9.2.1总体取值规律的估计（第1课时） 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 9.2.1《总体取值规律的估计》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“统计”主题，学生应能够：根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，掌握频率分布表的制作方法和频率分布直方图的画法，并能用频率分布直方图估计总体分布. 课标分析： 本节课是统计中数据可视化分析的核心内容.在学习了简单随机抽样和分层随机抽样之后，学生需要对获取的样本数据进行整理和描述，从而推断总体规律.课标强调“掌握”和“会用”，教学中应通过具体实例（如居民月均用水量），引导学生经历“分组→列频率分布表→画频率分布直方图→解读图形信息”的完整过程.重点在于频率分布直方图的绘制步骤（求极差、定组距组数、分组、列表、画图）和图形含义（小长方形面积=频率）.难点是组距和组数的合理选择以及频率分布直方图与频数分布直方图的区别.本节课对培养数据分析、数形结合和统计思想具有重要作用. 2、 教材分析 “总体取值规律的估计”是人教A版必修第二册第九章第2.1节内容.教材以“制定居民用水标准”为背景，通过抽取100户居民月均用水量数据，引导学生学习如何从杂乱的数据中提取信息.教材详细介绍了制作频率分布表和画频率分布直方图的五个步骤，并通过图形直观展示了数据分布的形状（左高右低、右尾长），解释了各小长方形的面积代表频率.本节内容是统计描述的重要手段，也是后续学习总体集中趋势、离散程度等特征的基础. 3、 学情分析 学生在初中已经学过条形图、扇形图、折线图等统计图，对用图形表示数据有基本认识，但未系统学习频率分布直方图的制作.学生对“频数” “频率”概念已经了解，但对“组距” “组数”的确定以及用面积表示频率的合理性较为陌生.同时，学生容易混淆频率分布直方图与条形图（条形图纵轴是频数，直方图纵轴是频率/组距，面积是频率）.教师应通过对比、实例计算和动手画图，帮助学生建立正确认知. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从实际问题中抽象出数据整理的方法，理解频率分布直方图是用面积刻画频率的统计思想. 1. 逻辑推理素养：能根据极差和样本容量合理选择组距与组数，能通过频率分布表推算频率之和为1，并能利用直方图推断总体分布特征. 1. 数据分析素养：能根据原始数据编制频率分布表，绘制频率分布直方图，并能从图形中读取信息（如数据集中在哪个区间、分布是否对称等）. 1. 直观想象素养：能通过频率分布直方图直观感受数据的分布形态，建立数形结合意识. 1. 数学建模素养：能将实际调查问题的数据整理需求转化为频率分布表和直方图模型，并用于决策参考（如制定用水标准）. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：频率分布表和频率分布直方图的制作步骤；频率分布直方图中小长方形面积的意义. 1. 难点：组距与组数的合理选择；频率分布直方图与条形图的区别；根据直方图估计总体分布规律. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）制作频率分布表的步骤：① 求______（最大值与最小值的差）；② 确定______与______；③ 将数据______；④ 列______；⑤ 画______. 答案：极差；组距；组数；分组；频率分布表；频率分布直方图. （2）在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于该组的______，所有小长方形的面积之和等于______. 答案：频率；1. （3）已知一个样本容量为50，分为5组，第一组频率为0.2，则第一组的频数为______. 答案：. （4）频率分布直方图的纵轴表示______（等距分组时）. 答案：频率/组距. 2. 请学生回答，教师点评并强调频率分布直方图的纵轴意义. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 初中我们学过哪些统计图？它们各自有什么优点？ (2) 学生回答：条形图（能直观比较数量大小）、折线图（反映变化趋势）、扇形图（反映比例）等. (3) 追问：如果要了解大量数据在不同区间内的分布情况（如学生考试成绩在各个分数段的人数比例），用什么图形更合适？ 2.引入课题：频率分布直方图. 环节三：合作探究 1. 频率分布表的制作（5分钟） 教师以“100户居民月均用水量（单位：t）”数据（教材中已给出，共100个数据）为例，演示步骤： 步骤1：求极差. 最大值4.6，最小值0.2，极差 . 步骤2：确定组距和组数. 若取组距为0.5，则组数 ，取整数9组；若取组距为1，则组数约5组.通常样本容量100，组数取5~12.本例取组距0.5，分9组. 步骤3：将数据分组. 通常取左闭右开区间，最后一组闭区间.如 . 步骤4：列频率分布表. 统计各组的频数，计算频率（频数/样本容量），并计算频率/组距. 教师展示部分频率分布表（可以只给出关键行）. 强调：各频率之和等于1. 2. 频率分布直方图的画法（5分钟） 以组距为横坐标，以“频率/组距”为纵坐标，画出各小长方形. 每个小长方形的面积 = 组距 × (频率/组距) = 频率. 观察图形形状：数据主要集中在 区间？实际教材中用水量数据左高右低，大部分在低用水区，说明多数居民用水较少. 思考：为什么纵轴不直接用频率？因为不同组距下小长方形的高度可比性差，用频率/组距可保证面积为频率. 3. 图形解读与注意事项（5分钟） 从频率分布直方图中可以获得哪些信息？ 例如：① 数据分布的集中区间；② 分布是否对称；③ 是否存在极端值；④ 可以估计总体中落在各区间内的比例. 对比不同组距下的直方图： 组数过少会掩盖细节，组数过多则图形杂乱.需根据实际需要选择. 强调：频率分布直方图的各小长方形之间没有空隙（条形图有空隙），且面积之和为1. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于该组的频数.（ ） （2）同一组数据，当组距不同时，画出的频率分布直方图不同.（ ） （3）频率分布直方图中，所有小长方形的面积之和为1.（ ） （4）频率分布直方图的纵轴是频率.（ ） 答案：（1）×（面积是频率）；（2）√；（3）√；（4）×（等距分组时纵轴是频率/组距）. 例2：一个容量为40的样本，分成了6组，已知其中5组的频数分别为5、7、8、6、4，则第6组的频率为______. 解：前5组频数和 ，第6组频数 ，频率 . 答案：0.25. 例3：一个频率分布直方图中，某组的组距为2，对应的小长方形的高为0.1，则该组的频率为______. 解：组距=2，高=频率/组距=0.1，所以频率=高×组距=0.2. 答案：0.2. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：关于频率分布直方图，下列说法正确的有（ ） A. 直方图的高表示频率与组距的比 B. 直方图中小长方形的面积越大，说明该组数据越多 C. 直方图可以直观地看出数据分布的对称性 D. 直方图中各小长方形之间可以有间隔 答案：A、B、C（D错误，直方图各小长方形之间无间隔，条形图才有间隔）. 例5：某中学为了解高一学生的体能状况，随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳测试，测试结果（次数）整理后得到如下频率分布表（部分数据缺失）： 分组（次数） [60,80) [80,100) [100,120) [120,140) [140,160] 频数 5 8 15 12 a 频率 0.10 0.16 0.30 0.24 b （1）求a、b的值； （2）画出频率分布直方图（简述画法，不实际画图）； （3）估计该校高一学生一分钟跳绳次数在[100,140)内的比例. 解： （1）样本容量50，a = 50 - (5+8+15+12) = 10，频率 b = 10/50 = 0.20. （2）画法：① 横轴按分组区间，纵轴为频率/组距（组距为20）；② 计算各组的频率/组距：0.10/20=0.005, 0.16/20=0.008, 0.30/20=0.015, 0.24/20=0.012, 0.20/20=0.01；③ 以这些值为高画小长方形，无间隔. （3）[100,140) 包括 [100,120) 和 [120,140)，频率和为 0.30+0.24=0.54，所以比例约为54%. 例6：为了了解某地区居民用电情况，调查了100户居民月均用电量（单位：kW·h），得到极差为80，样本数据大致在[30,110]内.若分成8组，则组距应为多少？若第一组为[30,40)，则最后一组应如何表示？ 解：组距 = 极差 / 组数 = 80 / 8 = 10.第一组[30,40)，第二组[40,50)，…，第八组[100,110]（最后一组闭区间）. 答案：组距10，最后一组[100,110]. 例7：一个频率分布直方图，共有5个矩形，各矩形面积之比为 1:2:3:2:1，且样本容量为90），求第三组的频数. 解：总份数 1+2+3+2+1=9，第三组频率占 3/9 = 1/3，频数 = 90 × (1/3) = 30. 答案：30. 例8：为调查某校学生的视力情况，随机抽取了200名学生，测得视力数据如下表（频率分布表已部分给出）： 视力分组 [3.8,4.2) [4.2,4.6) [4.6,5.0) [5.0,5.4) [5.4,5.8] 频率 0.10 0.25 0.40 0.15 0.10 （1）求表中各组的频数； （2）估计视力在4.6以下（不含4.6）的学生所占比例； （3）若视力在5.0及以上为优秀，估计优秀率. 解： （1）频数=频率×200：第一组20人，第二组50人，第三组80人，第四组30人，第五组20人. （2）视力在4.6以下包括第一、二组，频率 0.10+0.25=0.35，故比例35%. （3）优秀包括第四组和第五组（5.0及以上），频率 0.15+0.10=0.25，优秀率25%. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 制作频率分布直方图的五个步骤（求极差、定组距组数、分组、列表、画图）. (2) 小长方形的面积 = 频率，所有面积之和 = 1. (3) 纵轴是频率/组距（等距分组时）. (4) 频率分布直方图可以估计总体的分布形态. 1. 教师强调： 组数不宜过多或过少，通常5~12组. 3.直方图与条形图的区别：直方图无间隔，面积代表频率；条形图宽度相等、高度代表频数或频率，有间隔. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第193页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《总体取值规律的估计（第1课时）》. 1. 拓展作业： 收集班级同学某次考试成绩（至少30个数据），制作频率分布表并画出频率分布直方图，分析成绩分布情况. 1. 预习引导： 预习下一节“总体取值规律的估计（第2课时）——总体百分位数的估计”，思考如何用百分位数描述数据位置. 授课人个案修改记录： 本节课以居民用水量调查为背景，通过实际数据让学生经历了频率分布直方图的完整制作过程，学生能够掌握五个步骤，并理解小长方形面积代表频率这一核心思想.在练习中，设计了填空、判断、计算和综合题，特别是通过面积比求频数、根据直方图估计比例等题型，有效巩固了知识.不足之处：学生对组距和组数的选择缺乏经验，需要在后续实践中积累；另外，频率分布直方图与条形图的区别部分学生仍会混淆，可通过对比图形加深印象.整体上，本节课为后续学习总体特征估计打下了良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $