精品解析：浙江省宁波市外国语学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

宁波外国语学校2025学年度第二学期初一数学期中试卷 （所有答案写在答题卷上，在试卷上作答不得分） 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，幂的运算，多项式除以单项式的运算法则，逐一计算判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故选项计算错误； B、，故选项计算正确； C、，故选项计算错误； D、，故选项计算错误． 3. 某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 4. 若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设另一个多项式为，再利用整式的乘法进行整理得得到对应各项系数，然后求得的值． 【详解】解：设多项式的另一个因式是，则，∴，， ∴，． 5. 如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先表示出空白部分的面积，可以把四块空白部分矩形拼成一个长为，宽为的较大矩形，然后用最大的矩形面积减去空白部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，最大的矩形面积为，空白部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 6. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 7. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8. 从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A. 走第一条路花费时间比第二条少 B. 走第一条路花费时间比第二条多 C. 走第一条路花费时间比第二条少 D. 走第一条路花费时间比第二条多 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算走两条路花费的时间，再作差比较即可得到结果． 【详解】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为， ∴走第一条路花费的时间为； ∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为， ∴走第二条路花费的时间为， ∵， ∴走第一条路花费时间比第二条少． 9. 已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【详解】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 10. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 13. 已知是完全平方式，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先将化为的幂的形式，再利用幂的乘方法则化简，根据同底数幂相等时指数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得． 15. 若，则分式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 16. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．若已知f、v，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键． 17. 实数a，b，c满足，，则________． 【答案】72 【解析】 【分析】由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式将各分子分解后与分母约分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴ ． 18. 已知，，则的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 三、解答题（共56分） 19. 化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据单项式除单项式的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可求解； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先因式分解，再将除法运算为乘法运算，再约分化简即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 21. 先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】先将分子分母因式分解，再约分，然后括号内进行通分，将除法计算转化为乘法计算，约分化简即可，再根据分式有意义的条件确定的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ，，， 取，原式． 22. 飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． （1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】（1）每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 （2）该航模店共获利润1050元 【解析】 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； 【小问2详解】 解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 23. 在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： （1）若，且，求的值． （2）若且，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【小问1详解】 解：令，则，，， ； 【小问2详解】 解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 24. 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ① ② ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足，求的值． （3）如图丁，在线段CE上取一点D且，分别以，为边作正方形，，连接，，． ①若阴影部分的面积和为33，四边形的面积为13，求的长度． ②若P为边上一点，连接，，线段的长度为4，，的长度为正整数，且与四边形的面积相等，求的长度． 【答案】（1）①③② （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积，列出等式整理即可； （2）令，，则，，，再代入根据等式③，即可求解； （3）设，，，则，，①由图可得，，，从而，，进而，即可求出；②由图可得，，，从而，整理可得，根据m和n为正整数且，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：图甲中，或，则，整理得，即①； 图乙中，或，则，整理得，即③； 图丙中，或，则，整理得，即②； 综上可知：甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①③②； 【小问2详解】 解：令，，则，， ， ， 由（1）中的等式③，得， ， 则； 【小问3详解】 解：设，，， 正方形和正方形， ，，则，， ①由图可得，，， ，，则，， ，则， 则； ②由图可得，，， ， ，即， 则，整理得， m和n为正整数，， 当时，，即，，则； 当时，，即，，则； 当时，，即，不符合题意，舍去； 综上所述：的长度为或． 附加题（共10分，折半计入总分） 25. ________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算一般式，利用完全平方公式和平方差公式因式分解，得到，然后将分子分母的每一项变形为两数相乘，然后约分即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 原式 ． 26. 已知，，满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式对原式进行变形，得到，根据完全平方式的非负性即可确定的取值范围，即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ， 当时，，则有，， ，， 由于、、都是实数，则等号可取到， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波外国语学校2025学年度第二学期初一数学期中试卷 （所有答案写在答题卷上，在试卷上作答不得分） 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 5. 如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3 7. 如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A. 走第一条路花费时间比第二条少 B. 走第一条路花费时间比第二条多 C. 走第一条路花费时间比第二条少 D. 走第一条路花费时间比第二条多 9. 已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 的值为________． 12. 的值为________． 13. 已知是完全平方式，则实数________． 14. 若，则________． 15. 若，则分式的值为________． 16. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．若已知f、v，则________． 17. 实数a，b，c满足，，则________． 18. 已知，，则的值为________． 三、解答题（共56分） 19. 化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 22. 飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． （1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 23. 在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： （1）若，且，求的值． （2）若且，求的值． 24. 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ① ② ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________； （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足，求的值． （3）如图丁，在线段CE上取一点D且，分别以，为边作正方形，，连接，，． ①若阴影部分的面积和为33，四边形的面积为13，求的长度． ②若P为边上一点，连接，，线段的长度为4，，的长度为正整数，且与四边形的面积相等，求的长度． 附加题（共10分，折半计入总分） 25. ________． 26. 已知，，满足，则的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $