2026届高三数学适应性训练模拟卷(5)（全国Ⅰ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(5) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026·浙江金华·二模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·湖南怀化·二模）清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下：甲市游客总量万人次，游客人均消费元；乙市游客总量万人次，游客人均消费元．此期间甲、乙两市游客的人均消费额为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 5．（2026·河北邢台·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．（2026·浙江金华·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（   ）（参考数据：） A．10年 B．11年 C．23年 D．24年 7．（2026·江苏·二模）已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·福建泉州·一模）数列中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．（2026·安徽·三模）已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的体积为14 B．侧棱与底面夹角的正切值为 C．若为的中点，则平面BDE D．该四棱台的外接球表面积为 11．（2026·河北邢台·二模）已知函数有三个零点 则（    ） A． B．存在实数a使得 C．若，则 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________． 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 14．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河南·模拟预测）新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 16．（2026·河北·二模）已知是数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 17．（2026·河北保定·二模）三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，． (1)证明：； (2)当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时， （i）求PA的长； （ii）求三棱锥外接球的表面积． 18．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 19．（2026·江西上饶·二模）（1）证明：，； （2）实数，若不等式在恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(5) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合， ，所以可能的取值为，，，即集合， 是的真子集， 因此集合的个数为. 2．（2026·浙江金华·二模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的乘法法则求出积，再求出该复数对应点的坐标并判断其所在象限即可. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为 又，故点在第二象限， 所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 3．（2026·湖南怀化·二模）清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下：甲市游客总量万人次，游客人均消费元；乙市游客总量万人次，游客人均消费元．此期间甲、乙两市游客的人均消费额为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】此期间甲、乙两市游客的人均消费额为元． 4．（2026·浙江台州·二模）已知为等比数列，，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 【答案】A 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 5．（2026·河北邢台·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设双曲线方程为，代入点求解可得方程，然后可得实轴长. 【详解】因为曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线， 所以可设其方程为， 因为点在上，所以，即， 所以曲线的方程为，则， 所以的实轴长为. 6．（2026·浙江金华·二模）某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（   ）（参考数据：） A．10年 B．11年 C．23年 D．24年 【答案】A 【详解】设初始种群数量为，经过年后，种群数量变为. 根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即. 两边同时除以，得. 两边同时取常用对数，有：. 由于，且 ，代入得： ，解得. 因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年. 7．（2026·江苏·二模）已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解． 【详解】由两边平方得，， 又得， 所以， 则． 8．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由圆台的母线与底面所成的角求出圆台的高，再由圆台的体积公式求体积即可. 【详解】如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为， 过作于，即为母线与下底面所成角，则. 因为圆台的上、下底面半径分别为2和4，所以， 由，所以，所以，即， 由圆台的体积公式为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·福建泉州·一模）数列中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】对于AB，先根据已知条件判断数列的类型，再根据等差数列和等比数列的定义求解通项公式；对于CD，利用数列的递推式构造等比数列，写出其通项公式，代入计算即得. 【详解】对于A选项，由题意可得，即， 又，所以数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，A正确； 对于B选项，由题意可得，，所以数列为等比数列， 其首项为，公比为，所以，B错误； 对于C选项，由题意可得， 可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以， 所以，C错误； 对于D选项，由题意可得，可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，D正确. 10．（2026·安徽·三模）已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的体积为14 B．侧棱与底面夹角的正切值为 C．若为的中点，则平面BDE D．该四棱台的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】求出正四棱台体积判断A；求出侧棱与底面夹角正切判断B；利用线面平行判定推理判断C；求出外接球半径求解判断D. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，因为正方形ABCD的边长为，正方形的边长为， 所以 ，台体的高为， 由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A正确； 对于B选项，侧棱与底面夹角的正切值为，B错误； 对于C选项，当点为的中点时，易知为AC的中点，则， 因为平面平面BDE，故平面，C正确； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D正确． 11．（2026·河北邢台·二模）已知函数有三个零点 则（    ） A． B．存在实数a使得 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】由题意得有三个不同根，令，利用导数求出单调性，结合特殊值及图象的走势，分析可判断A的正误；若，则，根据为零点，代入求解，化简可判断B的正误；若，则，结合条件，整理计算，可判断C的正误；求出的表达式，化简整理，分析比较，可判断D的正误. 【详解】选项A：显然不是函数的零点，得有三个不同根， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，且， 当时，，当时，，时，， 要使与有三个交点，则， 即有三个零点，则，故A正确； 选项B：若，则， 因为为零点，所以， 这与矛盾，故B错误； 选项C：若，则， 由，得， 结合已有分析可设，则， ， 所以，故C正确； 选项D：， ， 则， ， 因为， 所以，则，又， 所以，则，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________． 【答案】7 【分析】由面积和两边长,可以求出夹角A的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦定理求出另一边长即可. 【详解】由，得， 又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以， 在中，由余弦定理，得：， . 故答案为：7. 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【分析】求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 14．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用函数零点的等价条件及正弦函数的性质即可求解. 【详解】已知函数在区间内有且仅有个零点， 即方程在上有两个不等的实数解， 令，则，则， 当时，每个都对应两个值； 当或时，每个都对应一个值； 当时，每个都对应三个值； 当时，，则有两个的值，满足题意； 当时，每个都有两个与它对应，当时，函数都有两个与对应， 此时方程在上有四个不等的实数解，不满足题意； 当时，或，则或有四个的值，不满足题意； 当时，每个与一一对应，当时，函数都有两个与对应，满足题意； 当时，，则有一个的值，不满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河南·模拟预测）新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 (1)请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； (2)从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 【答案】(1)列联表见解析，没有 (2) 【分析】（1）根据题设数据完善表格，然后根据公式计算卡方统计量即可； （2）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）完善列联表如下： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 新能源汽车B款 合计 零假设：新能源汽车的款型对满意度没有影响， ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； （2）记事件为“被调查的两人选择新能源汽车款型一致”，事件为“他们对该新能源汽车款型均满意”，则 ，， 所以， 所以在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，他们对该新能源汽车款型均满意的概率为. 16．（2026·河北·二模）已知是数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与关系可推导得到，结合等差数列通项公式可分别得到为奇数和为偶数时的通项公式，进而得到； （2）根据等差数列求和公式可得，采用裂项相消法可求得，进而证得结论. 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）由（1）得：， ， ， ，. 17．（2026·河北保定·二模）三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，． (1)证明：； (2)当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时， （i）求PA的长； （ii）求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）先在平面内作，由两平面垂直的性质得平面，推出，结合条件证得，由线面垂直判定得平面，进而证出. （2）（i）由(1)得，结合已知推得平面，以为原点建系，写出各点与向量坐标，分别求出两平面法向量，利用面面夹角的余弦公式列等式，解方程算出参数，从而得到的长度. （ii）由平面得，取中点，算，中点满足；设外接球球心在正下方，、半径，联立与，代入数据求、，得表面积. 【详解】（1）在平面PAB内过点作，交PB于， 因为平面平面PBC，又平面平面，所以平面PBC， 则，因为，所以， 因为， 所以平面PAB，因为平面，所以． （2）由（1）可知平面PAB，平面，所以 因为，所以易得直角三角形，， 又，所以平面ABC， 以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，则. 设，因为所以. 设平面的法向量， ，， 由，得. 令，则，，故，. 设平面的法向量， ，， 由，得. 令，则，故，. 向量数量积. 设平面夹角为，，则，化简得. 联立方程：，代入， ，，. 所以. （ii）由（1）可知平面PAB，平面，所以 取AC的中点. 所以， 又因为是PC的中点，所以， 则三棱锥外接球的球心在正下方，设，外接球半径为. 底面三点到的距离都等于，所以有： .设， 则，联立. . 消去可得. 代入，得，. ， ，即. 18．（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）因为点A在抛物线Γ上，所以将点A的坐标代入抛物线方程，即可求解出p的值，进而得到Γ的方程. （2）（i）先求出直线OA的方程和过M的直线方程，联立这两个直线方程可求出点Q的坐标；利用中点坐标公式，可由M和Q的坐标求出点P的坐标. （ii）先联立直线OP与抛物线Γ的方程，求出点N的坐标；再根据M、N的坐标写出直线MN的方程，发现恒过一定点，F到这一定点的距离即为F到直线的距离最大值. 【详解】（1）将点代入得，所以：. （2） （i）过M点斜率为2的直线， 直线方程，由得， 可得， 设，由得， 即，解得，所以. （ii）因为，所以直线方程为， 解方程组，得， 所以， 直线：， 整理得， 因此直线过定点. 又，所以， 所以点F到直线的最大距离为. 19．（2026·江西上饶·二模）（1）证明：，； （2）实数，若不等式在恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）构造函数并将不等式证明转化为函数值大小比较；利用导数判断单调性，结合端点值推出函数在区间内的符号，从而证明不等式成立； （2）将含参恒成立问题转化为函数图像的高低关系或差函数的符号判断；通过对函数求导分析单调性，寻找临界点处的切线斜率作为参数边界，并分类讨论参数范围以验证恒成立条件； （3）利用前两问已证的不等式作为放缩工具进行代数变形；通过逐项放缩将求和式转化为易于计算的裂项形式，最终完成数列求和，不等式得到证明； 【详解】（1）设，，则； 令，，则， 得在区间上单调递减， 故，所以在区间上单调递减，因此． 所以当时，. （2）方法一：（数形结合）由题：，令 不等式恒成立，说明函数，的图象在直线的下方． 函数的周期为， 当时，； 当时，，． 故函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减． 可作出函数的图象如图所示． 注意到，在处的切线斜率为，直线的斜率为． 于是，对任意，当且仅当时，成立． 故的取值范围为． 方法二：设函数，，求导得 当时，，函数在上单调递增，，因此； 当时，令，求导得，， 则，使得， 当时，，函数在上递增， 当时，，即，因此， 此时，不符合题意； 当时，，不符合题意，所以的取值范围． （3）由（2）可知，当时，， ，由（1）可知， ， ， ，得证． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $