专题11：圆锥曲线综合题（11大题型+50题专训）讲义-2026届高考数学二轮复习（华侨港澳台）

2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题11 圆锥曲线综合题 题型一、圆锥曲线的轨迹方程 1. 平面内，动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比值是常数，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)O为坐标原点，A，B为曲线E上不同两点，经过A，B两点的直线与圆x2+y2=1相切，求△OAB面积的最大值. 2. 椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12． (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． 3.现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线左支于A，B两点（点在点上方），判断是否是定值，并给出理由； 题型二、求直线的斜率或直线方程 4.已知点，椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，的面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，，若轴上存在点使得为等边三角形，求的值． 5.已知椭圆的右焦点为，分别是的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线相交于点.若，求的值. 6.已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 7.已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型三、圆锥曲线的弦长与“中点弦”问题 8.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 9.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为该椭圆的上顶点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 10.已知抛物线C：的焦点F到直线的距离为. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线C交于M，N两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 11. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 12.已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 13.已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为，过左焦点F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若l与坐标轴均不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，求的值． 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 题型四、圆锥曲线的面积问题 15. 已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． （1）求的离心率； （2）设点，求的面积． 16. 已知为椭圆上一点，右焦点为. （1）求的离心率； （2）若过点的直线交于，两点，为椭圆的左顶点，求面积的最大值. 17.已知椭圆C：经过点，为C的右焦点． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线l与C交于，两点（l的斜率存在且不为0），设点B关于x轴的对称点为D，求面积的最大值． 18.过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为． (1)证明：直线与相切； (2)若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为. (1)求椭圆C的离心率e的值； (2)若，l为过椭圆C的右焦点且斜率不为零的直线，直线l交椭圆C于点P，Q，求内切圆面积的最大值. 20．已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 题型五、圆锥曲线的定点问题 21.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴正半轴交于点D，直线与C交于A、B两点（l不经过D点），且．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标． 23.在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由． 24.已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N. (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标. 25.已知点为抛物线的焦点，点，过点作直线与抛物线顺次交于两点，过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求证：直线过定点． 26.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 27. 已知椭圆：的离心率为，左右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与轴交于点，过点作的平行线交轴与点，试探究是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点. 题型六、圆锥曲线的定值问题 28. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值： （ii）直线过线段的中点． 29.已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足.证明：，的斜率之和为定值. 30.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 题型七、圆锥曲线的定直线问题 31.在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． (1)求动点M的轨迹； (2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 32.已知双曲线E的中心在坐标原点，对称轴为x轴、y轴，渐近线方程为，且过点． (1)求E的方程； (2)过平面上一点M分别作E的两条渐近线的平行线，分别交E于P、Q两点，若直线PQ的斜率为2，证明：点M在定直线上． 33.在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 34.从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且 ，. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上. 题型八、圆锥曲线的最值与范围问题 35．已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 36. 已知椭圆：（）的离心率是，原点到直线的距离等于. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围． 37．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 38.已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 39．已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 40．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 41．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 题型九、圆锥曲线的探索性问题 42.已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦． (1)求的内心坐标； (2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由． 43.已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． (1)求椭圆的方程； (2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44.已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 45.已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十、圆锥曲线的证明问题 46. 设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4． (1)求椭圆E的方程； (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线． 47.已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证：. 48.设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB． 49.已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点. (1)求的值； (2)直线与交于点，求证：. 50．设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且△ MF1F2的周长是4＋2． (1)求椭圆C1的方程； (2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足⊥，∥，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE． 51．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：． 题型十一、特殊图形问题 52．已知椭圆过点，离心率为，上的点关于轴的对称点为.设为原点，，过点与轴平行的直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在以为直径的圆上，求的值. 53．已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线经过点，且直线与椭圆交于点（不在轴上），若点在轴的负半轴上，是等边三角形，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 M O x y F1 A B C D M N O x y M A B F E O x y A B D C P $ 2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题11 圆锥曲线综合题 题型一、圆锥曲线的轨迹方程 1. 平面内，动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和M到定直线l：x=的距离的比值是常数，记动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)O为坐标原点，A，B为曲线E上不同两点，经过A，B两点的直线与圆x2+y2=1相切，求△OAB面积的最大值. 解　(1)依题意，可得=， 化简得x2+4y2=4， 即曲线E的方程为+y2=1. (2)依题意，直线AB的斜率不可能是0， 不妨设其方程为x=my+t， 则圆x2+y2=1的圆心O(0，0)到直线x=my+t的距离d==1，即m2+1=t2，① 由 消去x，可得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0， 由Δ=4m2t2-4(m2+4)(t2-4)>0， 可得m2-t2+4>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 则|AB|=· =· =·， 将①式代入，化简得|AB|=， S△OAB=×|AB|×d=2·， 设λ=m2+1，则λ≥1， S△OAB=2·=2·， 因为λ+≥2=6，当且仅当λ=3时取等号，此时m=±， △OAB的面积的最大值为2×=1. 2. 椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12． (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，再结合面积求得，即可求解； （2）设，，，，则，通过点差法，化简求解即可. 【详解】（1）依题意，当两点与椭圆的左、右顶点重合时，有最大值，且的面积有最大值， 所以，，，． 所以椭圆的方程为． （2） 证明：设，，，，则， 则． 因为，， 两式相减，得，所以， 即． 所以．① 同理，可得， 所以．② ，得， 则， 所以． 即直线AB的斜率与直线MN的斜率乘积为定值． 3.现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线左支于A，B两点（点在点上方），判断是否是定值，并给出理由； 【答案】(1) (2)，是定值，理由见解析 【分析】1）解出，再利用单调性解出最值，最后求出双曲线的标准方程即可； （2）利用直曲联立解出一元二次方程，利用韦达定理解出定值即可； 【详解】（1）设，则， 由得． 在区间上单调递减， 时，取最大值3， ，解得． ． 由题意可得双曲线的标准方程为． （2）设，， 直线为， 联立得， ， ， ， . 题型二、求直线的斜率或直线方程 4.已知点，椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，的面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，，若轴上存在点使得为等边三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，，所以， 所以椭圆方程为. （2）直线方程为， 联立，消去化简得， ，解得， 设，， 所以，， 因此中点， 中垂线方程为， 如果存在点使得为等边三角形，则点一定是中垂线与轴的交点， 此时还需要， 而， 因此， 即，解得， 所以. 5.已知椭圆的右焦点为，分别是的左、右顶点，. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线相交于点.若，求的值. 【答案】(1)；离心率 (2) 【分析】 【详解】（1）解：由椭圆的右焦点为，是的左、右顶点，且， 可得，解得，则， 所以椭圆的方程为，离心率. （2）解：设，， 因为，可得 ， 因为三点共线，可得，所以，可得，即， 下面证明：三点共线. 因为，，所以① 又因为直线方程为， 联立方程组，整理得， 所以，， 则 所以，即，所以三点共线， 又因为，可得，所以， 可得，解得，将其代入椭圆的方程， 可得，解得，所以， 所以实数的值为. 6.已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案； （2）由题设直线的方程为，，，， 进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理进行求解. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由题知双曲线的右焦点为， 故设直线的方程为， 则联立方程得， 设，， 所以， 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且， 所以，解得：且， 若线段的中点为，得， 得,解得或， 而且，得， 得所求直线的方程为：，即为. 7.已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 题型三、圆锥曲线的弦长与“中点弦”问题 8.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知椭圆的左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为， 由已知条件可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为点在第一象限，所以直线的方程为， 因为，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以点， 若直线的斜率不存在时，轴，则，即， 即，解得（舍）或，此时， 所以直线的方程为，直线的方程为，则，此时； 当直线的斜率存在时，， 因为，所以， 联立，得， 则，则， 所以 ， 所以. 综上所述，. 9.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为该椭圆的上顶点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆特征得到椭圆方程； （2）设出直线，联立直线与椭圆方程，由弦长公式和面积公式得到方程，求出答案 【详解】（1）由题意得，，所以，则， 又因为离心率为，所以，计算可得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）根据题意，当直线的斜率为0时，无法构成三角形， 所以设直线的方程为， 联立方程组整理得到， 设，则， 所以， 点到直线的距离为， 所以的面积，解得或， 故直线的方程为或. 10.已知抛物线C：的焦点F到直线的距离为. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线C交于M，N两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用抛物线焦点坐标公式及点到直线的距离公式求解参数，确定标准方程. （2）设出直线方程与抛物线联立，结合韦达定理，利用弦长公式与点到直线距离公式表示三角形面积，进而求解直线方程. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 所以焦点到直线的距离为： 解得： 所以，抛物线的标准方程为： （2）由题意设过点的直线方程为，设. 联立方程，消去得：， 所以，， 所以， 由弦长公式，. 原点到直线的距离为. 所以， 化简可得：，解得 ，即. 所以直线方程为：或， 即或. 11. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解的值，即可求得椭圆C的标准方程； （2）根据题意设，直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，求出的值，再根据弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意可得：， 解得：， 椭圆C的标准方程为：； （2）， 由题意可设：直线：，， 联立： 得：， 则， ， ， 又， ， 解得：， 故， . 12.已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用和三角形相似可推得，与韦达定理联立求得，再用弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，，      解得，      所以的方程为 （2）联立，整理得，      由，可得， 设，则      因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，     则    13.已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为，过左焦点F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若l与坐标轴均不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】(1)由焦距得c，利用焦点到渐近线的距离得b，再结合求a，进而得双曲线方程； (2)设直线l的斜率为k，联立双曲线方程，用韦达定理求AB的中点与弦长；求AB垂直平分线方程，得M点坐标，计算后求比值. 【详解】（1）由焦距为4，得，即； 双曲线渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，且因为，所以，故，那么，得. 因此双曲线C的方程为：. （2）左焦点，设l：，联立双曲线方程得：（其中且）， 设，，由韦达定理：，. 代入弦长公式： AB中点为，垂直平分线斜率为，方程为： 令，得，所以； 所以. 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且短轴长为，离心率等于． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的左顶点，为右焦点，为椭圆上一个动点．设直线与直线交于点，连接，过作的平行线与交于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上， 所以设椭圆方程为， 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意得，设， 则，得，即， 由题意得直线的斜率存在，则， 所以直线为， 当时，，所以， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行，所以直线的斜率为， 所以直线为， 当时，由椭圆的对称性，不妨设点为第一象限的点，则， 此时直线为，直线为， 由，得，即， 所以， 当时，直线的斜率为，则直线为， 由，得，即， 所以 综上， 题型四、圆锥曲线的面积问题 15. 已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． （1）求的离心率； （2）设点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可求解； （2）先得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 由题，， 且在上有， 解得． 故椭圆的标准方程为， 离心率． 【小问2详解】 因为直线经过，两点， 可得直线的方程为， 联立， 解得或， 所以直线与椭圆的另一交点为， 则， 又点到直线的距离． 故的面积． 16. 已知为椭圆上一点，右焦点为. （1）求的离心率； （2）若过点的直线交于，两点，为椭圆的左顶点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质及点在椭圆上列式可求得的值，继而求得离心率； （2）联立直线和椭圆方程，求得三角形的高，由的长，利用面积公式结合导函数求得最大值即可； 【小问1详解】 由题意知 所以，，则的离心率. 【小问2详解】 由（1）可知椭圆的方程为. 设过点的直线的方程为，，. 联立方程组消去得， 则，， ， 所以. 设，，则. 设，，则，所以在上单调递减， 所以， 即当时，的方程为，此时的面积最大，最大值为. 17.已知椭圆C：经过点，为C的右焦点． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线l与C交于，两点（l的斜率存在且不为0），设点B关于x轴的对称点为D，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式求出，再利用求解即可； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理得出，，再根据直线与直线的斜率之和为0建立等式，证明直线过定点，表示出，利用基本不等式求最值． 【详解】（1）如图所示， 因为为C的右焦点，则，且椭圆左焦点为， 所以， 所以，， 所以椭圆C的方程为． （2）设直线方程为，，，， 联立，得， ，即， ，， 因为点B关于x轴的对称点为D，则直线与直线的斜率之和为0， 所以， 即，即， 得，即，所以直线过定点，且， 所以 即，令， ， 当且仅当时，即时，面积的最大值为． 18.过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为． (1)证明：直线与相切； (2)若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设直线的方程为，可得，进而得到直线的方程为，联立直线与抛物线方程，验证即可求证； （2）先求出，结合弦长公式及点到直线的距离公式表示出，令，可得，设，进而利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，得，显然直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，令，得，即， 因此直线的方程为， 联立，得， 则，又，则直线与相切. （2）当时，抛物线， 直线的方程为，直线的方程为，， 联立，解得，则， 联立，得，设， 则， 所以， 点到直线的距离即为 则， 令，则，设， 则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则的最小值为. 19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为. (1)求椭圆C的离心率e的值； (2)若，l为过椭圆C的右焦点且斜率不为零的直线，直线l交椭圆C于点P，Q，求内切圆面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法求得，进而求得椭圆的离心率. （2）先求得椭圆的方程，然后设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得面积的表达式，并求得面积的最大值，进而求得内切圆半径的最大值，从而求得内切圆面积的最大值. 【详解】（1）由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点， 设，则， 由两式相减并化简得， 所以，所以.    （2）结合（1）得，解得， 所以椭圆的方程为，右焦点，的周长为， 设直线的方程为，由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点， 设，由消去并化简得， 则， 所以 ， 令，则，所以， 由于函数在区间上单调递增， 所以当时，面积取得最大值为， 设的内切圆的半径为，则， 当面积取得最大值时，取得最大值， 所以的内切圆面积的最大值为.    【点睛】求解椭圆弦的中点有关问题，可考虑利用点差法进行求解，点差法化简后，得到如的表达式，其中是两个斜率，前者是弦的中点和原点连线的斜率，后者是弦所在直线方程的斜率. 20．已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得椭圆的方程； （2）设出直线RM，RN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）设点，当直线与轴垂直时，， 所以设点，则，因为的最小值为， 所以，又由，可解得， 故的方程为． （2）如图，    设点，注意到斜率不为0， 设， 联立，得， 因为与相切，所以， 于是， 化简得，又与相切，同理有， 故是一元二次方程的两根，则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 题型五、圆锥曲线的定点问题 21.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴正半轴交于点D，直线与C交于A、B两点（l不经过D点），且．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）解：由题意得，设椭圆的方程为，焦距为 则，椭圆的另一个焦点为, 由椭圆定义得，则 所以, 所以的方程为. （2）（2）证明：由已知得， 由，得， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 23.在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1)（）； (2)是，定点为. 【分析】（1）根据给定条件，利用斜率坐标公式列式化简作答. （2）设出点的坐标，由已知探求出点的坐标关系，再按直线斜率存在与否分类讨论求解作答. 【详解】（1）设动点，则直线、的斜率分别为， 于是，整理得，显然点不在轨迹上， 所以的方程为（）. （2）设直线上的点，显然，    依题意，直线的斜率满足， 且，直线斜率，则，有， 设，，则（且）， 当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为， 消去y得， 则，， 又，即， 则，整理得， 解得或，此时方程中的， 当时，直线：恒过点， 当时，直线：，由于舍去， 当直线时，则有，即有，而，解得， 直线：过点， 所以直线恒过点． 24.已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N. (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件求出a的值，再由a，b，c之间的关系求出双曲线的方程. （2）直线AB斜率存在且不为0时，设出AB方程并与C的方程联立求出M的坐标，再得N的 坐标，就直线MN的斜率存在与否讨论，最后分析AB斜率不存在或为0的情况作答. 【详解】（1）依题意，c=2，，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）点，当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为：，，， 由消去x并整理得：，显然， 则，有，于是得弦AB中点， 因，同理可得点， 当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率， 因此，直线MN的方程为：，化简得， 于是得直线MN恒过定点， 当直线MN垂直于x轴时，由得，直线MN：过定点， 则当直线AB不垂直于坐标轴时，直线MN恒过定点， 当AB垂直于x轴，即k=0时，则弦AB的中点M与F重合，弦CD的中点N与原点重合，此时MN为x轴，直线MN过， 当AB垂直于y轴时，则弦AB的中点M为原点，弦CD中点N与F重合，此时直线MN为x轴，直线MN也过点， 所以直线MN恒过定点. 【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，可探求出这两个动点坐标， 求出直线方程，即可推理计算解决问题. 25.已知点为抛物线的焦点，点，过点作直线与抛物线顺次交于两点，过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由求得参数得抛物线方程； （2）设的方程为，设，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，得，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理并结合前者得，然后按直线斜率是否存在分类求得直线方程，利用得定点坐标． 【详解】（1）焦点，∵，∴ 抛物线E的标准方程为； （2）显然直线斜率存在，设的方程为， 由，化简得：， 设，则， ∴      ① 直线的方程为， 由化简得：， 设则      ② 由①②得，∴      ③ （ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴， ∴的方程为． （ⅱ）若直线有斜率，为， 直线的方程为，即， 将③代入得，∴， 故直线有斜率时过点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题，一般设出直线方程，设出交点坐标为，直线方程与圆锥曲线方程联立后消元应用韦达定理得（或），把此结论代入题设中其它条件或性质得出的关系，从而化简直线方程，由化简后的直线方程可得定点坐标，解题中也需注意直线斜率不存在的情形的验证． 26.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线离心率公式即可求解； （2）设过的直线方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，表示出直线BD的方程化简即可求解，注意讨论斜率为零的情形. 【详解】（1）因为，所以. 又因为双曲线经过点，所以，解得. 所以双曲线的方程为：. （2）由题意得，故， 过的直线的斜率不为零，则设过的直线方程为， 联立，得， 则， 所以， 因为，    故直线BD的斜率为，直线BD方程为， 由对称性分析可知直线BD过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又， 将其代入上式中得，， 故此时直线BD过定点. 若过的直线的斜率为零，则此时即为轴，此时也过， 综上，直线BD过定点. 27. 已知椭圆：的离心率为，左右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与轴交于点，过点作的平行线交轴与点，试探究是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点. 【答案】（1）；（2）存在. 【解析】 【分析】（1）由当在轴时，面积最大，得，然后结合求解即可； （2）先设，求出点，的坐标，然后求出以为直径的圆的方程，再结合在椭圆上，代入方程整理得圆的方程为，然后令，求解即可. 【详解】解：（1）由题意知，当在轴时，面积最大， 所以①， 又②， 联立①②，得，，， 所以椭圆的方程为. （2）设，其中，则，， 所以直线的方程为， 令，得，即， 又，所以直线的方程为， 令，得，即， 所以，以为直径的圆的方程为： ， 又， 且在椭圆上， 所以， 代入方程整理得圆的方程为 ， 令， 则， 所以存在点，使得以为直径的圆恒过点. 题型六、圆锥曲线的定值问题 28. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明： （i）为定值： （ii）直线过线段的中点． 【答案】（1） （2）（i）证明见详解；（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）当直线斜率为0时，.当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立. （ii）设线段的中点为，求出直线的方程，直线的方程，结合，可得，可证点在直线上. 【小问1详解】 由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）①当直线的斜率为0时，则不妨设，， 所以为定值. ②当直线的斜率不为0时，设直线，，， 联立直线与椭圆的方程，消去整理得， 则，，，所以， 所以 . 综上，为定值. （ii）设线段的中点为，易得， 可得直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 所以， 由（i）知，，所以， 又直线的方程为，所以点在直线上， 即直线过线段的中点. 【点睛】关键点睛：本题第二问证明为定值，解题的关键是设直线与椭圆的方程，解得，代入的式子化简得解. 29.已知椭圆：的焦距为2，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过点作两条斜率存在且不为零的直线，分别交于和，满足.证明：，的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 由焦距，即，可知两焦点坐标分别为，， 则，即， 所以，所以的标准方程为. （2） 设P，Q的坐标分别为，，设的方程为， 联立，整理得， 所以， ，， ， 设的方程为，同理有， 所以，即， 由于，所以，即，所以，的斜率之和为定值0. 30.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线性质和等边三角形特点，结合勾股定理求出和，从而求出标准方程 （2）分斜率存在和不存在两种情况，分别计算，并验证是否为定值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得， 又， 解得， 由是等边三角形可得， 即，联立解得或（舍）； 所以可得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，即，分两种情况讨论： ① 当直线斜率不存在时，此时的方程为，代入双曲线得， 即过，则， ② 当直线斜率存在时，设直线，不妨设， 联立直线和双曲线方程，消去得． 由韦达定理：， 计算可得， 代入韦达定理，结果化简得：， ， 综上，无论直线斜率是否存在，为定值-1. 题型七、圆锥曲线的定直线问题 31.在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． (1)求动点M的轨迹； (2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线y＝8（x≠0）上． 【详解】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4． ∵，∴，即，故动点M的轨迹为． （2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下： 当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1． 设，，，则，，，由此知． 将y＝kx＋1代入，得，于是 ，．① 条件即，也即． 将，代入得． 显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即． 将，代入得．将式①代入得 ，解得． 当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意． 因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上． 【反思】由于关于椭圆的极线是直线y＝8，若恒成立，由命题5知点Q在极线y＝8上，因此存在满足题意的Q，其轨迹为y＝8（x≠0）．本题实质是命题5的逆向应用 32.已知双曲线E的中心在坐标原点，对称轴为x轴、y轴，渐近线方程为，且过点． (1)求E的方程； (2)过平面上一点M分别作E的两条渐近线的平行线，分别交E于P、Q两点，若直线PQ的斜率为2，证明：点M在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可设双曲线E的方程为，又因为E过点，代入即可得出求出E的方程； （2）设，联立和求出的坐标，即可表示出直线的斜率，即可证明. 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为， 所以可设双曲线E的方程为， 因为E过点，所以，，所以E的方程为； （2）设，联立解得 联立解得 不妨设， ， 所以，所以，所以点M在定直线y＝x上 33.在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得双曲线焦点在轴上，且，，即可求得双曲线方程； （2）根据双曲线对称性以及交点特征，设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理根据题目中的表达式代入整理可知点E在定直线上. 【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为. （2）易知为双曲线的右焦点，如下图所示：    由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，， 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得， 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上. 34.从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且 ，. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由 可得，再由可得，解方程即可求出，即可得出答案. （2）设，，直线，联立直线与双曲线的方程可求出的范围，再根据根与系数的关系可得③，设直线方程结合③求解，即可证明点在定直线上. 【详解】（1）令，代入双曲线方程可得，所以设，， 因为 ，所以，即，所以. 因为，所以， 所以，，， 所以双曲线的方程为.      （2）设，，直线， 联立可得，， 由可得或， 所以，， 直线    ① 直线    ②     ③ 由①÷②可得 把③代入上式化简可得， 解得，所以点在定直线上.      【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线. 题型八、圆锥曲线的最值与范围问题 35．已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意不妨取右焦点，如下图所示; 易知椭圆C过点，则，得， 又因为得， 解得，， 椭圆C的方程为； （2）显然，设， 当直线AB斜率不存在时，可得，此时； 当AB斜率存在，设直线， 与椭圆方程联立可得， 则，则， 令，，， 则， 当，时，等号成立； 综上可得最大值为． 36. 已知椭圆：（）的离心率是，原点到直线的距离等于. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知点，若椭圆上总存在两个点关于直线对称，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先根据题意建立方程组并求得，，再求椭圆的标准方程； （2）先根据题意设直线的方程并联立化简整理得，接着求出，再设并表示出的中点坐标，结合点在直线上，得到代入，求得，接着根据题意表示出和并结合求得，最后求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率是，原点到直线的距离等于， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）根据题意可设直线的方程为，联立，整理得， 由，得．设，则 又设的中点为，则. 由于点在直线上，所以，得代入，得，所以， 因为，所以 .由，得，即，所以，即， 所以，解得. 实数的取值范围为. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、根据向量的数量积求参数范围，是偏难题. 37．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且. (1)求证：为定值，并求出该定值； (2)如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，定值为： (2) 【分析】 【详解】（1）由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0， 因，过点，可设的方程为，则的斜率为， 设与相交于，， 由，得，则，， ， 同理可得， 所以； （2）设，，，， 因为， 所以直线，即. 同理：直线. 联立，解得. 设直线的方程为：，由对称性不妨设，，， 联立. 因为，解得，，，所以， 因为， 所以 ，化简得：. 所以. 因为， ， 所以 . ， 因，故，可得，则， 故的取值范围为. 38.已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用 39．已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. （2）设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. （3）设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 40．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故， 由题意得，故， 故椭圆C的方程为 （2）设，如下图所示： 则， 因为，且， 所以，即， 所以，解得， 所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即时，取等号， 故的最大值为 41．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为. 题型九、圆锥曲线的探索性问题 42.已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦． (1)求的内心坐标； (2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1） ∴椭圆的标准方程为， 不妨取，则； 因为中，，所以的内心在轴，设直线平分，交轴于，则为的内心，且，所以，则； （2）∵椭圆和弦均关于轴上下对称．若存在定点，则点必在轴上∴设 当直线斜率存在时，设方程为，直线方程与椭圆方程联立， 消去得， 则① ∵点的横坐标为1，均在直线上， ，整理得， 因为点在椭圆外，则直线的斜率必存在．∴存在定点满足题意 43.已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． (1)求椭圆的方程； (2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）直线l过坐标原点O时，，， 由椭圆离心率为，得，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）假设存在定点，，设直线l：，， 由消去y得， ，，， 直线的斜率有 ， 则当时，为定值， 所以存在定点，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0. 44.已知椭圆的短轴长为，右顶点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图所示，设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且都在轴的上方.在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）依题意得 解得， 椭圆的标准方程为. （2）存在点，使，点的坐标为.理由如下： 直线过点，与椭圆交于不同的两点.且都在轴上方. 直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为. 联立方程消去可得：. 此时，设，则. ， . 存在点满足条件. 点坐标为. 45.已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 题型十、圆锥曲线的证明问题 46. 设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4． (1)求椭圆E的方程； (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线． [规范解答]　(1)由题意知，4a＝4，a＝．又e＝，∴c＝，b＝， ∴椭圆E的方程为＋＝1． (2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知， 中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线， 当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则两式相减，得＋－＝0，∴＝－， ＝－，∴·＝－，·＝－， 即k·kOM＝－，∴kOM＝－．同理可得kON＝－，∴kOM＝kON，∴O，M，N三点共线． 47.已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆过已知点、顶点距离与焦距的关系，结合椭圆中的关系，即可得椭圆方程； （2）方法一：设直线方程，联立方程组后用韦达定理得到，通过向量数量积为0证明垂直；方法二：直线方程设为，联立方程组后用韦达定理得到，通过向量数量积为0证明垂直；方法三：通过设过定点的直线系方程，再结合椭圆方程变形，将垂直问题转化为斜率乘积为的关系，即可证得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为. （2） 方法一：设直线的方程为：. 联立方程,化简得, 显然点在椭圆的内部，所以. 设，则． 又因为,所以． 所以 所以，即. 方法二：设直线的方程为：， 联立方程,化简得． 显然点在椭圆的内部，所以． 设，则． 又因为，所以． 所以 ， 所以，即. 方法三：设：，则可化为， 展开得， 即， 化简得， 同除以可得， 又过，代入得，∴. 【点睛】联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理转化成坐标之间的关系，然后通过向量数量积为0或斜率乘积为来证明垂直是解决直线与椭圆垂直问题的常用方法. 48.设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)． (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB． [规范解答]　(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1．则点A的坐标为或． 又M(2，0)，所以直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－， 即x＋y－2＝0或x－y－2＝0． (2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°． 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB． 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋． 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝． 将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝．则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0． 从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB． 综上，∠OMA＝∠OMB成立． 49.已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点. (1)求的值； (2)直线与交于点，求证：. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）法一：设，求出直线的方程并与椭圆方程联立，求得点的坐标，利用向量的坐标计算化简即得；法二：设，写出直线的方程，将代入求得点的坐标，利用和的坐标计算即得； （2）将待证等式等价转换为证明.对应（1）中的法一与法二：利用向量坐标的数量积运算得到即可. 【详解】（1） 法一：设，则直线， 与椭圆方程联立，得， 则由 ， 且，故，则. 所以. 法二：设，则 则直线的方程为：，令，代入即得. 所以. （2）因为， 所以，要证，只需证，即证. 对应（1）中的法一：因为，，，， 所以 ， 于是. 或者：因直线，直线，即， 联立，解得. 因为 ，所以. 对应（1）的法二：因为， 所以，要证，只需证，即证. 因为，，，， 所以， 于是. 50．设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且△ MF1F2的周长是4＋2． (1)求椭圆C1的方程； (2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足⊥，∥，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE． 解析　(1)由e＝，知＝，所以c＝a，因为△MF1F2的周长是4＋2， 所以2a＋2c＝4＋2，所以a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C1的方程为：＋y2＝1． (2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)， 因为⊥，所以可设C(2，y1)，所以＝(x0＋2，y0)，＝(2，y1)， 由∥可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝． 所以直线AC的方程为：＝，整理得：y＝(x＋2)． 又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得：y＝， 即点P的坐标为，所以P为DE的中点，所以PD＝PE． 51．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：． （1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在，设其方程为． 则，直线的方程为， 由，得， 由，得， 设，则， 直线的方程为， 联立直线和的方程得， 解得， 同理可得， 所以， 因为 ， 所以，即点和点关于原点对称， 所以． . 题型十一、特殊图形问题 52．已知椭圆过点，离心率为，上的点关于轴的对称点为.设为原点，，过点与轴平行的直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在以为直径的圆上，求的值. （1）因为椭圆过点， 所以，即. 因为椭圆的离心率为，所以，， 又因为椭圆中，代入可得， 解得，所以椭圆的方程为； （2） 如图所示，因为关于轴的对称点为，，所以， 因为，所以，所以， 所以过点与轴平行的直线为， 将直线代入椭圆方程， 可得，即， 所以，， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 因为点在圆上，所以， 即， 又因为点在椭圆上，所以，即， 代入可得 ， 化简后可得，解得或（舍）， 所以. 53．已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知斜率为的直线经过点，且直线与椭圆交于点（不在轴上），若点在轴的负半轴上，是等边三角形，求的值． 【答案】（1）记椭圆的右焦点坐标为， 因为椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为， 所以有，解得，因此椭圆的方程为； （2）由（1）可得，则直线的方程为， 因为直线与椭圆交于点（不在轴上），所以， 将代入可得， 整理得， 则，即，所以， 因此，即， 则 所以， 又点在轴的负半轴上，设， 则，， 又是等边三角形， 所以， 即则， 所以，则，整理得， 代入可得， 则，整理得， 解得，所以， 又，所以，故. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 M O x y F1 A B C D M N O x y M A B F E O x y A B D C P $