专题05：基本初等函数与函数的基本性质（11大题型+80题专训）讲义-2026届高考数学二轮复习（华侨港澳台）

2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题05 基本初等函数与函数的性质 题型01：幂、指数与对数 1. 已知，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值. 【详解】， . 故选：A. 2. 若，，用a，b表示____________ 【答案】 【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】因为，所以， . 故答案为：. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用对数的性质有，由指数性质有，即可知a，b，c的大小关系. 【详解】∵，，， ∴， 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】对化简后可得具体值，对有，从而判断得解. 【详解】因为，，，故. 故选：D. 5. 方程的解是________ 【答案】 【分析】方程等价于，从而可得结果. 【详解】， 化为， 得或（舍去），故答案为. 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及对数的运算，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题. 题型02：幂函数、指数函数与对数函数 6.函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】由奇偶性可排除D；由幂函数性质可排除AC，由此可得结果. 【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除； ，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC. 故选：B. 7.如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 8.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 9. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案. 【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数， 则，解得：，当时，，， 则，所以函数为奇函数，即充分性成立； “函数为奇函数”， 则，即， 解得：，故必要性不成立， 故选：A． 10. 已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得． 【详解】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此． 故选：D． 11. 函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______； 【答案】27 【分析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出. 【详解】解：因为函数（，且）的图象恒过定点， 所以由指数型函数性质得， 因为在幂函数的图象上 所以，解得， 所以，. 故答案为： 12. 函数且的图象恒过的定点是_____________. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象恒过的定点是， 故答案为： 13. 已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围. 【详解】设， 则， 所以， 在上递增，且为奇函数， 所以. 故答案为： 14. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（ ） A. 8 B. 24 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据类指数函数的定点确定，从而代入并利用均值不等式即可得解. 【详解】因为函数图象恒过定点 又点A坐标满足关于，的方程， 所以， 即 所以， 当且仅当即时取等号； 所以的最小值为4． 故选：C． 题型03：函数的概念与表示 15.以下图形中,不是函数图象的是(　　) 【答案】A 【解析】根据函数的定义,对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应,A选项中存在一个自变量对应两个函数值,所以A不是函数图象. 16. 给出下列四组函数： （1），； （2），； （3），； （4），． 其中相同的函数有________（请在横线内填序号）． 【答案】（3）（4） 【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）. 【详解】（1）中，的定义域为，的定义域为， 两个函数定义域不同，所以不是同一函数； （2）中，，， 两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数； （3）中，，，易知两函数是相同函数； （4）中，， 易知两函数是相同函数. 故答案为：（3）（4） 17. 若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【分析】令，配凑可得，再根据求解即可 【详解】令（或），，，，. 故选；B 18. 函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解析】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：． 19. 函数的定义域为，则实数的值为______． 【答案】 【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案. 【详解】的定义域满足：，解集为， 故且，解得. 故答案为： 20. 已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式. 【详解】因为， 所以． 故选：A 21. 已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据两个函数的解析式可得出的表达式. 【解析】对于函数，有， 又因为，故. 故答案为：. 22. 已知函数是奇函数，当时，，当时， . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质直接求解即可. 【解析】设，则， 因为是奇函数， 所以， 则. 故答案为： 23. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果. 【详解】当时，，， 当时，，， 因为函数为偶函数，则， 综上所述，当时，. 故选：C 题型04：分段函数 24.已知函数，则______. 【答案】/. 【分析】根据分段函数，和，利用 转化为求解. 【详解】 ， 故答案为：. 25. 已知函数．则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得函数大致图象，由图象可确定单调性从而解不等式得解集. 【详解】根据函数解析式可得函数大致图象如下： 由图可知函数在上单调递减， 则不等式的解集满足，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 26.若函数，为奇函数，求参数的值为 　　． 【解析】函数，为奇函数，， （1），，即，求得或． 当时，，不是奇函数，故； 当时，，是奇函数，故满足条件， 综上，， 故答案为：1． 题型05：函数的图像 27.已知函数，，则图象为如图的函数可能是　　 A． B． C． D． 【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数， 因为为偶函数，为奇函数， 函数为非奇非偶函数，故选项错误； 函数为非奇非偶函数，故选项错误； 函数，则对恒成立， 则函数在上单调递增，故选项错误． 故选：． 28. 函数在区间，上的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解析】， 则， 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除，， 当时，，故排除， 故选：． 29.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解析】由函数，， 当时，可得是递减函数，图象恒过点， 函数，是递增函数，图象恒过，； 当时，可得是递增函数，图象恒过点， 函数，是递减函数，图象恒过，； 满足要求的图象为： 故选：． 30.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案. 【详解】，函数定义域为， ，函数为奇函数，排除BD； ，，故，排除A. 故选：C 题型06：函数的单调性 31. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　 A． B． C． D． 【解析】在上单调递减且为奇函数，符合题意； 因为在上是增函数，不符合题意； ，为非奇非偶函数，不符合题意； 故选：． 32. 函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【分析】根据复合函数的单调性求解. 【解析】由在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上单调递增. 故答案为：（或） 33. 函数的严格减区间为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答. 【解析】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的严格减区间为. 故答案为： 34. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域、复合函数的单调性以及一元二次不等式进行求解. 【详解】由有：，解得或， 根据对数函数、二次函数的单调性以及复合函数的单调性法则有： 函数的单调递增区间为：，故A，B，D错误. 故选：C. 35.已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【解析】由，得或． 令， 外层函数是其定义域内的增函数， 要使函数在上单调递增， 则需内层函数在上单调递增且恒大于0， 则，，，即． 的取值范围是，． 故选：． 36. 已知定义在上函数为奇函数，且，则（ ） A -2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数得，令即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以，令有，又由，所以， 故选：B. 37. 已知是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是定义在上的奇函数，且在时，单调递减，所以在上为减函数，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】易知函数在上为减函数． 不等式可化为， 所以，解得． 故选：A 38．已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 17. 已知函数在上具有单调性，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，中，令，求出，从而得到，从而求出答案. 【详解】令，则， 中，令得，故， 显然单调递增，且，故， 所以，. 故答案为：. 39.已知函数则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分、和，依次解不等式，再取并集即可. 【详解】当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，易知，解得； 当时，不等式为，解得； 综上，解集为：. 故答案为：. 40. 若函数在上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分单调递增与单调递减两种情况讨论，根据分段函数单调性判断方法列出不等式组求解. 【详解】若 在上单调递增，则，解得， 若 在上单调递减，则，解得． 综上得. 故选：D 41. 已知定义在R上的函数满足 ，且在为递增函数，若不等式成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】定义在上的函数满足，可得函数关于直线对称，在为递增函数，则在为递减函数，不等式成立，即，对分类讨论即可得出． 【详解】解：∵函数满足， 函数关于直线对称， ∵在为递增函数， ∴在为递减函数， 不等式成立，即， ， 则当时，在为递增函数，不成立，舍去； 当，即时，在为递减函数，则恒成立，因此满足条件； 当时，即．要使恒成立，必须点到直线距离大于点到直线的距离，即， 解得，； 综上，实数的取值范围是， 故答案为：． 42. 已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 即， 则，由于，故， 令，则存在x，使得， 转化为存在，使得有解， 由于的对称轴为，则在上单调递增， 故， 故，结合，可得. 题型07：函数的奇偶性和周期性 43. 已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】由函数 是奇函数可得: 对定义域内的任意x都成立, 故选：C． 44.已知函数是偶函数，则　　． 【解析】函数是偶函数， 为上的奇函数， 故也为上的奇函数， 所以， 所以． 法二：因为函数是偶函数， 所以， 即， 即， 即， 所以． 故答案为：1． 45.已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为　　 A． B． C． D． 【解析】由于函数，存在常数， 为偶函数， 则：， 由于函数为偶函数， 故：， 所以：， 当时． 故选：． 46. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，函数关于直线对称，不是偶函数，故A不符合； 对于B，因函数在上均为偶函数，所以为偶函数， 且当时，，所以函数在区间上单调递减，故B符合； 对于C，函数在上为非奇非偶函数，故C不符合； 对于D，因为函数在上均为奇函数， 所以为奇函数，故D不符合. 故选：B. 47. 已知函数，则下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析可得，故可得图象的对称中心，故可得正确的选项. 【详解】因为， 故图象的对称中心为， 所以将的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后图像关于原点对称， 故为奇函数， 故选：B. 48. 已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由条件结合偶函数的性质和奇函数性质，求函数的周期，结合周期性性质求结论. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，即， 取可得， 所以， ， 所以， 所以函数为周期函数，是该函数的一个周期， 所以. 故答案为：2. 49. 设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】易得，再根据f（x）是奇函数，求得，然后由求解. 【详解】因为函数f（x）=， 所以， 又因为f（x）是奇函数， 所以， 又， 所以 故答案为：-3 50. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，通过赋值进行求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为，所以． 故选：A 51. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，可得， 所以函数关于直线对称， 所以，从而得， 所以函数是周期为4的周期函数， 因为， 所以在中，令，得， 令，得， 令，得， 所以，于是 . 故答案为： 52. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(－1,1)，且g(x)＝f(x－1)，则f(7)＋f(8)的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用奇偶性求出函数的周期，结合周期及奇函数的性质可求结果. 【详解】因为为偶函数，所以； 因为是奇函数，所以 所以，故为周期函数，且4是它的一个周期； 因为g(x)过点(－1,1)，所以,所以； 所以. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性求值时，一般是通过转化，把未知的函数值转化为已知. 题型08：函数的值域与最值 53.对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，所以， 又当时，， 所以， 当且仅当时等号成立， 即当时，， 因为为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 54. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对符合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【解析】令，则，要使得的值域为，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ∴，∴， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为： 55. 函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案. 【解析】当时，， 当时，则，即， 综上的值域为， 故答案为：. 56. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据推出周期为4，再根据奇函数推出时的表达式，再根据周期性推出时的表达式，再用二次函数求最小值. 详解】由题意知，即， 则， 所以函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，且是定义在上的奇函数， ∴时，， ∴当时，， 所以当时，函数最小值为． 故选：B． 57.已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上最大值为2，则＝________. 【答案】9. 【解析】 【分析】先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解. 【详解】因为f(x)＝|log3x|＝, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得, 则,所以0＜m2＜m＜1， 则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增， 所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2， 解得m＝，则n＝3，所以＝9. 故答案为9 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 58.设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】若时，，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键. 59.设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 当且仅当时，等号成立； 即当时，函数的最小值为， 当时，， 要使得函数的最小值为，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A. 题型09：函数的零点问题 60．已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝|log2x|，若0＜m＜n且f(m)＝f(n)，则2m+n的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 61.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程有解转化为有正根，即在有解，根据解出的范围． 【详解】方程有解， 有解， 令， 则可化为有正根， 则在有解，又当时， 所以， 故选：． 62．若函数有唯一零点，则的取值范围为 . 【答案】 63.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 即为函数与直线有两个交点， 函数图象如图所示： 所以， 故选：D. 64.已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴， ，∵，∴ ∴，即，∴∴的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键. 65．设，函数，若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 题型10：函数不等式恒成立问题 66.对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可. 【详解】因为对任意的，都有恒成立， ∴对任意的恒成立． 设， ，， 当，即时，， ∴实数a的取值范围是. 故选：D. 67.正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________． 【答案】 【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案. 【详解】解析：由题， 则， ∴， 解得:． 故答案为：. 68.已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理. 【详解】，令，由于，根据指数函数性质，， 于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值. 根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远， 故，于是. 故答案为： 69.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先对进行分类讨论，当时，时，，不符合题意舍去；当时，在单调递增，可求出最大值为，解不等式，即可得出a的取值范围. 【详解】由题意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，当时，时，由指数，对数函数图像可 知，，，所以，则在上恒成立不符，舍去； 当时，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递 增，即当时，，则，解得，则实数的取值范围为. 故答案为： 70.若，，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】若，，即，转化为求，求解即可. 【详解】若，， 则，令，， 令，，则， 所以， 由双勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故，所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 71. 若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，将展开利用基本不等式求得最小值，再解不等式即可求解. 【详解】若不等式有解，则 ， 当且仅当即时，最小值为， 所以，即，所以， 解得：或， 故选：A. 72.已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解作答. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，都存在，使得成立， 因此函数在上的最大值小于函数在上的最大值， 而当时，，，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故. 题型11：函数综合题 73.已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据幂函数及其区间单调性列方程、不等式求参数，进而写出解析式； （2）由（1）及已知得，结合二次函数性质及其区间最值，讨论对称轴与区间位置关系求参数值. 【详解】（1）幂函数在上单调递增， 故，解得，故； （2）由（1）知：， 所以， 所以函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线； 由于在上的最大值为3， ①当时，在上单调递增，故，解得； ②当时，在上单调递减，故，解得； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，故，解得（舍去）或（舍去）． 综上所述，． 74.. 已知定义域为的函数且是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时t的取值范围. 【答案】（1）2 （2）减函数， 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求出实数k的值并检验即可； （2）由可得，根据函数解析式判断单调性，利用函数奇偶性和单调性得到对于恒成立，由基本不等式求出的最大值即可. 【小问1详解】 定义域为的函数且是奇函数， 则有，解得. 所以，函数定义域为， ，满足为奇函数， 所以实数k的值为. 【小问2详解】 ，由，可得， 则函数在R上单调递减，函数在R上单调递增， 所以在R上单调递减. 不等式，可得， 由函数单调性可知对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，有， 即t的取值范围为. 75.已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 【解析】（1）若，则， 要使函数有意义，则，即的定义域为， 是奇函数，是偶函数， 函数为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数，使得是奇函数． （2）若函数过点，则（1），得，得， 此时，若数与轴负半轴有两个不同交点， 即，得，当时，有两个不同的交点， 设， 则，得，得，即， 若即是方程的根， 则，即，得或， 则实数的取值范围是且且， 即，，． 76.已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增 (2)最小值，最大值 【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性. （2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值. 【详解】（1）若函数是上的偶函数，则， 即，解得， 所以， 函数在上单调递减． （2）由（1）知函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以函数在,上为增函数， 所以函数在,上为增函数，在,上为减函数． 又 所以 77. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）的值为3，值域为 （2） 【解析】（1）由是R上的奇函数，知，解得． 此时，故对于任意的，有， 即是R上的奇函数；因此实数的值为3． 令，则，解得，即函数的值域为． （2）解法1：由（1）知，于是不等式 可化为． 令（因），则不等式在上恒成立. 设，则在上恒成立，等价于. 即. 因此，实数的取值范围为． 解法2：由（1）知，当时，．于是不等式可化为． （因），则由函数在上递增知，． 故由恒成立知，实数的取值范围为． 78.已知函数. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）分离出，然后再根据单调性求出最值即可； （2）先根据将等式具体化，然后通过整理换元后转化为一元二次方程根的分布问题. 【详解】（1）由恒成立，可得， ∵在单调递增∴， ∴. （2）由题意可知有解即可， 即， ∴， 即有解即可. 设，则， ∴方程等价于在时有解， 对称轴. ①，则，即，∴ 此时； ②若，要使在时有解， 则，即， 解得， 综上：. 79.已知函数的表达式为，． (1) 解不等式：； (2) 若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 解：(1) ，即．…………2分 故………………………4分 解得．……………………………6分 (2) 由于，，成等比数列，故， 即对有解．……………………………8分 令， 所以．………10分 所以对有解．………………12分 由于，等号当且仅当，即时成立． 所以，故的最小值为．14分 80.已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题05 基本初等函数与函数的性质 题型01：幂、指数与对数 1. 已知，则（    ） A．3 B．5 C． D． 2. 若，，用a，b表示____________ 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是________ 题型02：幂函数、指数函数与对数函数 6.函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 7.如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 8.已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 10. 已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 11. 函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______； 12. 函数且的图象恒过的定点是_____________. 13. 已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 14. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（ ） A. 8 B. 24 C. 4 D. 6 题型03：函数的概念与表示 15.以下图形中,不是函数图象的是(　　) 16. 给出下列四组函数： （1），； （2），； （3），； （4），． 其中相同的函数有________（请在横线内填序号）． 17. 若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 18. 函数的定义域是 ． 19. 函数的定义域为，则实数的值为______． 20. 已知，则（    ）． A． B． C． D． 21. 已知，，则 ． 22. 已知函数是奇函数，当时，，当时， . 23. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 题型04：分段函数 24.已知函数，则______. 25. 已知函数．则不等式的解集为__________． 26.若函数，为奇函数，求参数的值为 　　． 题型05：函数的图像 27.已知函数，，则图象为如图的函数可能是　　 A． B． C． D． 28. 函数在区间，上的图象可能是　　 A．B． C． D． 29.在同一直角坐标系中，函数，且的图象可能是　　 A．B．C． D． 30.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D．. 题型06：函数的单调性 31. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数　　 A． B． C． D． 32. 函数的单调递增区间是 . 33. 函数的严格减区间为 ． 34. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. . 35.已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 36. 已知定义在上函数为奇函数，且，则（ ） A -2 B. 0 C. 1 D. 2 37. 已知是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 38．已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17. 已知函数在上具有单调性，且，则_______. 39.已知函数则不等式的解集为______． 40. 若函数在上单调，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 41. 已知定义在R上的函数满足 ，且在为递增函数，若不等式成立，则的取值范围是________. 42. 已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 题型07：函数的奇偶性和周期性 43. 已知函数，若函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 44.已知函数是偶函数，则　　． 45.已知，函数，存在常数，使为偶函数，则的值可能为　　 A． B． C． D． 46. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 47. 已知函数，则下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 48. 已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 49. 设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________. 50. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 51. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 52. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g(x)过点(－1,1)，且g(x)＝f(x－1)，则f(7)＋f(8)的值为______． 题型08：函数的值域与最值 53.对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________. 54. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 55. 函数的值域为 . 56. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 57.已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上最大值为2，则＝________. 58.设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59.设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09：函数的零点问题 60．已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝|log2x|，若0＜m＜n且f(m)＝f(n)，则2m+n的取值范围为（　　） A． B． C． D． 61.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．若函数有唯一零点，则的取值范围为 . 63.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64.已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 65．设，函数，若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 . 题型10：函数不等式恒成立问题 66.对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 67.正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________． 68.已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______． 69.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________． 70.若，，则实数m的取值范围是______. 71. 若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 72.已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数a的取值范围是_____________． 题型11：函数综合题 73.已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值． 74.. 已知定义域为的函数且是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若，判断函数单调性，并求不等式对于恒成立时t的取值范围. 75.已知，，函数． （1）若，求函数的定义域，并判断是否存在使得是奇函数，说明理由； （2）若函数过点，且函数与轴负半轴有两个不同交点，求此时的值和的取值范围． 76.已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 77. 已知函数是定义在R上的奇函数． （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 78.已知函数. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，求实数的取值范围. 79.已知函数的表达式为，． (1) 解不等式：； (2) 若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 80.已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $