17.1一元二次方程 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 17.1一元二次方程 第17章 一元二次方程及其应用 17.1 一元二次方程 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. \(3x + 2 = 0\) B. \(x^2 + 2y = 1\) C. \(x^2 - 2x - 3 = 0\) D. \(\frac{1}{x^2} + x = 5\) 2. 一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a eq 0\)）的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. \(a\)，\(b\)，\(c\) B. \(a\)，\(-b\)，\(c\) C. \(a\)，\(b\)，\(-c\) D. \(-a\)，\(b\)，\(c\) 3. 若方程\((m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0\)是一元二次方程，则\(m\)的取值范围是（ ） A. \(m eq 2\) B. \(m \geq 2\) C. \(m \leq 2\) D. \(m eq 0\) 4. 已知\(x = 1\)是一元二次方程\(x^2 + ax + 2 = 0\)的一个根，则\(a\)的值为（ ） A. \(-3\) B. \(3\) C. \(-2\) D. \(2\) 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一元二次方程一定有两个实数根 B. 形如\(ax^2 + bx + c = 0\)的方程一定是一元二次方程 C. 一元二次方程的二次项系数不能为0 D. 一元二次方程的一次项系数一定不为0 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 将方程\(3x^2 - 6x + 1 = 0\)化为一元二次方程的一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a eq 0\)），则\(a = \)______，\(b = \)______，\(c = \)______。 3. 若\(x = -2\)是方程\(x^2 + mx - 6 = 0\)的一个根，则\(m = \)______。 4. 写出一个以\(x = 1\)和\(x = 2\)为根的一元二次方程：______（答案不唯一）。 5. 方程\((x - 3)(x + 4) = 0\)的根是______。 三、解答题（共70分） 11.（10分）判断下列方程是否为一元二次方程，若是，请化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。 （1）\(2x^2 - 3x + 1 = 0\)； （2）\(x^2 + 2x = x^2 - 1\)； （3）\((x + 1)(x - 2) = 3\)； （4）\(\frac{1}{x} + x^2 = 2\)。 12.（12分）已知关于\(x\)的方程\((k + 1)x^2 - 2kx + k - 2 = 0\)。 （1）当\(k\)为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当\(k = 2\)时，求方程的根。 13.（12分）已知\(x = 3\)是一元二次方程\(x^2 - 4x + m = 0\)的一个根，求： （1）\(m\)的值； （2）方程的另一个根。 14.（12分）根据下列条件，列出一元二次方程（不必求解）： （1）一个数的平方比它的3倍大2； （2）两个连续整数的积是12； （3）已知一个直角三角形的两条直角边长之和为10，面积为12，设其中一条直角边长为\(x\)，列出关于\(x\)的一元二次方程。 15.（12分）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）\(5x^2 = 3x\)； （2）\((x + 2)(x - 3) = 6\)； （3）\(2(x - 1)^2 = 3(x + 1)\)。 16.（12分）已知关于\(x\)的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a eq 0\)），其中\(a + b + c = 0\)，求证：\(x = 1\)是该方程的一个根。 20.2 平均数与加权平均数 20.2.1 平均数 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 平均数一定是一组数据中的某个数 B. 一组数据的平均数只能有一个 C. 平均数越大，数据的集中程度越高 D. 只要有一组数据，就可以计算出平均数 2. 已知一组数据：3、5、7、9、11，这组数据的平均数是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 3. 某小组6名同学的数学成绩分别为85、78、90、82、88、92，这组成绩的平均数是（ ） A. 85分 B. 86分 C. 87分 D. 88分 4. 已知一组数据的平均数为6，若将这组数据中的每个数都加2，则新数据的平均数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 某班40名学生的平均身高为165cm，若其中20名学生的平均身高为160cm，则剩下20名学生的平均身高为（ ） A. 165cm B. 170cm C. 175cm D. 180cm 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 平均数是一组数据的______水平的代表，它反映了数据的______趋势。 2. 若n个数据为x₁、x₂、…、xₙ，则它们的平均数\(\bar{x}\)=______。 3. 已知一组数据：2、4、6、8、10，其平均数为______。 学习目标 1 2 了解一元二次方程的概念. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式. 3 经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型. 2 回顾导入 判断下列式子是否为一元一次方程： √ √ × 一元一次方程 ①只含一个未知数 ②未知数的指数是一次 ③方程的两边都是整式 2 + 0.3x = 5 推进新课 问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%） x 列方程解决应用题的一般过程是什么？ 审、找、列、解、验、答 问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%） x 今年无公害蔬菜产量： 100 + 100x = 100(1 + x) (t) 明年无公害蔬菜产量： 100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t) 今年 100 100x 明年 100(1+x) 100(1+x)·x 100 去年 知识点一 一元二次方程 今年无公害蔬菜产量： 100 + 100x = 100(1 + x) (t) 明年无公害蔬菜产量： 100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t) 今年 100 100x 明年 100(1+x) 100(1+x)·x 100 去年 根据题意，得 100(1 + x)2 = 200. 化简，得 (1 + x)2 = 2. 整理，得 x2 + 2x – 1 = 0. 它是一 元一次方程吗？它有什么特点？ 只含一个未知数 x 且其次数是 2 问题2：如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？ 20 32 (单位：m) x x 横向小路的面积： 32x m2 纵向小路的面积： 2×20x m2 重叠部分的面积： 2x2 m2 32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570 整理，得 x2 – 36x + 35 = 0 20 32 (单位：m) x 思 考 有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？ 32 (单位：m) x 思 考 有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？ 20 x2 – 36x + 35 = 0 x2 + 2x – 1 = 0 这两个方程有什么共同点？ 等号两边都是整式； 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是 2. 思 考 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程. 一元 二次 知识点二 一元二次方程的一般形式 任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0） 的一般形式. ax2 ：二次项，a 是二次项的系数； bx ：一次项，b 是一次项的系数； c ：常数项. 练一练 下列方程中，哪些是一元二次方程？ （1）x2 – x = 1； （2）4x2 + 3x – 2 = (2x – 1)2； （5）y2 + 3y – 4 = 0；（6）x3 + 2x2 + x + 1 = 0. 【教材P22练习 T1】 分析： 只含有一个未知数 是 未知数最高次数为2 是 整式方程 否 不是一元二次方程 否 是一元二次方程 是 否 （3） （4）2x2 + 3 = 0； 先化为一般形式再判断 x2 – x – 1 = 0 √ × √ × 7x – 3 = 0 × √ 例 1 已知方程 3x(x – 1) = 2(x + 2) + 4. （1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； （2）判断 – 1 是否为该方程的根. 解：（1）去括号，得 3x2 – 3x = 2x + 4 + 4. 移项、合并同类项，得方程的一般形式： 3x2 – 5x – 8 = 0. 它的二次项系数是 3，一次项系数是 – 5，常数项是 – 8. 练一练 1. 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项，填入下表： 【教材P22练习 T2】 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 5x2 = 6x – 8 x(x – 1) = 0 5x2 – 6x + 8 = 0 5 – 6 8 – 2 0 x2 – x = 0 1 – 1 0 1 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b c ax2 + c = 0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c ax2 = 0(a ≠ 0) a 0 0 一元二次方程的特殊形式： 归 纳 练一练 2. 将 48 张桌子排成若干行，且每行的桌子数相同，已知每一行的桌子数比总行数多 2. 设这些桌子排了x 行，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式. 【教材P22练习 T3】 解：由题意得 x(x + 2) = 48 去括号，得 x2 + 2x = 48 移项，得 x2 + 2x – 48 = 0 例 1 已知方程 3x(x – 1) = 2(x + 2) + 4. （1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； （2）判断 – 1 是否为该方程的根. 解：（2） 把 x = – 1 代入原方程的左右两边，得 左边 = 3×(– 1)×(– 1 – 1) = 6. 右边 = 2×(– 1 + 2) + 4 = 6. 因为左边 = 右边， 所以 – 1 是该方程的根. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作这个一元二次方程的根. 练一练 下面哪些数是方程 x2 + x – 2 = 0 的根？ 【教材P22练习 T4】 将这些数分别带入方程中： (– 3)2 + (– 3) – 2 = 4 – 3，– 2，– 1，0，1，2，3. (– 2)2 + (– 2) – 2 = 0 (– 1)2 + (– 1) – 2 = – 2 02 + 0 – 2 = – 2 12 + 1 – 2 = 0 22 + 2 – 2 = 4 32 + 3 – 2 = 10 √ √ √ √ 返回 C 中考考法 20 C 返回 2．关于x的方程a2x2＋x－2＝x2是一元二次方程，则a满足(　　) A．a≠1 B．a≠－1 C．a≠±1 D．为任意实数 中考考法 21 返回 x2－8＝0 3．方程(x＋2)(x－2)＝4转化为一元二次方程的一般形式是____________． 中考考法 22 4．将方程2x2＋7＝4x改写成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为(　　) A．2，4，7 B．2，4，－7 C．2，－4，7 D．2，－4，－7 C 返回 中考考法 23 返回 5．关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　) A．0 B．±3 C．3 D．－3 C 中考考法 24 返回 2 6. 已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为________． 中考考法 25 返回 －4 7．已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________． 中考考法 26 返回 A 8. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　) A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100 C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100 中考考法 27 课堂小结 一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) a b c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 只含有一个未知数 未知数的最高次数是 2 整式方程 1．[2025天津武清区月考]下列方程：①x2－＝1；②2x2－5y＋4＝0；③7x2＋1＝0；④＝0；⑤ax2＋bx＋c＝0；⑥(x＋1)(x－1)＝x2－x中，属于一元二次方程的是(　　) A．①② B．②⑤ C．③④ D．③⑥ $