重难点21 复数中七类参数问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点21 复数中七类参数问题 题型一：根据复数的分类求参数 1.若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 2.已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 3.已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 4. 已知(i是虚数单位)，则实数x的值为 ． 5. 已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为　　 A．1 B．3 C．1或3 D．0 6. 设复数，其中i为虚数单位，． (1)若，求的模； (2)若是纯虚数，求实数a的值. 7. 已知复数，，其中i为虚数单位. (1)若，求； (2)若复数z为纯虚数，求的值. 题型二：根据复数的相等条件求参数 8. 已知，，则a＝ ； 9. 已知成立，求实数a的值. 10. 已知x、，若，则 ． 11.已知为z的共轭复数，若，求z. 12.已知复数，为实数），并且，则实数　　． 13.已知复数，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型三：根据复数的四则运算求参数 14.已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 15．（22-23高一下·上海长宁·期末）若复数，则实数 ． 16.记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17.若，，则实数，应满足的条件为 . 18.已知复数． (1)求的实部与虚部； (2)若，求和的值． 题型四：根据复数的几何意义求参数 19.在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为 ． 20.已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 21.已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（    ） A． B． C． D． 22.已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数). (1)求实数的值及复数的模； (2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 23. 已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 24.已知，其中． (1)若为纯虚数，求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 题型五：根据复数的模求参数 25.已知复数满足，则（  ） A． B． C．2 D．4 26.已知复数的模为，则实数 ． 27.已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 28.已知（其中i为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围. 29.已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 30.已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 题型六：根据实系数一元二次方程的根的情况求参数 31.设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 32.若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则 . 33.关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ． 34.设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 35.关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ． 36.设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 37.已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 38.已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 39.设常数，已知关于的方程. (1)若，求该方程的复数根； (2)若方程的两个复数根为、，且，求的值. 题型七：综合问题求参数 40.已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为 ． 41.已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（    ） A． B． C． D． 42.已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 . 43.已知个两两互不相等的复数、、、、、，满足，且（其中、2；、1、2、、），则的最大值为 44.设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 45.已知O为坐标原点，复数，，，，在复平面内对应的向量分别为，，， (1)若点C在复平面的虚轴上，且．求出实数t与n的值； (2)若点C在直线y＝1上，且向量，求出实数m的取值，并计算． 46.已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 47.已知，，，是复平面内的四个点，其中，且向量对应的复数分别为，且． (1)求； (2)若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点21 复数中七类参数问题 题型一：根据复数的分类求参数 1.若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【来源】江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 2.已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【解析】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 3.已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解的值． 【解答】解：为虚数单位）为纯虚数， ，， 故选：． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题． 4. 已知(i是虚数单位)，则实数x的值为 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】结合实数能比较大小、复数的知识来求得实数的值. 【详解】依题意， 所以，， 解得. 故答案为： 5. 已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为　　 A．1 B．3 C．1或3 D．0 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【解答】解：纯虚数， 则，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题． 6. 设复数，其中i为虚数单位，． (1)若，求的模； (2)若是纯虚数，求实数a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用复数乘法化简复数，进而求模长； （2）应用复数乘法化简，根据纯虚数定义列方程求参数即可. 【解析】（1）由题设，则， 所以的模为. （2）由题意，为纯虚数， 所以，解得. 7. 已知复数，，其中i为虚数单位. (1)若，求； (2)若复数z为纯虚数，求的值. 【答案】(1)5； (2)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】（1）时求出，再由复数模的公式求解； （2）由复数为纯虚数，根据虚部、实部满足条件求解即可. 【详解】（1）时，，所以. （2）因为复数z为纯虚数， 所以，即， 解得或. 题型二：根据复数的相等条件求参数 8. 已知，，则a＝ ； 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等即可求出结果. 【详解】因为， 则由复数相等可得：， 即. 故答案为：. 9. 已知成立，求实数a的值. 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以由， 可得解得或. 所以实数的值为. 10. 已知x、，若，则 ． 【答案】2 【知识点】复数的相等 【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解. 【详解】由题意，得， 所以. 故答案为：2. 11.已知为z的共轭复数，若，求z. 【答案】或 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】由复数的乘法公式及复数相等的充要条件求解. 【详解】解：设（a、）， 则（a、）. 由题意得，即， 则有解得或 所以或. 12.已知复数，为实数），并且，则实数　　． 【分析】由复数相等的定义得到，从而，由此能求出结果． 【解答】解：复数，为实数），并且， ， 实数． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查复数相等、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 13.已知复数，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【解析】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 题型三：根据复数的四则运算求参数 14.已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可． 【解析】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 15．（22-23高一下·上海长宁·期末）若复数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【解析】因为， 所以，解得． 故答案为：． 16.记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个计算，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第二象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第三象限， ， 即复数在复平面内对应的点位于第四象限， 故的最小值为. 故选：C. 17.若，，则实数，应满足的条件为 . 【答案】或 【分析】根据复数的运算得出，再由复数是实数的条件得出实数，应满足的条件. 【详解】 因为，故有,所以或， 即或是a，b应满足的条件. 故答案为：或. 【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题. 18.已知复数． (1)求的实部与虚部； (2)若，求和的值． 【答案】(1)的实部为，虚部为； (2)． 【分析】（1）利用复数的除法运算化简，再根据实部和虚部的概念求解； （2）利用共轭复数、复数的模长公式代入计算，根据复数相等列方程组，求解即可. 【详解】（1）因为， 所以的实部为，虚部为． （2）由（1）知，则，， 代入，得， 化简可得， 所以，解得. 题型四：根据复数的几何意义求参数 19.在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，点C与点D关于虚轴对称，若圆M经过A，B，C，D四点，则圆M的半径为 ． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点A，B，C，D的坐标，进而根据复数的几何意义即可求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以， 又向量所对应的复数为，所以， 因为点C所对应的复数为，所以, 又因为点C与点D关于虚轴对称，所以， 设所对应的复数为， 则，故点A，B，C，D四点在以为圆心，为半径的圆上，即圆M，故圆M的半径为. 故答案为：. 20.已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据求出或，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除即可. 【详解】由题意，得，得或， 因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故， 故选：A 21.已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用复数的四则运算法则,复数相等的条件及其几何意义求解即可. 【详解】由已知得或， 当时，此方程的两个虚数根互为共轭复数， 设，，其中R, 将代入方程得， 整理得，则， 解得 ，即， 同理可得，当时，该方程的虚数根为， 由复数的几何意义可知，这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形， 则该等腰梯形的面积为，解得， 故选：. 22.已知复数(是虚数单位)，且为纯虚数(是的共轭复数). (1)求实数的值及复数的模； (2)若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的乘法运算算出，然后可得答案； （2）对进行运算化简，然后可得答案. 【解析】（1）由题意得为纯虚数， 所以，所以； （2）， 因为在复平面内所对应的点在第二象限，所以， 所以. 23. 已知复数． (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据纯虚数的定义，限制实部虚部求解即可. （2）根据共轭复数的定义限制实部虚部的范围，解不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意得， 因为为纯虚数， 所以解得 （2）复数 它在复平面上对应的点在第三象限，所以， 解得或, 所以实数的取值范围为． 24.已知，其中． (1)若为纯虚数，求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数类型得到方程组，再利用共轭复数概念即可； （2）根据复数的几何意义得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得，则， 所以的共轭复数为． （2）由题意可得， 即， 解得，即的取值范围是． 题型五：根据复数的模求参数 25.已知复数满足，则（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数模的公式求解. 【解析】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 26.已知复数的模为，则实数 ． 【答案】 【分析】利用复数的四则运算以及复数的模长公式计算求解. 【解析】因为， 所以，即，解得. 故答案为：. 27.已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1).；(2).；(3)或. 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【解析】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 28.已知（其中i为虚数单位）. (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用纯虚数的概念结合复数的运算得到求解a的值； （2）利用复数的模的概念得到求实数a的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 因为为纯虚数，所以，解得； （2）因为，所以， 由，可得，，解得，， 故实数a的取值范围为 29.已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 30.已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）设，且，化简得到，结合题意得到，即可求解； （2）由，求得，根据题意得到且，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，设，其中且， 可得， 因为为实数，可得，解得，即． （2）解：由，则， 因为复数所表示的点在第一象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查纯虚数、实数的定义，以及复数的几何意义，属基础题． 题型六：根据实系数一元二次方程的根的情况求参数 31.设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 【答案】13 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【解析】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 32.若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则 . 【答案】 【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合判别式、根与系数关系、复数与其共轭复数和的关系，可以求出结果. 【解析】因为关于的实系数一元二次方程有两实部为1的共轭虚根， 所以方程的判别式小于零，即， 即， 解得：或 由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知： 由根与系数的关系可得：，解得. 舍去，满足题意. 故答案为：. 33.关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ． 【答案】 【分析】依题意利用判别式与韦达定理得到的取值范围与的表达式，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【解析】由题意可得，， ，， 解得或， 又，，． 故答案为：． 34.设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【解析】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 35.关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数 ． 【答案】 【分析】依题意利用判别式与韦达定理得到的取值范围与的表达式，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【解析】由题意可得，， ，， 解得或， 又，，． 故答案为：． 36.设方程的两个根为，且，则实数m的值是 . 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【解析】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 37.已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】求出方程的两个虚根，再利用复数的乘方运算求解作答. 【解析】由，得，依题意，，即， 解得，而， 即，整理得， 解得或，而 所以实数的值为. 故答案为： 38.已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 【答案】或 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，利用韦达定理可求得的值；在第二种情况下，求出、的值，结合复数的模长公式可求得实数.综合可得出实数的值. 【解析】分以下两种情况讨论： （1）当时，即当时，由韦达定理可得，， ； （2）当时，即当时， 由可得，解得，， ，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 39.设常数，已知关于的方程. (1)若，求该方程的复数根； (2)若方程的两个复数根为、，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法计算可得； （2）根据判别式的正负分类讨论后可得的值. 【解析】（1）若，则，即， 即，解得； （2）因为方程的两个复数根为、， 所以，， 若，即或 则， 故. 若，设，，则， 所以，， ， 又因为，所以，解得，所以， 所以． 综上， 题型七：综合问题求参数 40.已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题得出，，化简，得出，要使成立，即使成立，求出的范围，即可求出的范围. 【解析】由题知，，， ， ，， 由， 得， 化简得， 因为， 所以，， 因为存在使得等式成立， 所以存在使得成立， 所以， 解得. 故答案为： 41.已知复数是关于的方程的一个根，若复数满足，复数在复平面内对应的点的集合为图形，则得周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，进而确定图形并求其周长. 【详解】由复数是关于的方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，解得， 由，得，因此图形是以点为圆心，4为半径的圆， 所以得周长为. 故选：D 42.已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 . 【答案】10 【分析】由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解的值，由此即可求出结果． 【详解】因为复数是关于的实系数方程的一个根， 所以复数是关于的实系数方程的一个根， 所以，即. 故答案为：10. 43.已知个两两互不相等的复数、、、、、，满足，且（其中、2；、1、2、、），则的最大值为 【答案】5 【分析】设，（），从而可得，即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解. 【解析】设，（）， ， ， 即，即， 故、对应平面内距离为的点，如图、， ， 与、对应的点的距离为或， 构成了点、、、、共个点， 故的最大值为， 故答案为：. 44.设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)、的值分别为、3 (2) 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； （2）根据题意分析可得，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【解析】（1）因为（为虚数单位）是方程的一个根， 则， 可得，解得， 所以、的值分别为、3. （2）由题意可知：，则， 可得， 若向量与的夹角为锐角， 可知且与不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围. 45.已知O为坐标原点，复数，，，，在复平面内对应的向量分别为，，， (1)若点C在复平面的虚轴上，且．求出实数t与n的值； (2)若点C在直线y＝1上，且向量，求出实数m的取值，并计算． 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）求得的坐标，进而可得，，进而由已知可得，求解即可； （2）点C在直线上，，可求得点，进而可求. 【解析】（1）因为，，， 点C在复平面的的虚轴上，即，点， 所以，， 由，可得， 所以，解得； （2）点C在直线上，即， ，，， 即，．此时， . 46.已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)角；(2)；(3) 【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解 (2)由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，再由角度的范围求出相位范围后即可求出的取值范围 (3)利用向量数量积的坐标运算进行化简等式，转化为和三角函数的表达式，求出三角函数的整体范围后再计算表达式的范围，进而求出最后结果 【解析】（1），，由，得，， 又， （2）由复数的坐标表示得，，， 则，又， ，当时，取最大值为4， 当时，取最小值为， 所以的取值范围为 （3）由题意得，，，， 又，， 化简得，，由小问2的结论可得，， 当，得 恒成立， 当，得，或， 综合所述，的取值范围为 47.已知，，，是复平面内的四个点，其中，且向量对应的复数分别为，且． (1)求； (2)若复数，，在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合向量坐标表示可用表示出，根据复数运算和复数的相等可构造方程组求得，由此可得； （2）根据复数除法运算法则可化简得到，由此可得对应点坐标；根据点位于第四象限可构造不等式组求得的范围. 【详解】（1），，，， ，则，解得：， ，. （2）由（1）知：， 则对应的复平面内的点为，又位于第四象限， ，解得：，即实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $