ∴的最小值为. 故答案为：. 9.已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为________ 【分析】根据得，进而得到，结合模的计算公式求出，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为， 10.已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围． 【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为， 则在上，函数图像上的点要在函数上面. 分情况讨论， 当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意. 当，不等式的解集不为，不合题意， 所以若不等式的解集为，必有. 根据图像知道，在1处刚好取等即可，则， 可得． 令，这是一个二次函数，函数图象开口向上． 当时，． 所以， 综上所得， 的取值范围是． 故答案为：．    11. 若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围. 【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上， 设圆上任意一点的坐标为，表示圆上的点到和两点距离之和， 即①， ①式平方得，由于，所以，所以， 所以，所以 . 故答案为：. 12. 已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据不等式求解. 【解析】因为，，的模长都为1，所以， 又的实部为，所以的虚部可能为， 所以，所以. 所以. 故答案为： 13.已知复数z满足，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】求复数的模 【分析】设，则由，得，然后令，给此式平方化简答案. 【详解】设，则由，得， 令 ， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以的取值范围为. 题型三、利用复数模的几何意义求单模长的最值范围问题 14.复数满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 15.复数z满足，则复数z的模的最大值是 ． 【答案】 【解析】表示对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 故复数的模即圆上的点到原点的距离，则. 故答案为：. 16. 已知复数满足，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】因为，所以， 所以的最大值为8. 故答案为：8 17. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】设复数，则， 即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆， ，其表示点到点的距离， 其最大值为到圆心的距离加上半径，即， 故答案为：. 18.已知复数满足，则的最大值为_______ 【解题思路】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【解答过程】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 19．复数，满足，，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【解答过程】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 20.已知复数满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，复数在以为圆心，半径的圆上，又由表示复数在复平面内对应的点到点的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义得，满足的复数在以为圆心，半径的圆上， 又由表示负数在复平面内对应的点到点的距离， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 21.如果复数满足，那么的最大值是 . 【答案】6 【分析】满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，结合图形与圆的性质即可求解. 【解析】根据复数的几何意义可知， 满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心， 以为半径的圆上， 的几何意义为圆上的动点 到的距离，如图： 当 三点共线时，且在圆心的两侧时，距离最大， 最大距离为， 故答案为：    22.已知复数分别满足，，则的最大值为_______ 【解题思路】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果. 【解答过程】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 23.已知复数z满足：，则的最小值是_______ 【解析】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为， 的最小值就是原点到直线的距离即为， 24. 设复数z满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为， 由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为， 所以取值范围为. 故答案为：. 25. 已知复数z满足，那么的取值范围为_________. 【答案】 【解析】设，由可得 即，表示点到点，的距离之和为2. 又点，之间的距离为2，所以表示z对应的点的轨迹是以，为端点的线段 表示z对应的点与 的距离， 如图在z取时有最小值3，z取或时有最大值， 故取值范围为. 故答案为： 题型四、利用复数模的几何意义求多模和差的最值范围问题 26. 若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 27. 若，则取值范围是___． 【答案】 【解析】由题意设(),则 其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差， 由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小， 则． 的取值范围是． 故答案为：． 28.已知复数满足，求的最小值 ． 【答案】13 【分析】由可得，代入代简得，则此式表示复平面上的点到点的距离和，求出关于实轴的对称点，从而可求得答案 【解析】因为复数满足， 所以， 所以， 所以， 解得，所以， 所以 ， 则上式表示复平面上的点到点的距离和， 因为关于实轴的对称点为， 所以 因为，当三点共线时取等号， 所以的最小值为13， 即的最小值为13， 故答案为：13 29.已知复数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出复数的轨迹，再根据复数的几何意义计算可得； 【解析】解：设，因为，所以，所以或，因为，所以的轨迹为，根据复数的几何意义可知表示复平面内点到与的距离和； 显然当，即时， 故答案为：    30.已知复数满足，求的最小值 ． 【答案】10 【分析】根据给定条件，可得，，再计算复数的模并结合几何意义计算作答. 【解析】复数，由，即， 于是得，整理得，，即， 表示点与点、距离的和， 显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，， 当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”， 所以的最小值是10. 故答案为：10 31.若，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，由模长公式得出，再由距离公式结合图象得出取值范围. 【解析】解：由题意设(),则 其几何意义为平面内一动点到两定点，距离之差， 由图可知，当，，三点共线时，距离之差最大，当时，最小， 则． 的取值范围是． 故答案为：．    题型五、综合问题 32. 已知复数满足：（），且在复平面上的对应点的轨迹经过点. （1）求的轨迹； （2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于、两点，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据复数模的几何意义判断出点的轨迹是双曲线的一支，结合点求得的轨迹方程. （2）求得直线的方程，联立直线的方程和的方程，化简后写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得高，由此求得的面积. 【详解】（1）由于复数满足：（），所以在复平面上的对应点到、两点的距离之差为常数，且.所以的轨迹是双曲线的右支.且.设轨迹的方程为，将点代入上式得，解得或（舍去），所以的轨迹方程为. （2）依题意，直线的方程为，由消去得. 设，则. 所以. 到直线的距离为. 所以. 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线中三角形面积的计算，考查复数模的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题. 33.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）运用纯虚数概念，构造方程计算即可； （2）先化简复数，再根据模长公式计算即可 （3）运用复数模长几何意义计算. 【解析】（1）因为，则， 所以， 又为纯虚数，所以，解得； （2）， 所以 （3）因为，即，所以对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 表示对应的点到点的距离 又因为圆心到的距离为， 所以最小值为 34.在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：.已知复数是方程的解. (1)若，求证； (2)若，复数且满足，在复平面内对应的点为，当取得最大值时，求点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件求出，并根据复数的乘方运算求解； （2）根据复数的几何意义求解. 【详解】（1）的解为或， 若，则 ， 所以； （2）若， 所以， 因为，向量的模等于1，所以满足条件的点的集合为以原点为圆心， 以1为半径的圆的圆周，为圆周上的点到的距离，当距离最大时，点的坐标为. 35.已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，此时 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 36.阅读下面问题的解法： 求复数的模的取值范围． 解：． 如图所示，设点A的坐标为，点B的坐标为，则即为点A、B之间的距离． ∵点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，∴，因此复数的模的取值范围是． 试运用类似上面的解法解下列问题：求函数的值域． 【答案】． 【分析】利用复数的几何意义求复数模的取值范围的解题思路，寻求利用斜率求三角函数值域． 【详解】如图所示，设A的坐标为， B的坐标为，则的斜率为， ∴函数的值域为直线的斜率的取值范围． 点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，方程为①， 过点A作圆的切线和，设切线方程为②， 将②代入①，得，整理得． ∵直线和圆相切， ∴，即③，又A在切线上， ∴④，由③、④得：，． ∴直线的斜率的取值范围是，则函数的值域是． 一、填空题 1.复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据，可得，从而可得对应的点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】设，则，所以， 因为，所以， 说明对于给定的，对应的点在以对应的点为圆心、1为半径的圆上运动， 又对应的点在连接和对应的点线段上移动， 所以对应点的移动范围的面积为， 即复数对应的点在复平面上移动的范围的面积是． 故答案为：． 2．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求解. 【详解】为， 表示复平面内复数z对应的点与点的距离为， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离， 而，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 3.已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设复数，由已知可得，进而根据可求最小值. 【详解】设复数，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故答案为：. 4.复数满足为虚数单位），则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数模的几何意义得出复数对应点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆上，结合圆的性质可得最大值和最小值，从而得范围． 【详解】由，可知复数对应点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆上， 如图，记，， 则复数模的最小值为，最大值为， 复数模的取值范围是． 故答案为：． 5.已知，且，i为虚数单位，则的最大值是_______ 【分析】设，由可知z对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由此可确定的最大值． 【详解】解：∵，故设，， ∴， ∴， 故复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵表示圆上的点到点的距离， ∴的最大值是， 故选：B． 6. i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 7. 若复数z满足，则的最小值.是_______ 【答案】 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，代入中化简，由，得或，利用复数模的几何意义求的最小值. 【详解】解：设（a、b为实数且不同时为0）， 则. 由题意可知， 得或. 当时，z的轨迹是x轴（除原点外）， 此时的几何意义为复数表示的点和的距离，此时； 当时，复数z的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图.    根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点A与的距离为. 8. 已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 9.已知，则的最小值为_______ 【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案. 【解析】由于，所以对应点在单位圆上， 表示单位圆上的点和点的距离， 其最小值为. 10.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是_____ 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【解析】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 11.已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 12.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是______ 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【解析】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 13. 已知复数满足，求的最小值______． 【答案】10 【解析】复数，由，即， 于是得，整理得，，即， 表示点与点、距离的和， 显然点P在x轴上，而线段AB与x轴相交，因此，， 当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时取“=”， 所以的最小值是10. 故答案为：10 14. 已知复数，在复平面内满足的点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知为坐标原点，直线与曲线交于两点，的面积为，求的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用复数模的运算来求轨迹方程即可； （2）利用直线与双曲线相交，求弦长和距离，即可通过面积得到方程求解参数的值. 【详解】（1）解：因为， 所以， 即， 两边平方得 化简得， 即. （2）解：设，由题意得， 由，消去y得， ， 则， 则， 从而有 点O到直线的距离， 则 ， 整理得，即， 解得或，均满足， 所以或. 15.已知向量，，，与夹角为90°． (1)若，求k的值； (2)设复数且复数满足．在最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2)-100 【分析】（1）先求出向量的坐标，然后由向量共线的坐标表示计算即可； （2）先求出数量积得到复数，根据复数的几何意义求解即可. 【详解】（1）∵，，且与夹角为90°， ∴，∴，∴，∴， ∵，，且， ∴，∴． （2）∵，，∴ 设，，∵，∴，即 又∵可看作到原点的距离， ∴圆上的点到原点的距离最大值为圆心到原点的距离加1， 即，∴的最大值为10，此时，，∴，． 16.已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 17.设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点22 与复数模有关的最值与范围问题 一、复数的模 模长：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 三、复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 四、求复数模最值的方法 1.利用基本不等式求解 复数的模为,根据平方和的特征,用基本不等式求解是常用方法。 2.利用模的性质不等式求解 不等式应用广泛,当与对应向量平行或共线时,可利用此不等式性质求最值。 3.利用函数的有界性求解 通过复数的三角式将模表示为关于正弦或余弦的函数,可用其有界性求解。 4.利用函数的单调性求解 若复数的模能用单调函数表示,则可通过闭区间端点的函数值求得最值。 5.利用数形结合求解 数量的极端性与图形的特殊性是密切相关的,充分利用图形上的信息特征,常常可直观、简捷地解决问题。 复平面内一些复数式子的几何意义常见模型举例如下: (1)表示两点间的距离. (2)表示两点连接线段的垂直平分线. (3)表示以点为圆心,以为半径的圆. (4)表示“阿波罗尼斯圆”(阿氏圆). 题型一、与复数模有关的轨迹判断 1. 设，满足条件的点的集合表示的图形的面积为 ． 2. 复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（    ）. A．点 B．圆 C．线段 D．圆环 3.若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 4.设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5.设，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2)． 6.已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 题型二、利用代数法求模的最值范围问题 7.设是复数，且，则的最大值是______，最小值是______. 8.若复数满足，，且（为虚数单位），则的最小值为 ． 9.已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为________ 10.已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 11. 若复数满足，则的取值范围是 . 12. 已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 13.已知复数z满足，求的取值范围. 题型三、利用复数模的几何意义求单模长的最值范围问题 14.复数满足，则的最大值为 . 15.复数z满足，则复数z的模的最大值是 ． 16. 已知复数满足，则的最大值为 . 17. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 . 18.已知复数满足，则的最大值为_______ 19．复数，满足，，则的最小值为__________. 20.已知复数满足，则的最小值为________． 21.如果复数满足，那么的最大值是 . 22.已知复数分别满足，，则的最大值为_______ 23.已知复数z满足：，则的最小值是_______ 24. 设复数z满足，则的取值范围是_________. 25. 已知复数z满足，那么的取值范围为_________. 题型四、利用复数模的几何意义求多模和差的最值范围问题 26. 若复数满足，则的最小值是_____ 27. 若，则取值范围是___． 28.已知复数满足，求的最小值 ． 29.已知复数满足，则的最小值为 . 30.已知复数满足，求的最小值 ． 31.若，则取值范围是 ． 题型五、综合问题 32. 已知复数满足：（），且在复平面上的对应点的轨迹经过点. （1）求的轨迹； （2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于、两点，求的面积. 33.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 34.在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：.已知复数是方程的解. (1)若，求证； (2)若，复数且满足，在复平面内对应的点为，当取得最大值时，求点的坐标. 35.已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 36.阅读下面问题的解法： 求复数的模的取值范围． 解：． 如图所示，设点A的坐标为，点B的坐标为，则即为点A、B之间的距离． ∵点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，∴，因此复数的模的取值范围是． 试运用类似上面的解法解下列问题：求函数的值域． 一、填空题 1.复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为 ． 2．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 . 3.已知复数满足，则的最小值为 ． 4.复数满足为虚数单位），则的取值范围是 ． 5.已知，且，i为虚数单位，则的最大值是_______ 6. i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 7. 若复数z满足，则的最小值.是_______ 8. 已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 9.已知，则的最小值为_______ 10.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是_____ 11.已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 12.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是______ 13. 已知复数满足，求的最小值______． 14. 已知复数，在复平面内满足的点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知为坐标原点，直线与曲线交于两点，的面积为，求的值； 15.已知向量，，，与夹角为90°． (1)若，求k的值； (2)设复数且复数满足．在最大时，求此时的值． 16.已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 17.设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $