16.1 .1二次根式及其性质 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 16.1.1 二次根式及其性质 第16章 二次根式 16.1 二次根式及其性质练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 判断下列各式是否为二次根式：①$$\sqrt{3}$$ ②$$\sqrt{-5}$$ ③$$\sqrt{x^2+1}$$ ④$$\sqrt[3]{4}$$ 解析：二次根式核心定义：形如$$\sqrt{a}$$（$$a \geq 0$$）的式子，重点看被开方数非负且根指数为2。 解：①被开方数3≥0，根指数为2，是二次根式；②被开方数-5<0，不是；③$$x^2+1 \geq 1$$，是；④根指数为3，不是。结论：①③是二次根式。 2. 化简：$$\sqrt{12}$$ 和 $$\sqrt{(-4)^2}$$ 解析：巩固二次根式性质：$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$$（$$a\geq0,b\geq0$$），$$\sqrt{a^2}=|a|$$。 解：$$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$；$$\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$$。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 求二次根式$$\sqrt{x-2}$$中x的取值范围，并化简$$\sqrt{(x-3)^2}$$（结合取值范围）。 解析：进阶考点，结合取值范围化简，核心是被开方数非负，再利用$$\sqrt{a^2}=|a|$$化简。 解：由$$x-2 \geq 0$$，得x≥2；当x≥2时，x-3可能为正或负，故$$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$$，即x≥3时为x-3，2≤x<3时为3-x。 4. 利用二次根式性质计算：$$(\sqrt{5})^2 - \sqrt{25} + \sqrt{(-\frac{1}{2})^2}$$ 解析：考查二次根式核心性质，区分$$(\sqrt{a})^2=a$$（$$a\geq0$$）与$$\sqrt{a^2}=|a|$$。 解：原式=5 - 5 + $$\left| -\frac{1}{2} \right|$$ = 0 + $$\frac{1}{2}$$ = $$\frac{1}{2}$$。 三、拓展题（30分） 5. 已知$$\sqrt{a-3} + \sqrt{b+2}=0$$，求$$(a+b)^{2026}$$的值。 解析：拓展应用，利用二次根式非负性（$$\sqrt{a} \geq 0$$），两个非负数和为0则均为0。 解：由题意得$$a-3=0$$，$$b+2=0$$，解得a=3，b=-2；则$$(a+b)^{2026}=(3-2)^{2026}=1^{2026}=1$$。 总结：本节重点考查二次根式定义、非负性及核心性质，关键是掌握被开方数非负，区分不同性质的应用，化简时注意符号，确保解题准确。 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 非负数. 推进新课 （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______. 用带根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征. 思 考 （1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2. 如果用含有 h 的式子表示 t ， 则 t 为______． h = 5t2 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 上面的问题结果分别是： ， ， ． ①根指数都为 2； ②被开方数为非负数. 分别表示 65，a2 + 1， 的算术平方根． 我们把形如 的式子叫作二次根式， 符号“ ”叫作二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥ 0 1.代数式 是二次根式吗？ 代数式 只有在 a ≥ 0 的情况下，才是二次根式. 符合条件①含有二次根号；②被开方数 22 为非负数，所以是二次根式. 思 考 2. 是二次根式吗？ 是的，二次根式的被开方数可以是整式或分式. 3. 是二次根式吗？ 练一练 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ （1） ； （2）81； （3） ； （4） ； （5） . √ × × √ × 分析： 是否含二次根号 是 被开方数是否为非负数 是 是二次根式 否 不是二次根式 否 当a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；当a = 0 时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0； 这就是说， 是一个非负数，具有双重非负性. 例 1 实数 x 为何值时，下列式子有意义？ （1） ； （2） . 解：（1）要使 有意义，则 x + 3 ≥ 0. 解这个不等式，得 x ≥ – 3. 所以当 x ≥ – 3 时， 有意义. （2）因为 x 为任何实数都有 x2 ≥ 0， 所以当 x 为一切实数时， 有意义. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） x 可以为任意实数 x ≥ 0 x 可以为任意实数 x ＞ 0 x＞ –1 x ≤ 1且 x ≠ 0 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数 ≥ 0，列不等式求解即可. 若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为 0. 思 考 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 随堂练习 B 2. 二次根式 中，x 的取值范围是（ ）. A. x＜2 B. x≤2 C. x≥2 D. x＞2 D 返回 B 中考考法 13 C 返回 中考考法 14 返回 C 中考考法 15 m≥1 返回 中考考法 16 中考考法 17 中考考法 返回 中考考法 返回 B 中考考法 20 课堂小结 二次根式 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 双重非负性 带有二次根号 被开方数为非负数 被开方数≥0 分母≠0 a≥0 ≥0 1．下列式子：，，，，，，，.其中一定是二次根式的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知是二次根式，则a的值可以是(　　) A．2 B．9 C．－2 D．30 3. 下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是(　　) A. B. C. D. 4.若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是________． 5．求下列式子中字母x的取值范围： (1)； 【解】要使有意义，则3－2x≥0，∴x≤. (2)； 【解】要使有意义，则x－4＞0，∴x＞4. (3). 【解】要使有意义，则－(x－2)2≥0. ∵(x－2)2≥0，∴(x－2)2＝0，∴x＝2. 6．[2025蚌埠期末]已知y＝－＋9，则xy的算术平方根为(　　) A．36 B．6 C．－6 D．±6 $