精品解析：2026年河南开封市三校第二次模拟预测数学试题

2026年第二次模拟预测数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正确理解正负的相对性是解题的关键； 根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可. 【详解】解：如果收入100元记作元，那么支出40元应记作元； 故选：C. 2. 如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【分析】根据立体图形的展开图特点即可求解． 【详解】解：观察几何体的展开图可知，这个几何体是四棱锥． 3. 2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目．2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据对顶角得出，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）． A. 8 B. 6 C. 6.5 D. 7.5 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 8. 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】列表得， 1 2 0 -1 1 （1，1） （1，2） （1，0） （1，-1） 2 （2，1） （2，2） （2，0） （2，-1） 0 （0，1） （0，2） （0，0） （0，-1） -1 （-1，1） （-1，2） （-1，0） （-1，-1） 由表格可知，总共有16种结果，两个数都为正数的结果有4种，所以两个数都为正数的概率为， 故选：C. 【点睛】考点：用列表法（或树形图法）求概率. 9. 如图，和是菱形的对角线．若，，则菱形的面积为（）　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，则，然后通过勾股定理求出，所以，最后根据菱形的面积为即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 10. 光合作用，通常是指绿色植物(包括藻类)吸收光能，把二氧化碳和水合成富能有机物，同时释放氧气的过程．小明通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度 (毫克/小时)与光照强度 (千勒克斯)之间的关系，并绘制了氧气释放速度(毫克/小时)与光照强度(千勒克斯)之间的关系图象(如图所示)，下列说法正确的是（ ） A. 光照强度越大，大豆苗释放氧气的速度越快 B. 当时，两种温度环境下的大豆苗氧气释放速度相同 C. 当时，环境下的大豆苗比环境下的大豆苗小时多释放毫克氧气 D. 当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要从图像中获取准确数据、理解图像交点和上下位置关系的含义． 【详解】解：选项A：当时，环境下大豆苗释放氧气的速度不变，故A选项错误，不符合题意； 选项B：由题图知，当时，环境下大豆苗释放氧气的速度大于环境下大豆苗释放氧气的速度，故B选项错误，不符合题意； 选项C：由题图知，当时，环境下的大豆苗1小时释放氧气毫克，环境下的大豆苗1小时释放氧气毫克，所以环境下的大豆苗比环境下的大豆苗小时多释放的氧气量为毫克，故C选项正确，符合题意； 选项D：当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的慢，当时，两种温度环境下的大豆苗的氧气释放速度相同，当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快，故D选项错误，不符合题意． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数 ），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键．要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义 被开方数 解不等式，得， 那么取（只要是大于等于的数都可以 ），满足 故答案为：（答案不唯一，的数均可 ） 12. 在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是________． 【答案】26 【解析】 【详解】试题分析：根据折线统计图可知6名学生的体育成绩为；24，24，26，26，26，30，所以这组数据的中位数是26． 考点：折线统计图、中位数． 13. 按一定规律排列的代数式：则第n个代数式是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索．观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【详解】解：∵第1个单项式是， 第2个单项式是， 第3个单项式是，…， ∴第n个单项式是． 故答案为：． 14. 图是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图，根据割圆八线图，在扇形中，  ，，交 于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，可得，可得，解，，，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ，， ∴ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴ ． 15. 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在对垂四边形中，已知，，，点E为边上一动点，连接，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当F在线段上方时，连接，作的外接圆，证明C，F，B，E，D五点共圆，根据弧、弦的关系，圆周角定理可得出，则，根据圆内接四边形的对角互补求出，过点D作于点K，过C作于M，在中，解直角三角形求出，，中，根据勾股定理求出，根据三线合一求出，在中，根据余弦的定义求出即可；②当F在线段下方时，类似①求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，． 当F在线段上方时， 如图①，连接，作的外接圆， ∵，， ∴， ∴C，B，E，D四点共圆， ∵， ∴C，F，B，E四点共圆， ∴C，F，B，E，D五点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图②，过点D作于点K，过C作于M， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴； 当F在线段AB下方时，如图③，连接，作的外接圆， 同理可得C，F，B，E，D五点共圆， ∵， ∴， ∴， 如图④，过点D作DL⊥FB于点L，过C作于N， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴； ∴综上所述，的长为或． 三、解答题（8题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1） 8；（2） 【解析】 【分析】（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、实数的立方根分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可． 【详解】解：（1） 原式； （2） ． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 17. 中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程． 某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送． 学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）． 学生会随机抽取了10位学生的评价分数： 学生A 学生B 学生C 学生D 学生E 学生F 学生G 学生H 学生I 学生J 甲公司 7 6 7 6 9 7 9 8 10 9 乙公司 6 5 8 7 8 8 8 9 8 10 学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司分；乙公司分． （1）为了能够更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差中的哪些统计量？请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析． （2）根据前面的工作，你认为用餐学生对哪家公司的饭菜质量更加满意，为什么？ 【答案】（1） 解：还需要了解方差，甲公式方差： ， 乙公司的方差： ∵， ∴甲公司配送饭菜的满意情况波动更小； （2）用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意； 理由：∵， ∴用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用中位线、众数、平均数和方差做决策，解题的关键是理解中位线、众数、平均数和方差的意义； （1）根据题目中给出的数据可以求出方差，然后根据方差的意义进行判断即可； （2）通过比较平均数，可以判断出用餐学生对甲公司的饭菜质量更加满意． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若． （1）求反比例函数的解析式； （2）是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2）平移前点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平移的性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）设点的坐标为，根据，可得点的坐标为，进而求出点的坐标为，结合，计算出的值； （2）点的坐标为，结合题干可求出点的坐标为．由平移的性质可知，平移后的点的坐标为，将点坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，从而得到平移前点的坐标． 【小问1详解】 解：设点的坐标为， ∵是直线延长线上的一点，且， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 由（1）可知，点的坐标为， ∵是线段的中点， ∴点的坐标为， 将点向左平移个单位长度，所得的点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴平移前点的坐标为． 19. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，点E在上，将点E绕点A逆时针旋转得到点F． （1）在图中求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，连接交于点G，当G是的中点时，求的值． 【答案】（1） 如图点F即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及菱形的性质，得，再作点E关于直线的对称点，则，得出是等边三角形，则点F满足题意，即可作答． （2）连接，．运用菱形的性质得，，． 再证明是的中位线，根据点E绕点A逆时针旋转得到点F，得是等边三角形． 设，运用三角形函数的性质列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：作点E关于直线的对称点． 【小问2详解】 解：连接，． ∵在菱形中，， ∴，，． ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ． ∴． ∵点E绕点A逆时针旋转得到点F， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 设， 可得在中，， 则 ∴． ∴中， ∴． ∴． ∴在中，． 【点睛】本题考查了旋转作图，菱形的性质，中位线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，求一个角的正切值，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20. 为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地，每套B种器材需占地，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元． （1）A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？ （2）阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）A种体育器材的单价为2000元，则B种体育器材的单价为1800元 （2） 【解析】 【分析】（1）设A种体育器材的单价为x元，则B种体育器材的单价为元，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设购买A种体育器材a套，则购买B种体育器材套，装这20套体育锻炼器材占地面积为，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，再列出总面积关于A种体育器材的件数的一次函数，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种体育器材的单价为x元，则B种体育器材的单价为元， 由题意可得，， 解得，， ∴， 答：A种体育器材的单价为2000元，则B种体育器材的单价为1800元． 【小问2详解】 解：设购买A种体育器材a套，则购买B种体育器材套，装这20套体育锻炼器材占地面积为， 由题意可得，， 解得，， ， ∵S随着a的增大而增大， 又∵a为正整数， ∴当时，S取最大值，最大值为87， 答：装这20套体育锻炼器材占地面积为． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、一元一次不等式和一次函数的实际应用，理解题意列出方程是解题的关键． 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）8.6m 【解析】 【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似可证明； （2）还需要测出的长，令，证明，得即 ，从而即可得解； （3）过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形，进而得，，证，得，即，求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：还需要测出的长，令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形， ∴(m)，，， ∴(m)， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴(m)． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂线定义，平行线的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 22. 已知抛物线y＝ (b，c为常数)． （1）当，时，求抛物线的顶点M的坐标； （2）若抛物线的顶点M的坐标为，当c的值最大时，求抛物线的解析式； （3）当时，若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，此时b和c的值． 【答案】（1）， （2）， （3）b的值为6，c的值为15 【解析】 【分析】（1）先把 ，代入，然后把得到的抛物线一般式配成顶点式即可求解； （2）由顶点 的坐标可得c与b的二次函数解析式，根据二次函数的性质可得b，c的值，进而求出抛物线的解析式； （3）首先把 代入得到只含有系数b的解析式，然后根据对称轴的位置分类讨论即可． 【小问1详解】 解：当，时，抛物线为， 所以抛物线的顶点M的坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点M的坐标为． ∵顶点M的坐标为， ∴　， ∴， ∴当时，c的值最大，最大值为 ，此时抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 由题意得，抛物线的对称轴为直线． 当 ，即时，对应的图象在对称轴的左侧， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随着x的增大而增大， ∴当时，函数值y最大，最大值为，解得， ∴，； 当 ，即时，对称轴在之间， ∴当时，y有最大值，为 ， ∴ ，解得或，均不符合，故舍去； 当 ，即时，对应的图象在对称轴的右侧． ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大值为， 解得(不合题意，舍去)； 综上所述，b的值为6，c的值为15． 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 【答案】（1）等边对等角， （2） ①证明：∵，， ∴， 又， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解； （2）①利用证明即可； ②证明可得出，证明可得出，则点为的中点，利用勾股定理求出，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可； （3）分， 两种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：等边对等角，； 【小问2详解】 ①略 ②如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点为的中点． 在中，． ∵是中点，． 在与中，∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：当时，过D作于H， 则， ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H，过M作于G， 则， 又， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的面积是为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年第二次模拟预测数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如果收入100元记作元，那么支出40元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 四棱锥 C. 三棱锥 D. 长方体 3. 2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目．2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）． A. 8 B. 6 C. 6.5 D. 7.5 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和是菱形的对角线．若，，则菱形的面积为（）　 A. B. C. D. 10. 光合作用，通常是指绿色植物(包括藻类)吸收光能，把二氧化碳和水合成富能有机物，同时释放氧气的过程．小明通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度 (毫克/小时)与光照强度 (千勒克斯)之间的关系，并绘制了氧气释放速度(毫克/小时)与光照强度(千勒克斯)之间的关系图象(如图所示)，下列说法正确的是（ ） A. 光照强度越大，大豆苗释放氧气的速度越快 B. 当时，两种温度环境下的大豆苗氧气释放速度相同 C. 当时，环境下的大豆苗比环境下的大豆苗小时多释放毫克氧气 D. 当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的x的值：______． 12. 在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是________． 13. 按一定规律排列的代数式：则第n个代数式是______． 14. 图是我国明末《崇祯历书》中记录《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图，根据割圆八线图，在扇形中，  ，，交 于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是______． 15. 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在对垂四边形中，已知，，，点E为边上一动点，连接，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的长为______． 三、解答题（8题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 中小学午餐配送是郑州教育的“暖心服务”工程． 某校午餐原来由甲公司配送，为了提高饭菜质量，新学期午餐由乙公司配送． 学生会为了解用餐学生对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况，组织学生对两家公司的饭菜质量进行分数评价（满分为10分）． 学生会随机抽取了10位学生的评价分数： 学生A 学生B 学生C 学生D 学生E 学生F 学生G 学生H 学生I 学生J 甲公司 7 6 7 6 9 7 9 8 10 9 乙公司 6 5 8 7 8 8 8 9 8 10 学生会同学在进行数据分析时首先计算了各公司得分的平均数：甲公司分；乙公司分． （1）为了能够更加全面、客观地对甲、乙两家公司配送饭菜的满意情况进行评价，你认为还需要了解中位数、众数、方差中的哪些统计量？请至少选择一个你认为合适的统计量进行数据分析． （2）根据前面的工作，你认为用餐学生对哪家公司的饭菜质量更加满意，为什么？ 18. 如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若． （1）求反比例函数的解析式； （2）是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标． 19. 如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，点E在上，将点E绕点A逆时针旋转得到点F． （1）在图中求作点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，连接交于点G，当G是的中点时，求的值． 20. 为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地，每套B种器材需占地，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元． （1）A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？ （2）阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？ 21. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 （1）利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 （2）在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 （3）利用素材3求出旗杆的高度． 22. 已知抛物线y＝ (b，c为常数)． （1）当，时，求抛物线的顶点M的坐标； （2）若抛物线的顶点M的坐标为，当c的值最大时，求抛物线的解析式； （3）当时，若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，此时b和c的值． 23. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． （1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴． （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． （2） “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． （3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $