专题1.2 30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

本讲义聚焦30°、45°、60°角的三角函数值及计算核心知识点，从特殊角三角函数值梳理（考点01），到实际应用（考点02），再到用计算器求任意角三角函数值（考点03）和由值求角（考点04），搭建从基础到应用、从特殊到一般的学习支架。 该资料通过思维导图构建知识体系，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），典例与对点提升结合强化运算能力和推理意识（数学思维），实际应用环节引导构造直角三角形模型发展模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 30°，45°，60°角的三角函数值 考点梳理 三角函数 典例引领 考向01 特殊三角形的三角函数 【例1】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式运算和特殊角的三角函数值，先利用平方差公式计算多项式乘法，再代入的正弦值化简，最后合并得到结果即可． 【详解】解： ． 对点提升 【对点1】计算： 【答案】 【分析】本题考查含三角函数的计算，解题的关键是掌握特殊三角函数的函数值，先去绝对值，，根据实数的运算进行计算，即可． 【详解】解： 原式 ． 考点02 特殊角的三角函数值的实际应用 考点梳理 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤： 1、根据题意构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型； 2、利用三角函数的定义或定义的变形表示题目中的相关量； 3、找出各个量之间的关系； 4、利用已知量与未知量的关系求解未知量； 5、得出结论. 注意在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用. 典例引领 考向01 特殊角三角函数值的混合运算 【例1】计算：________． 【答案】 2 【详解】解：原式 ． 考向02 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例2】在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 考向03 根据特殊角三角函数值求角的度数 【例3】如图，已知菱形的边长是边上的高的2倍，则与的度数之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和菱形的性质可知，，，然后根据，由特殊角的三角函数值即可求得的度数，进而求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴与的度数之比为． 对点提升 【对点1】计算： 【答案】 【分析】 本题考查二次根式的运算、立方根、特殊角的三角函数值方面的知识。解题的关键是牢记特殊角的三角函数值，并掌握二次根式运算与化简、立方根化简的运算法则． 【详解】解：原式                   【对点2】在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 【对点3】中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，再根据特殊角三角函数值得出答案． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴是直角三角形， 在中，， ∴． 考点03 用科学计算器求任意锐角的三角函数值 考点梳理 1. 求整数度数的锐角的三角函数值在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有，当我们计算某整数度数的三角函数值时，可先按相应的键，然后从高位向低位按出表示度数的整数，最后按 键，屏幕上就会显示出结果. 2. 求非整数度数的锐角的三角函数值 (1)若度数是用度表示的，则按整数度数的按键步骤操作 即可. (2)若度数是用度、分、秒表示的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按 或或键，然后依次按 (度) (分) (秒)键，最后按键，屏幕上就会显示出结果. 若锐角中只有度、秒，则应在(分)键前补上0 . 典例引领 考向01 用计算器求锐角三角函数值 【例1】如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 对点提升 【对点1】在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查计算器求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 【详解】解：在中，， ∴，即 故选：B. 考点04 用科学计算器由锐角三角函数值求锐角 考点梳理 已知锐角三角函数值求锐角的度数： 如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按键，将 转化成它们的第二功能. 当三角函数值为分数时，应先化成小数. 典例引领 考向01 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【例1】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】解：按下键，再按键，再按下0.1890即可，A项符合题意 故选：A． 对点提升 【对点1】如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦的定义，用计算器求一个角的度数，解题的关键是熟练掌握正弦定义；根据，，，得出，然后用计算器上反正弦按键计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用科学计算器上反正弦按键求的度数时，按键顺序为． 故选：B． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 30°，45°，60°角的三角函数值+三角函数的计算 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 30°，45°，60°角的三角函数值 考点梳理 三角函数 典例引领 考向01 特殊三角形的三角函数 【例1】计算：______． 对点提升 【对点1】计算： 考点02 特殊角的三角函数值的实际应用 考点梳理 利用特殊角的三角函数值解决实际问题的一般步骤： 1、根据题意构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型； 2、利用三角函数的定义或定义的变形表示题目中的相关量； 3、找出各个量之间的关系； 4、利用已知量与未知量的关系求解未知量； 5、得出结论. 注意在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用. 典例引领 考向01 特殊角三角函数值的混合运算 【例1】计算：________． 考向02 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例2】在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 考向03 根据特殊角三角函数值求角的度数 【例3】如图，已知菱形的边长是边上的高的2倍，则与的度数之比为（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】计算： 【对点2】在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【对点3】中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点03 用科学计算器求任意锐角的三角函数值 考点梳理 1. 求整数度数的锐角的三角函数值在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有，当我们计算某整数度数的三角函数值时，可先按相应的键，然后从高位向低位按出表示度数的整数，最后按 键，屏幕上就会显示出结果. 2. 求非整数度数的锐角的三角函数值 (1)若度数是用度表示的，则按整数度数的按键步骤操作 即可. (2)若度数是用度、分、秒表示的，在用科学计算器计算三角函数值时，同样先按 或或键，然后依次按 (度) (分) (秒)键，最后按键，屏幕上就会显示出结果. 若锐角中只有度、秒，则应在(分)键前补上0 . 典例引领 考向01 用计算器求锐角三角函数值 【例1】如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 考点04 用科学计算器由锐角三角函数值求锐角 考点梳理 已知锐角三角函数值求锐角的度数： 如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按键，将 转化成它们的第二功能. 当三角函数值为分数时，应先化成小数. 典例引领 考向01 给出三角函数值，用计算器求锐角度数 【例1】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   对点提升 【对点1】如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $