2026届高三数学适应性训练模拟卷(4)（全国Ⅰ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(4) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北邢台·二模）已知全集，集合，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 解不等式，得， 又∵ ，∴ 全集. ∵ 集合，由补集定义可得，共3个元素. ∵ 含个元素的集合的子集个数为， ∴ 的子集个数为. 2．（2026·江西·三模）已知复数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】复数， 则，故D正确. 3．（2026·浙江杭州·二模）设，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】函数， 由题意可知，，恒成立，则且. 4．（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，若点 E满足， 则，所以， 所以， 则，则. 5．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可. 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 6．（2026·河南·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布的对称性，结合二次函数性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值为. 7．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为， 因为，所以，所以， 又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和. 记的中点为，则， 所以， 所以，所以的轨迹方程为. 过分别向直线作垂线，垂足分别为， 则，又因为，所以为直角梯形， 又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值， 又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 8．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过等式得出与的关系，然后构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 令，所以，因为恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，令， 所以，令， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值为， 即的最大值是，故C正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 【答案】ABD 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 10．（2026·河北保定·二模）已知四边形是平行四边形，，则（   ） A．点D的坐标是 B． C．四边形的面积是3 D．坐标原点O到直线的距离为 【答案】ACD 【分析】根据平行四边形的性质、中点坐标公式，结合空间向量夹角公式、三角形面积公式、空间点到线距离公式逐一判断即可. 【详解】A：设平行四边形的对角线交点为点， 因为，所以点坐标为， 设点D的坐标是，因为， 所以，即点D的坐标是，所以本选项说法正确； B：因为， 所以，所以本选项说法不正确； C：由上可知：， 所以， 四边形的面积是，所以本选项说法正确； D：，，设方向上的单位向量为 坐标原点O到直线的距离为，所以本选项说法正确. 11．（2026·江西·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点，C经过点，其一条渐近线经过点，第一象限内的点P在C上，则（   ） A．C的方程为 B．点P到C的两渐近线的距离之积为 C． D．若Q为的内心，则定值 【答案】BCD 【分析】利用渐近线方程和点在双曲线上代入可得A；由点到直线的距离公式可得B；当时，代入带特殊值验证可得；当时由正切二倍角公式可得可判断C；利用向量关系表示内心的性质结合双曲线的定义可得D. 【详解】由题意知双曲线C的一条渐近线方程为，由题意得，解得，，则双曲线C的方程为，A错误； 设，则，即， 所以点P到C的两渐近线的距离之积为，B正确； 当时，，， 所以， 又，所以， 当时，，易知，，所以，所以，C正确； 设，因为，，则， ，，， 因为Q为的内心，所以与共线，且， 所以，即①， 同理与共线， ， 所以， 即②，由①②，得，， 所以 ， 所以点Q在C的右支上，根据双曲线的定义知，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·陕西·一模）已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得， 可知. 13．（2026·山东菏泽·二模）已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为____________． 【答案】 【分析】结合图形可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，分别求得两个四棱柱的体积，再求得正四棱锥的体积，得到挖去部分的体积，即可求得结果． 【详解】如图： ， 可知四棱锥为正四棱锥， 四边形为边长为2的正方形，棱锥的高为1， 可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体， 四棱柱的底面是边长为的正方形， 则， 同理可得， ， 则挖去部分的体积为， 可得原正方体剩下部分的体积为． 故答案为：. 【点睛】本题考查组合体的体积的求法，棱柱，棱锥的体积公式的应用. 14．（2026·河北邢台·二模）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过换元构造同构函数，利用函数单调性脱去函数符号，将原不等式转化为恒成立问题，分离参数后求函数最小值得到的取值范围. 【详解】原不等式整理得，等价于， 令，则恒成立，所以在上单调递增. 故原不等式等价于， 由的单调性，不等式等价于，即， 故原不等式恒成立等价于对所有恒成立，变形得，即： ， 令，求导得，当时， 故在上单调递增，最小值为，所以. 又，得的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. （2）先用（1）的边的关系，把用表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 16．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解. 【详解】（1）方法－：因为为直径，所以， 由，得，，所以， 所以， 在中，，，所以， 设点到平面的距离为，由，得. 方法二：取弧的中点，连接，则， 以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， ，令，得， 则点到平面的距离为. （2）方法一：取中点，连接、，则， 又平面，则，，故面，故， 所以二面角的平面角为，即， 在等边中，，为等腰直角三角形得， 在中，，故所求线面角，. 方法二：设， 设平面的法向量， ，令，得， 底面的法向量，则，得， 即，， 设直线与底面所成角为，则. 17．（2026·河北邢台·二模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若直线l是曲线的切线，且直线l与曲线仅有一个交点，求实数a的值. 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减; (2)0 【分析】（1）先确定函数的定义域，将代入函数表达式，再对函数求导，并对导函数进行化简，依据，函数在对应区间上单调递增；，函数在对应区间上单调递减； （2）根据直线是曲线的切线，且直线与曲线仅有一个交点，得到直线与曲线的交点是切点，所以设切点的坐标为，根据导数的几何意义，以及切点在曲线和直线上，列出关于和的方程，整理化简得；令，对求导，分析的单调性和极值，根据仅有一个零点的条件确定的值. 【详解】（1）函数的定义域为; 当时，，得； 令，得或，则： 0 1 0 0 当时，；当时，； 在和上单调递增，在上单调递减. （2），； 直线是曲线的切线，且直线与曲线仅有一个交点，直线与曲线的交点是切点，设切点的坐标为； ，； ，得； 令，， 在上单调递增，即在存在唯一的实数根，使得； 又，； ，解得； 实数a的值为0. 【点睛】要注意函数的定义域为，所有分析都要在该定义域内进行；处理切线问题时，要确保切点同时满足曲线方程和切线方程，以及导数与斜率的关系；分析函数零点个数时，要结合函数的单调性和极值情况，注意极值点处的函数值与0的关系. 18．（2026·江西·三模）已知椭圆，以原点为圆心，为半径的圆被称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过圆上一点作椭圆的两条切线分别为和，切椭圆于点和点，求证：； (3)若直线与坐标轴交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用蒙日圆和离心率列出关于的方程求解即可； （2）分别对切线斜率是否存在进行讨论，和斜率都存在时联立方程消去，令，再利用韦达定理计算即可；切线或斜率不存在时，求出两直线方程计算即可； （3）先求出AB方程，即可求出两点坐标，再利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为椭圆的蒙日圆为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 联立方程组，解得， 则椭圆的方程为. （2）设点的坐标为， （i）当切线和斜率都存在时，设过点直线方程为， 联立得 消去，得：①， 方程①的判别式，若过点直线为椭圆的切线，则有，化简得：（2）， 那么关于的方程（2）的两个根与分别为切线和的斜率， 此时，即； （ii）当切线或斜率不存在时，不妨令斜率不存在， 则切线方程为（或），（或），代入圆方程得， 可求得切线方程为（或），； 综上所述，. （3）当椭圆切线斜率存在时，不妨令（ii）中过点切线方程为，即令， 设切点坐标为， ①式可化为， ①式可化为，即，易得， 把代入切线方程整理可得； 当椭圆切线斜率不存在时，切点坐标为时切线方程仍满足， ∴椭圆上点坐标为，切线方程为， 同理可得，点坐标为，切线方程为， 点代入方程与方程可得：与， ∴直线的方程为， ， 又，即（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 面积的最小值为. 19．（2026·江西·二模）甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数． (1)求，； (2)求X的分布列； (3)当时，求． 【答案】(1)， (2) X 2 3 4 … 2n P … (3) 【分析】（1）由概率公式得到和； （2）分析得到的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）在（2）基础上，由错位相减法和条件概率公式进行求解. 【详解】（1），即甲两次投篮均不中，， ，即甲前两次投篮有1次中，1次不中，第三次投篮不中， 故； （2）的可能取值为， 当时，第k次投篮未进， 则前面次投篮中有1次未投中， 所以； 当时，若前面次投篮都投中，其概率为； 若前面次投篮中有1次未投中， 其概率为， 故， 所以X的分布列为 X 2 3 4 … 2n P … （3）由上可知， ，① ，② 由得， ， 所以， 故当时， . 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(4) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北邢台·二模）已知全集，集合，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·三模）已知复数，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（2026·浙江杭州·二模）设，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·三模）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河南·模拟预测）已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 10．（2026·河北保定·二模）已知四边形是平行四边形，，则（   ） A．点D的坐标是 B． C．四边形的面积是3 D．坐标原点O到直线的距离为 11．（2026·江西·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，分别为双曲线的左、右焦点，点，C经过点，其一条渐近线经过点，第一象限内的点P在C上，则（   ） A．C的方程为 B．点P到C的两渐近线的距离之积为 C． D．若Q为的内心，则定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·陕西·一模）已知向量的夹角为，则__________. 13．（2026·山东菏泽·二模）已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为____________． 14．（2026·河北邢台·二模）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 16．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 17．（2026·河北邢台·二模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若直线l是曲线的切线，且直线l与曲线仅有一个交点，求实数a的值. 18．（2026·江西·三模）已知椭圆，以原点为圆心，为半径的圆被称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过圆上一点作椭圆的两条切线分别为和，切椭圆于点和点，求证：； (3)若直线与坐标轴交于两点，求面积的最小值. 19．（2026·江西·二模）甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮次，约定如下：若先投篮者有两次投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2n次．假设甲每次投篮投中的概率为，且各次投篮结果相互独立．若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数． (1)求，； (2)求X的分布列； (3)当时，求． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $