精品解析： 浙江省宁波市慈溪实验中学2024-2025学年七年级下学期数学期中试卷

2024学年第二学期慈溪实验中学七年级数学期中测试试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，与不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下面是一位同学做的四道题目：①；②；③；④，做对的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 若是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为(　 　) A. ±2 B. ±5 C. 7或－5 D. －7或5 7. 计算：（8x3﹣12x2﹣4x）÷（﹣4x）＝（　　） A. ﹣2x2+3x B. ﹣2x2+3x+1 C. ﹣2x2+3x﹣1 D. 2x2+3x+1 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ） A. 4042 B. 4040 C. 4038 D. 4036 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：______． 12. 若与的和是单项式，则______． 13. 已知，则______． 14. 如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有______．（填写所有满足条件的序号） 15. 已知方程组的解是，则关于，的方程组的解是______． 16. 我们知道下面的结论：若am＝an（a＞0，且a≠1），则m＝n．利用这个结论解决下列问题：设2m＝3，2n＝6，2p＝12．现给出m，n，p三者之间的三个关系式： ①m+p＝2n，②m+n＝2p﹣3，③n2﹣mp＝1．其中正确的是___．（填编号） 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 18. 分解因式： （1）； （2） 19. 解方程组： （1） （2） 20. 先化简，再求值：（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x=3，y=﹣2． 21. 如图，已知，，说明的理由． 22. 学校193人准备出去春游，现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满，学校预备了几辆大客车？几辆中巴车？ 23. 阅读下列材料：对于多项式x2＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2＋x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x2＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）． 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当x＝　 　时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 　 　，从而因式分解8x2﹣x﹣7＝　 　； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式： ①3x2＋11x＋10； ②x3﹣21x＋20 24. 如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒． （1）如图1，直接写出下列答案： ①∠BAD的度数是 ； ②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A． （2）如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值． （3）若两条射线AM和BN所在直线交于点P， ①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值； ②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期慈溪实验中学七年级数学期中测试试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，与不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； B图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； C图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，符合题意； D图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角等知识，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 2. 已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，科学记数法转换为小数时，需将的小数点向左移动位，对于，将1.24的小数点左移3位即可作答． 【详解】解：依题意，将科学记数法转换为小数形式，需将1.24的小数点向左移动3位， ∴用小数表示为， 故选A． 3. 下面是一位同学做的四道题目：①；②；③；④，做对的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法则逐一进行判断即可． 【详解】解：不是同类项，不能合并，故①错误； ，故②错误； ，故③错误； ，故④正确； 故选：A． 4. 若是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，根据解一元一次方程,可得答案． 【详解】解：∵是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解， ∴代入得：2a﹣1＝3， 解得：a＝2， 故选B． 【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键． 5. 如图，，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义及平行线的性质，直角三角形中两个锐角互余等．如图所示标注字母，然后利用垂直及平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示标注字母， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为(　 　) A. ±2 B. ±5 C. 7或－5 D. －7或5 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．∵是完全平方式，∴k﹣1=±6，解得：k=7或﹣5. 故选C. 考点：完全平方式． 7. 计算：（8x3﹣12x2﹣4x）÷（﹣4x）＝（　　） A. ﹣2x2+3x B. ﹣2x2+3x+1 C. ﹣2x2+3x﹣1 D. 2x2+3x+1 【答案】B 【解析】 【分析】用多项式的每一项分别处以﹣4x即可. 【详解】（8x3﹣12x2﹣4x）÷（﹣4x） ＝﹣2x2+3x+1． 故选B． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，其运算法则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：由设有x匹大马，y匹小马， 由共有100匹马，可得 共有100片瓦，则， 所以可得得二元一次方程组． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、设出未知数并表示相关量、根据等量关系列方程成为解答本题的关键． 9. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(　　) A. a2-1 B. a2+a C. a2+a-2 D. (a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C． 考点：因式分解. 10. 用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ） A. 4042 B. 4040 C. 4038 D. 4036 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，列出方程组，结合x，y，n是正整数求解即可． 【详解】解：设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 依题意，得：， ，得：，即， ∵y为正整数， ∴n的个位数字为0或5． 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 12. 若与的和是单项式，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查同类项．（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．注意只有同类项才能合并使它们的和是单项式．根据同类项的定义列出关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 13. 已知，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．将变形为即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有______．（填写所有满足条件的序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有， 故答案为：． 15. 已知方程组的解是，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，由变形为，根据方程组的解是，即可得出答案． 【详解】解：把方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴， ∴． 16. 我们知道下面的结论：若am＝an（a＞0，且a≠1），则m＝n．利用这个结论解决下列问题：设2m＝3，2n＝6，2p＝12．现给出m，n，p三者之间的三个关系式： ①m+p＝2n，②m+n＝2p﹣3，③n2﹣mp＝1．其中正确的是___．（填编号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出m、n、p的关系，然后根据m、n、p的关系逐项验证即可. 【详解】∵2n＝6＝2×3＝2×2m＝21+m， ∴n＝1+m， ∵2p＝12＝22×3＝22+m， ∴p＝2+m， ∴p＝n+1， ①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确； ②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论正确； ③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m） ＝1+m2+2m﹣2m﹣m2 ＝1，故此结论正确； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型. 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，多项式除以单项式，牢记法则和准确计算是解题关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可； （2）根据多项式除以单项式的计算法则运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分解因式，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）利用提公因式法，求解即可； （2）利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法正确计算是解题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 将②代入①，得， ∴， 把代入②，得 ， ∴原方程组的解是：； 【小问2详解】 解：， ，得 ， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴原方程组的解为． 20. 先化简，再求值：（x+3y）2﹣（x+3y）（x﹣3y），其中x=3，y=﹣2． 【答案】，36 【解析】 【分析】根据平方差公式及完全平方公式化简，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：原式= = 当x=3，y=﹣2时，原式=． 【点睛】本题考查了平方差公式以及完全平方公式的计算，解题的关键是掌握平方差公式及完全平方公式． 21. 如图，已知，，说明的理由． 【答案】 理由如下：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行线的性质得到∠ABD=∠CDB，等量代换得到∠CBD=∠ADB，即可判定AD∥BC． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 22. 学校193人准备出去春游，现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满，学校预备了几辆大客车？几辆中巴车？ 【答案】学校预备了3辆大客车，5辆中巴车． 【解析】 【分析】由大客车的数量中巴的数量辆，大客车的数量中巴的数量人，由此可列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校预备了大客车辆，中巴车辆， 由题意得：， 解得：． 答：学校预备了3辆大客车，5辆中巴车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意，根据等量关系列出方程组． 23. 阅读下列材料：对于多项式x2＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2＋x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x2＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）． 请你根据以上材料，解答以下问题： （1）当x＝　 　时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 　 　，从而因式分解8x2﹣x﹣7＝　 　； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式： ①3x2＋11x＋10； ②x3﹣21x＋20 【答案】（1）1，x−1，（x−1）（8x＋7）；（2）①（x＋2）（3x＋5）；②（x-1）（x-4）（x+5）． 【解析】 【分析】（1）仿照定义，当x＝1时确定8x2﹣x﹣7＝0，进而即可求解； （2）①找到当x＝−2时，3x2＋11x＋10＝0，进而即可求解；②找到当x＝1时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝4时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝-5时，x3﹣21x＋20＝0，进而即可求解． 【详解】解：（1）当x＝1时，8x2﹣x﹣7＝0， 设8x2﹣x﹣7＝（x−1）（mx＋n），解得m＝8，n＝7， ∴因式分解8x2﹣x﹣7＝（x−1）（8x＋7）， 故答案为：1，x−1，（x−1）（8x＋7）； （2）①当x＝−2时，3x2＋11x＋10＝0， 设3x2＋11x＋10＝（x+2）（mx＋n），解得m＝3，n＝5， ∴3x2＋11x＋10＝（x＋2）（3x＋5）； ②当x＝1时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝4时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝-5时，x3﹣21x＋20＝0， ∴x3﹣21x＋20=（x-1）（x-4）（x+5）． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，因式分解；熟练掌握多项式与多项式，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键． 24. 如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒． （1）如图1，直接写出下列答案： ①∠BAD的度数是 ； ②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A． （2）如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值． （3）若两条射线AM和BN所在直线交于点P， ①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值； ②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】（1）；24 （2） （3）；当时，，当时， 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质可求得； ②根据邻补角的定义求得，进而求得结论； （2）根据平行线的性质得出，即可得出等式，解出即为所求； （3）①根据三角形内角和定理得解出即可； ②借助图形可求得的度数． 【小问1详解】 ① ， ，， ． 故答案为：120°． ② ， ， 当射线BN过点A时， ，， 当旋转时间为24秒时，射线BN过点A． 故答案为：24． 【小问2详解】 若， 根据平行线的性质得， ， ， ， ，解得：， 此时对应时间为20秒． 【小问3详解】 ①， ， 根据三角形内角和为得， ， 解得． ②由（2）可知，时时间是20秒， 时，分两种情况： 如图4，当时，； 如图5，当时，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $