精品解析：陕西延安市宝塔区2025-2026学年下学期八年级数学第一阶段素养达标测试（人教版）

2026春季八年级数学第一阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十章完，P1-P44） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 5，12，13 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3，不是勾股数，本选项不符合题意； B、不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意； C、∵， ∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意； D、，，这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选B． 3. 若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（ ） A. 5或 B. 1 C. 7 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：当长为的边是斜边，长为的边是直角边时， 由勾股定理可得：第三边长为； 当长为和的边都是直角边，第三边为斜边时， 由勾股定理得：第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，无法直接合并，故，B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意． 5. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条（ ）．（结果保留根号） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：米， 故选B． 6. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】当时，（秒； 当时，（秒； ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 7. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　） A. 4尺 B. 尺 C. 尺 D. 5尺 【答案】C 【解析】 【分析】首先设AC=x，然后根据勾股定理列出方程，求解即可. 【详解】设AC=x， ∵AC+AB=10， ∴AB=10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 解得：x=4.55， 即AC=4.55． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图. 8. 如图，已知正方形的面积为12，正方形的面积为6，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．先根据正方形的面积求出边长，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：正方形的面积为12，正方形的面积为6， ，， ； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由题意得 ， 解得 ， 的值可以是． 10. 三角形的三边长分别为，则这个三角形的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，此题难度不大，属于基础题．根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，然后利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】三角形的三边长分别为， ∵， ∴此三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积． 故答案为：6． 11. 如图，在中，，，，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴. 12. 若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，先确定被开方数为非负数，再结合为整数，验证被开方数不含能开得尽方的因数，即可得到满足条件的最小整数. 【详解】解：由题意，， 解得， 因为是整数，因此的最小取值从开始， 当时，，不含能开得尽方的因数， 因此是最简二次根式，满足条件； 故的最小整数值为． 13. 如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】先由勾股定理求出A所代表的正方形的面积，再结合算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：A所代表的正方形的面积为， ∴A所代表的正方形的边长为． 14. 如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【解析】 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 如图，在数轴上找出表示的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】取，，其中垂直于数轴，再以点为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，点即为所求． 【详解】略 17. 若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解一元一次方程．利用同类二次根式的概念即可求出． 【详解】解：∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 18. 如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 【答案】m 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的公式．由题意可得，，然后根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴由勾股定理得：， 答：帐篷支撑竿的高是m． 19. 一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 【答案】米/秒 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题目所给公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∴（米/秒）． 答：该运员的跑步速度是米/秒． 20. 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 21. 如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【答案】10尺 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【详解】解：设竹竿长尺，由题意，竹竿尺，门高尺，门宽尺， 在中， 解得 答：竹竿长10尺． 22. 已知 （1）求 的值； （2）若 试判断以a，b，c为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）直角三角形， 理由：， ， ， ， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则和勾股定理逆定理，本题属于基础题型． （1）直接代入根据二次根式运算法则计算即可求出答案； （2）根据勾股定理逆定理即可判断三角形的形状． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 23. 小明有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．若小明用这根铁丝首尾相接围成正方形，则围成的正方形与原长方形相比，谁的面积大？ 【答案】围成的正方形面积大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，先求出长方形面积，再求出正方形边长，进而求出正方形面积，比较即可得到答案，掌握二次根式的运算法则是关键． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为， 长方形的周长为． 围成的正方形边长为． 则长方形的面积为．正方形面积为 因为，所以围成的正方形面积大． 24. 如图10，在中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴即， ∴是直角三角形， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，是线段的垂直平分线，则，由，可得，则是直角三角形，进而结论得证； （2）由题意知，，在中，由勾股定理得，则，根据的周长为，计算求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意知，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； （2）判断之间的大小，并证明． 【答案】（1）>； （2） 解：， 证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 则， 故答案为：>； 【小问2详解】 略 26. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】 （1）， ， ∴， 即； （2）新路比原路少5千米；（3） 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1） 略 （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季八年级数学第一阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二十章完，P1-P44） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 5，12，13 D. ，， 2. 计算的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 3. 若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（ ） A. 5或 B. 1 C. 7 D. 25 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条（ ）．（结果保留根号） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 7. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　） A. 4尺 B. 尺 C. 尺 D. 5尺 8. 如图，已知正方形的面积为12，正方形的面积为6，则的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是__________．（写出一个即可） 10. 三角形的三边长分别为，则这个三角形的面积是____． 11. 如图，在中，，，，则的长为__________． 12. 若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 13. 如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为__________． 14. 如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 如图，在数轴上找出表示的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 17. 若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 18. 如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷，若绳子的长度是，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 19. 一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 20. 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 21. 如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 22. 已知 （1）求 的值； （2）若 试判断以a，b，c为边的三角形的形状，并说明理由． 23. 小明有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍．若小明用这根铁丝首尾相接围成正方形，则围成的正方形与原长方形相比，谁的面积大？ 24. 如图10，在中，D是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，求的周长． 25. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； （2）判断之间的大小，并证明． 26. 【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $