宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学

**基本信息** 高一年级期中数学试卷以传统文化（《九章算术》方亭体积、粽子正四面体）和生活情境（圆柱容器放小球）为载体，融合向量、几何、三角等知识，通过空间观念、推理能力与模型观念考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量化简、正三角形直观图面积、三角函数图像平移|结合《九章算术》方亭体积题，渗透文化传承| |多选题|3/18|正方体动点轨迹、向量命题判断|以正方体侧面动点探究，考查空间观念| |填空题|3/15|抛物线定点、正四面体内切球体积|粽子正四面体模型，体现生活应用| |解答题|5/77|二面角计算、三角函数性质与解三角形|正方体截面与外接球综合题，注重推理能力|

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试题 一、单选题：本题共40分。 1．化简向量等于（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，则 A． B．3 C． D．5 3．边长为12的正三角形直观图的面积为（   ） A． B． C． D． 4．在△中，已知，，则的值为 A．或 B．或 C． D． 5．已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为cm．现往容器中放入一个半径为r（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共18分。 9．在棱长为1的正方体 中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．直线与可能相交 C．直线与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值 10．下列说法正确的是（    ） A．若非零向量，且，则为等边三角形 B．已知，且四边形为平行四边形，则 C．已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1 D．已知向量，则与夹角的范围是 11．在中，角，，所对的对边分别为，，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则满足条件的有且仅有一个 C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，且.若，则外接圆面积的最小值为 三、填空题：本题共15分。 12．已知抛物线的方程是，直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若，则直线AB必过定点___________． 13．已知是的外心，，则________． 14．粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______. 四、解答题：本题共77分。 15．平面内给定三个向量，，． （1）求满足的实数，； （2）若，求实数． 16．如图，在多面体中，底面是正方形，平面平面，，，. (1)求二面角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 17．已知函数. （1）求的最小正周期及在区间上的最大值 （2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围. 18．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H，P分别是棱，的中点， (1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)设点M在平面内，且平面，求直线与直线所成角的余弦值的最大值． 19．已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点． (1)若． （i）求； （ii）若，，求的面积； (2)若，，，试探究存在时满足的条件． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D C C C B AD AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据向量的加减法运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 2．A 【分析】先由的坐标，得到的坐标，进而可得向量的模. 【详解】因为， 所以， 因此. 故选A 【点睛】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型. 3．A 【分析】求出直观图的底和高即可得出面积. 【详解】在中，作，交于，则． 所以，在直观图中，．又， 所以的高． 所以． 故选：A. 4．D 【详解】试题分析：在△中，, 由正弦定理及可得.则为锐角.所以. .故D正确. 考点：1正弦定理;2同角三角函数关系式;3诱导公式,两角和差公式. 5．C 【分析】根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可． 【详解】由，得， 由，得，整理得， 所以，则， 设向量的夹角为，则． 故选：． 6．C 【分析】求出圆柱上部的体积，利用球的体积公式转化求解即可． 【详解】解：小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出， 则球的最大体积与圆柱上部的体积相等，小球半径， 可得， 解得． 故选：． 7．C 【分析】由的部分图象可求得其解析式为，再根据平移规则可求得. 【详解】根据图象可知， 由，可得， 又，可得； 由可知，可得； 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度可得. 故选：C 8．B 【分析】利用棱台的体积公式即可求解. 【详解】 . 故选: 【点睛】本题主要考查了空间几何体的表面积与体积，属于基础题. 9．AD 【分析】取线段，中点，，证得平面平面，得到平面，可判定A正确；根据异面直线的定义，得到与是异面直线，可判定B错误；当点与点重合时，可判定C错误；由点到平面的距离是定值，且的面积为定值，可判定D正确. 【详解】如图所示，分别取线段，中点，，连接，，， 则，，所以平面平面， 因为平面，则平面, 又点是侧面内的动点，所以点的轨迹为线段，所以A正确； 因为在平面内，直线与平面相交，且交点不在上， 所以与是异面直线，所以B错误； 当点与点重合时，直线与直线平行，所以C错误； 因为，则平面，所以点到平面的距离是定值， 又由的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以D正确. 故选：AD. 10．AC 【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D. 【详解】A，因为非零向量，所以的平分线与垂直， 为等腰三角形，又，所以， 所以为等边三角形，故A正确； B，, ， 在平行四边形中，有， 所以原式，故B错误； C，设正三角形内切圆半径， 由面积相等可得， 解得，令的中点为，从而, 则，, 两式平方作差可得, 即，若要使最大，只需最大 由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为， 所以，故C正确； D，设，， 所以，， 所以， 即在以为圆心，为半径的圆上， 如图： ，所以， 当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为， 当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为， 所以与夹角的范围是，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目. 11．ACD 【分析】利用大角对大边以及正弦定理可判断A，利用正弦定理可判断B，利用余弦定理化角为边可判断C，利用条件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可判断D. 【详解】对于A，若，则 ， 由正弦定理可得 ，则 ，故A 正确； 对于B ，若， 则, , 因此满足条件的有两个，故B错误； 对于C，,则 ， 整理得 ，故为直角三角形，故 C 正确； 对于D，由，可得， ∴，又， ∴，又为锐角三角形， ∴， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴， 由正弦定理可得，，（R为外接圆半径） 可得, ∴外接圆面积的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】依题可知直线斜率存在，设，，而，再联立直线与抛物线方程可得，代入上式即可解出，从而求出定点． 【详解】当直线斜率不存在时，显然直线与抛物线没有两个交点，不符合题意， 所以直线斜率存在，设，， 而，，即①， 由得，，所以②，将②代入①得，，解得，即，故直线AB必过定点． 故答案为：． 13． 【分析】根据给定条件，利用数量的运算律求解即得. 【详解】令边的中点为，由是的外心，得，， 又，所以. 故答案为： 14． 【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，则由可求出，从而可求出蛋黄的体积. 【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球， 设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为， 因为正四面体的棱长为6， 所以正四面体的高， 正四面体的表面积为， 因为， 所以，解得， 所以蛋黄的体积为 ， 故答案为：. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的坐标表示列出方程组，可得实数，； （2）利用平面向量共线的坐标公式列出方程求出实数． 【详解】（1）由题意得，，，； ； 解得； （2）； ； ； 解得． 16．(1) (2)6 【分析】（1）连接交与，根据面面垂直、线面垂直的判定与性质可得二面角的平面角为，再根据几何关系求解余弦值即可； （2）根据求解即可. 【详解】（1）连接交与，连接，因为底面是正方形，故. 又平面平面，，平面平面， 平面，故平面. 又平面，故，因为，故共面. 又，平面，故平面. 又平面，故，故二面角的平面角为. 因为平面，，故平面. 又，故，，则. 则，即二面角的余弦值为. （2）由（1）可得 . ，， 故. 17．（1）最小正周期为，最大值；（2）. 【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案； （2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. 因为，所以 于是，当，即时，取得最大值 （2）在中， ，，，. 由正弦定理，， ， ， ， . 18．(1)作图见解析，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由面面平行的性质确定，即可确定截面； （2）确定球心的位置，并根据球的半径相等，得到方程，求出球的半径，计算即可； （3）证明面面平行，确定M的位置，直线与所成的角即为，由空间中的线面关系计算出，进而得到余弦值的最大值即可. 【详解】（1）过点的截面是，理由如下： 设平面平面，平面平面， ∴，又，分别是和的中点， ∴，，∴，∴即为直线， ∴正方体中过点的截面是； （2）如图，易证为等腰直角三角形，则其外接圆圆心为EH的中点Z， 过Z作ZN⊥平面EPH，交面于N，则N为的中心， 三棱锥的外接球球心Q在直线ZN上， 设外接球半径为，，则， 其中，， 故， ∴球的表面积； （3）取的中点，又的中点，则，又， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又在正方体中，， 平面，平面， ∴平面，又， ∴平面平面， ∴点在线段上运动，又， ∴直线与所成的角即为直线与所成的角， 又平面，平面， ∴，是直角三角形， ∴， 当与垂直时，取得最小值， 其中，由勾股定理得， 故的最小值为， ∴，此时取得最大值， 由于且， 故，故的最大值为， ∴直线与所成的角的余弦值的最大值为. 19．(1)（i）；（ii） (2)答案见解析. 【分析】（1）（i）利用正弦定理，边化角得，再利用两角和的正弦公式及，求得，即可求解；（ii）根据，应用余弦定理可得，再利用得，联立方程解出，即可利用求面积. （2）方法一：根据已知条件利用余弦定理求得，再利用向量关系求得，联立两式得，分分别为直角，锐角，钝角三种情况讨论存在时满足的条件即可；方法二：将放在三角形的外接圆中，分分别为直角，锐角，钝角三种情况讨论存在时满足的条件即可. 【详解】（1）（i）在中，因为， 由正弦定理可得，， 所以， 因为得， 所以，故； （ii）在中，由余弦定理得，即，① 因为是边上的中点， 所以，②     ①②得， 所以的面积为. （2）（法一）如图1， 在中，由余弦定理得， 即①； 因为是边上的中线，所以， 两边平方有②， 将①式代入②得，与同号. 当时，，存在； 当时，， 由②得， 因为，所以， 即③. 当为锐角时，，，，③式为， 令，，知在上单调递减，所以；   当为钝角时，，，，③式为， 令，，知在上单调递增，所以. 所以，当时，，存在； 当为锐角时，，存在； 当为钝角时，，存在 （法二）当为直角时，即时，；                            已知角和对边，当为锐角时（如图2），点在优弧上移动， 当点位于点时，（为圆心，为边中点）， 因为，所以，即，又， 所以在和中，由余弦定理得： ， 故. 当为钝角时（如图3）， 点在劣弧上移动，当点位于点时， （为圆心，为边中点），因为， 所以，即，又， 所以在和中，由余弦定理得： 【点睛】方法点睛： 解三角形时，通常应用正余弦定理进行边角互化从而解三角形. 答案第4页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $