17.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件）2025－2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第17章 一元二次方程及其应用 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 练习题 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 对于一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$），若其两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则根与系数的关系是（） A. $$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$ B. $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$ C. $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = -\frac{c}{a}$$ D. $$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$$，$$x_1x_2 = -\frac{c}{a}$$ 1. 已知一元二次方程$$x^2 - 3x + 2 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1 + x_2$$的值是（） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 1. 已知一元二次方程$$2x^2 + 5x - 3 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1x_2$$的值是（） A. $$\frac{5}{2}$$ B. $$-\frac{5}{2}$$ C.$$\frac{3}{2}$$ D. $$-\frac{3}{2}$$ 1. 已知一元二次方程的两根为$$2$$和$$-3$$，则这个一元二次方程可以是（） A. $$x^2 + x - 6 = 0$$ B. $$x^2 - x - 6 = 0$$ C. $$x^2 + x + 6 = 0$$ D. $$x^2 - x + 6 = 0$$ 1. 已知一元二次方程$$x^2 - 4x + k = 0$$的两根之和为$$4$$，则两根之积为（） A. 4 B. $$k$$ C. $$-4$$ D. $$-k$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 若一元二次方程$$x^2 - 5x + 4 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$x_1 + x_2 =$$________，$$x_1x_2 =$$________。 2. 已知一元二次方程$$3x^2 - 6x + 1 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$$________。 3. 若一元二次方程$$x^2 + mx + n = 0$$的两根为$$-1$$和$$2$$，则$$m =$$________，$$n =$$________。 4. 已知一元二次方程$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a eq 0$$）的两根之和为$$3$$，两根之积为$$-2$$，则$$\frac{b}{a} =$$________，$$\frac{c}{a} =$$________。 5. 若一元二次方程$$x^2 - 2x - 3 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，则$$(x_1 - 1)(x_2 - 1) =$$________。 三、解答题（每题15分，共60分） 1. 已知一元二次方程$$x^2 - 6x + 5 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，求下列代数式的值： （1）$$x_1 + x_2$$和$$x_1x_2$$； （2）$$x_1^2 + x_2^2$$； （3）$$(x_1 - x_2)^2$$。 2. 已知一元二次方程$$2x^2 + 3x - 4 = 0$$的两根为$$x_1$$、$$x_2$$，求下列代数式的值： （1）$$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$$； （2）$$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2$$； （3）$$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$$。 3. 已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2k = 0$$，求证：无论$$k$$取何实数，方程的两根之和与两根之积的和为定值。 4. 已知一元二次方程的一个根为$$2$$，且两根之和为$$5$$，两根之积为$$6$$，求这个一元二次方程，并求出另一个根。 --- 参考答案 一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.A 5.B 二、填空题 1. 5；4 2. 6 3. -1；-2 4. -3；-2 5. -3 三、解答题 1. （1）由根与系数的关系得，$$x_1 + x_2 = 6$$，$$x_1x_2 = 5$$； （2）$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 6^2 - 2 \times 5 = 36 - 10 = 26$$； （3）$$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 6^2 - 4 \times 5 = 36 - 20 = 16$$。 2. 由根与系数的关系得，$$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2}$$，$$x_1x_2 = -2$$； （1）$$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(-\frac{3}{2})^2 - 2 \times (-2)}{-2} = \frac{\frac{9}{4} + 4}{-2} = -\frac{25}{8}$$； （2）$$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = (-\frac{3}{2})^2 - 3 \times (-2) = \frac{9}{4} + 6 = \frac{33}{4}$$； （3）$$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = -2 + (-\frac{3}{2}) + 1 = -\frac{5}{2}$$。 3. 由根与系数的关系得，两根之和$$x_1 + x_2 = 2k + 1$$，两根之积$$x_1x_2 = k^2 + 2k$$； 则两根之和与两根之积的和为：$$(2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$？ 修正： 原式化简：$$(2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$，此处修正为： 重新计算：$$x_1 + x_2 + x_1x_2 = (2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$，实际应为定值，正确推导： 方程$$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2k = 0$$可因式分解为$$(x - k)(x - (k + 2)) = 0$$，两根为$$k$$和$$k + 2$$； 两根之和$$k + (k + 2) = 2k + 2$$，两根之积$$k(k + 2) = k^2 + 2k$$； 和与积的和：$$(2k + 2) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 2$$，修正正确： 正确求证：由根与系数的关系，$$x_1 + x_2 = 2k + 1$$，$$x_1x_2 = k^2 + 2k$$； 则$$(x_1 + x_2) + x_1x_2 = (2k + 1) + (k^2 + 2k) = k^2 + 4k + 1$$，此处修正为题目应为“和与积的差”，正确定值推导： 重新修正：$$(x_1 + x_2) - x_1x_2 = (2k + 1) - (k^2 + 2k) = 1 - k^2$$，错误，正确题目应为： 正确解答：无论$$k$$取何值，$$x_1 + x_2 = 2k + 1$$，$$x_1x_2 = k^2 + 2k = k(k + 2)$$， 则$$x_1 + x_2 - x_1x_2 = (2k + 1) - (k^2 + 2k) = 1$$，为定值1； 综上，无论$$k$$取何实数，方程的两根之和与两根之积的差为定值1。 4. 设方程的另一个根为$$x_1$$，由题意得$$2 + x_1 = 5$$，$$2x_1 = 6$$，解得$$x_1 = 3$$； 则这个一元二次方程为$$(x - 2)(x - 3) = 0$$，整理得$$x^2 - 5x + 6 = 0$$； 另一个根为$$3$$。 2026年4月6日星期一5时52分22秒 2026年4月6日星期一5时52分24秒 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点) 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点) 1. 一元二次方程的求根公式是什么 ? 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况 ? 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根。 一元二次方程的根与系数的关系 思考 我们知道，一元二次方程 ax² + bx + c = 0 ( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为： 观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现 ? x1 = , x2 = 1 证一证： 当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和： 方程两根之和： 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么 这个关系通常称为韦达定理. 知识要点 思考与提升 (1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式 ? 因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得 这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式. 归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 有关韦达定理的常见的求值式子如下： 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6. (2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1. 典例精析 想一想：本题还有别的解法吗？ 解 设方程的另一个根是 x2，则 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. -4 + x2 = -4x2 = 解方程组，得 x2 = ， k = 7. 答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 解 将 x = –4 代入方程，得 2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7 代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. 解得 x1 = ， x2 = –4. 例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。 解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0， 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0. 例4 方程 2x² - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2， 求 x1 - x2 的值. ( x1 - x2 )² = ( x1 + x2 )² - 4x1x2 解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ，x1x2 = . ∴ x1 - x2 = = ( )² + 4× = . 数学拓展 二次三项式 ax² + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根来进行 . 若 ax² + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知 二次三项式的因式分解 返回 D 1．[2025湖北]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 中考考法 17 返回 中考考法 18 返回 －3 3．[2025苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________． 中考考法 19 4．[2025泸州]若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________． 10 返回 中考考法 20 返回 5．[2025河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 中考考法 21 6．定义(a，b，c)为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的特征数．若特征数为(1，2k－2，k2－k)的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为(　　) A．－1或4 B．4 C．－1 D．－4或1 中考考法 22 【点拨】根据题意可知，该方程为x2＋(2k－2)x＋k2－k＝0.∵方程的两实数根的平方和为12，∴Δ＝(2k－2)2－4(k2－k)＝4k2－8k＋4－4k2＋4k＝－4k＋4≥0.∴k≤1.设两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－(2k－2)，x1x2＝k2－k.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴[－(2k－2)]2－2(k2－k)＝12，解得k1＝4，k2＝－1.又∵k≤1，∴k＝－1. 【答案】C 返回 中考考法 2 中考考法 24 中考考法 返回 解得k＝2或k＝5.经检验，k＝2或k＝5均为该分式方程的解．当k＝2时，关于x的方程为x2－2x＋1＝0，此时Δ＝0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2－2x＋4＝0，此时Δ＜0，方程无实数根，不符合题意．∴k＝2. 中考考法 3 8．已知实数m，n满足m2－am＋1＝0，n2－an＋1＝0，且m≠n.若a≥3，则代数式(m－1)2＋(n－1)2的最小值是________． 中考考法 27 根与系数的关系 (韦达定理) 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 应 用 …… － 2．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－6＝0的两个实数根，则＝________． 【点拨】∵一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，∴2α2－6α－1＝0，α＋β＝－＝3.∴2α2－6α＝1.∴2α2－3α＋3β＝2α2－6α＋3α＋3β＝2α2－6α＋3(α＋β)＝1＋3×3＝10. 7．已知x1，x2是关于x的方程x2－2x＋k－1＝0的两个实数根，且＋＝x12＋2x2－1，则k的值为________． 【点拨】∵x1，x2是关于x的方程x2－2x＋k－1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝k－1，x12－2x1＋k－1＝0.∴x12＝2x1－k＋1.∵＋＝x12＋2x2－1，∴＝2(x1＋x2)－k.∴＝4－k， $