2026届高三数学适应性训练模拟卷(7)（全国Ⅰ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(7) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得. 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 2．（2026·浙江杭州·二模）数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10， 因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 3．（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点， 则， 所以； 当角的终边落在第四象限时，取一点， 则， 所以， 综上所述：. 4．（2026·河南·模拟预测）已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式、三角函数性质即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以， 所以， 所以当时，取得最大值6. 5．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值. 【详解】由于， 所以是以4为周期的周期函数， 则. 6．（2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出示意图，确定球心的位置，设外接球的半径为，构造关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、， 易知为等边三角形，所以，， 由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上， 设外接球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 故该正六棱锥的外接球的表面积为. 7．（2026·湖南怀化·二模）已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】由于，故为等比数列，，公比， 故，． 因为，所以，即， 当时，不等式不成立，故有，此时的差恒大于1， 只需，即得，，解得． 因为，所以n的最大值为12． 8．（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高三上·河南南阳·期末）设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，，所以，故D错误. 故选：AC 10．（2026·河北·二模）已知在锐角三角形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A根据正弦函数的单调性判断可得；对B根据锐角三角形及A选项分析结果可得；对C由锐角三角形及正切函数的单调性判断可得；对D先B选项分析知，进而可得，再由余弦函数的单调性可得. 【详解】因为锐角三角形中，，， 即， 因为均为锐角，所以，且在上单调递增， 所以，即，故A错误； 对于B，因为，所以，由A选项分析知， 所以，得，又因为为锐角，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 因为在上单调递增，所以， 因为为锐角，所以，所以，故C正确； 对于D，由B选项分析知，所以， 因为，所以，在上单调递减， 所以，故D错误. 11．（2026·浙江杭州·二模）已知函数，则（    ） A．，是增函数 B．，是奇函数 C．若有三个不同的零点，，，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可. 【详解】已知，则. 选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以. 所以，是增函数，故A正确. 选项B：，， 则，故不是奇函数，故B错误. 选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根. 其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则. 所以，故C正确. 选项D：设切点为，， 所以切线方程为. 又切线过，所以，即. 切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点. . 令，即，解得或. 当时，，当时，， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，极大值为， 所以当时，与有3个交点. 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河南·模拟预测）已知的展开式中的系数为，则实数______. 【答案】 【分析】根据二项展开式即可求解. 【详解】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为， 所以，即，解得. 13．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 14．（2026·江苏·二模）已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. 【答案】 【分析】由题意可得点在圆上，设，圆与椭圆联立方程组结合可得，根据代入解不等式可得，进而可得离心率的取值范围. 【详解】由题意知， ， 又因为 是 的中点，所以， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上，即， 设，联立 ，解得， 因为，所以，即， 所以且，所以， 又因为， 所以，， 令，则，即， 解得，即，所以， 所以椭圆的离心率.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·江西·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若是上的点，平分，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出角； （2）根据角平分线性质和三角形面积公式得到边、的关系，最后利用基本不等式求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 因为，所以，故， 所以， 因为，所以 （2）因为平分，所以， 所以， ， ， 因为，所以，即， 由，得，解得，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最小值为 16．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项公式. （2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和. 【详解】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而. . 17．（2026·河北保定·二模）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． (1)若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； (2)在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 【答案】(1)“联网搜索”模式的测评得分最高，理由见解析 (2) 0 2 3 0.108 0.648 0.244 【分析】（1）根据题中统计表，结合均值的定义进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为， ， 因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高． （2）三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3 ， , ， 所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为： 0 2 3 0.108 0.648 0.244 18．（2026·江西·二模）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求C的方程； (2)已知点，，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一点D，且，． （ⅰ）证明：直线BD恒过定点； （ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由离心率的定义和点在椭圆上代入计算可得； （2）（i）设，，，利用向量关系得到坐标关系，然后由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为，再利用B，D，M三点共线化简可得； （ii）由点在椭圆上代入方程化简可得①②两方程，再表示出斜率关系化简可得. 【详解】（1）记C的半焦距为c，由题意知，， 解得，， 所以C的方程为． （2）    （ⅰ）证明：设，，， 由，得， 则，， 即，， 同理得，， 由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为， 由B，D，M三点共线，得， 则． 故直线BD恒过定点． （ⅱ）解：因为B在椭圆上，则， 所以，则， 又A在椭圆上，则，所以， 又，则，① 同理得，② 由，得， 由，得， 则，． 因为，，所以， 又，则， 所以 ． 19．（2026·河南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当或时，1个零点；当或时，2个零点 (3) 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，原题意转化为与的交点个数，利用导数判断的图象，即可得结果； （3）整理可得恒成立，结合反函数性质可得，整理可得，结合（2）中结论运算求解. 【详解】（1）当时，则， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 令，可得， 令，则转化为与的交点个数， 因为， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 且，可得： 当或，即或时，与有1个交点； 当，即或时，与有2个交点； 综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点. （3）因为恒成立，即恒成立， 当时，，因为不恒成立，所以不满足题意； 当时，由得，即恒成立， 等价于恒成立， 因为曲线与关于直线对称，所以， 等价于，可得， 由（2）可得：，则； 综上可得：的取值范围是. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(7) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·二模）数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南怀化·二模）已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·河南南阳·期末）设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北·二模）已知在锐角三角形中，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·浙江杭州·二模）已知函数，则（    ） A．，是增函数 B．，是奇函数 C．若有三个不同的零点，，，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河南·模拟预测）已知的展开式中的系数为，则实数______. 13．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 14．（2026·江苏·二模）已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·江西·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若是上的点，平分，，求面积的最小值. 16．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 17．（2026·河北保定·二模）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． (1)若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； (2)在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 18．（2026·江西·二模）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求C的方程； (2)已知点，，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一点D，且，． （ⅰ）证明：直线BD恒过定点； （ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值． 19．（2026·河南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $