9.1.2 分层随机抽样 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 9.1.2《分层随机抽样》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“统计”主题，学生应能够：理解分层随机抽样的概念，掌握分层随机抽样的步骤，能根据实际问题选择恰当的抽样方法，理解样本均值与总体均值的关系，能用样本均值估计总体均值. 课标分析： 本节课是统计抽样方法的深入，在学习了简单随机抽样之后，学生需要掌握一种更适用于总体差异较大的抽样方法.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应从“极端样本”的问题出发，引导学生思考如何改进抽样，从而自然引入分层随机抽样.重点是比例分配分层随机抽样的步骤和各层样本量的计算，难点是理解分层抽样可以降低极端样本出现的概率以及样本均值估计总体均值的方法.本节课对提升数据分析、逻辑推理和数学建模素养具有重要意义. 2、 教材分析 “分层随机抽样”是人教A版必修第二册第九章第1.2节内容.教材在简单随机抽样教学后，通过对比观察发现：当总体中个体差异较大时，简单随机抽样可能出现“极端样本”（如样本中矮个子过多），导致样本平均数严重偏离总体平均数.为解决这一问题，教材引入分层随机抽样：将总体按某些特征分成若干层，在各层内独立进行简单随机抽样，并按比例分配样本量.教材通过男生女生身高实例，讲解了比例分配分层抽样的步骤、样本均值的计算以及如何用样本均值估计总体均值.本节内容是统计抽样方法的重要组成部分，为学生后续学习用样本估计总体奠定基础. 3、 学情分析 学生已经学习了简单随机抽样（抽签法、随机数法），理解总体、个体、样本、样本容量等基本概念，知道用样本均值估计总体均值的原理.但是，学生对简单随机抽样的局限性认识不足，对“极端样本”产生的原因理解不深.分层随机抽样的“层”的划分、比例分配的计算以及各层样本均值的加权平均公式，是学生容易出错的地方.此外，学生可能会混淆简单随机抽样和分层随机抽样的适用场景.教师应通过对比实例和计算练习，帮助学生掌握分层抽样的核心思想和方法. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从“极端样本”问题中抽象出分层随机抽样的必要性，理解“层”的概念和分层抽样的本质. 1. 逻辑推理素养：能根据总体差异合理划分层，能推导比例分配下各层样本量的计算公式，能解释分层抽样优于简单随机抽样的原因. 1. 数据分析素养：能根据实际问题设计分层随机抽样方案，能计算各层样本量，能由样本均值估计总体均值. 1. 数学运算素养：能熟练进行比例分配的计算，能计算加权平均数，能解决与分层抽样相关的实际问题. 1. 数学建模素养：能将实际调查问题抽象为分层抽样模型，并设计合理的抽样方案，体会统计方法在科学决策中的应用. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：分层随机抽样的定义及步骤；比例分配下各层样本量的计算；用分层抽样的样本均值估计总体均值. 1. 难点：理解分层抽样的适用条件和优势；掌握各层样本量按比例分配的计算方法；理解总体均值的估计公式 . 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）分层随机抽样：将总体按某个特征分成若干______，在每个子总体中独立地进行______抽样，再将所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本. 答案：子总体（层）；简单随机. （2）比例分配的分层随机抽样：每层抽取的样本量与该层的______成正比. 答案：个体数（层大小）. （3）某校高一共有500名学生，其中男生300人，女生200人.若用比例分配分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，则应抽取男生______人，女生______人. 答案： 人； 人. （4）分层随机抽样的样本均值 与各层样本均值 及总体各层个体数 的关系是 ______，其中 . 答案：. 2. 请学生回答，教师点评并强调比例分配的公式. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 简单随机抽样的定义是什么？它有哪些优点和缺点？ 学生回答：简单随机抽样是逐个不放回且每个个体被抽到的概率相等的抽样方法.优点是操作简单，但当总体差异大时可能出现极端样本. 2. 教师展示上一节课中“样本量为50的10次简单随机抽样的平均数波动图”（口头描述：有的样本平均数远低于总体平均数，有的远高于）.提问：为什么会出现这种现象？如何改进？引入分层随机抽样. 环节三：合作探究 1. 分层随机抽样的定义与步骤（5分钟） 教师提出问题：简单随机抽样可能出现“极端样本”（如样本中矮个子过多），能否通过事先分组来避免？ 以调查高一年级学生身高为例，男生和女生身高差异较大，可以按性别分成两组（层），然后在男生和女生中分别用简单随机抽样抽取样本，最后合并. 定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体（层），每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. 比例分配：如果每层样本量都与层的大小成比例，即 ，则称这种样本量分配方式为比例分配. 步骤：① 根据研究目的确定分层变量，将总体分成若干层；② 确定样本容量 ；③ 按比例计算各层应抽取的样本量 ；④ 在各层内独立进行简单随机抽样；⑤ 将各层样本合并，得到总样本. 2. 样本均值估计总体均值（5分钟） 设总体由 层组成，第 层的个体数 ，总体容量 . 从第 层中抽取样本量为 的样本，第 层的样本均值为 . 则总体均值 的估计量为 . 教师推导：总体均值 ，用各层样本平均数 代替该层总体平均数，得 . 强调：当各层内个体差异较小时，分层抽样的估计效果优于简单随机抽样. 3. 分层抽样与简单随机抽样的比较（5分钟） 教师展示教材中“样本量为50的分层随机抽样10次平均数波动图”（口头描述：各样本平均数更紧密地围绕总体平均数波动，没有出现极端偏离）. 结论：当总体中个体差异较大时，分层随机抽样的样本平均数波动更均匀，极端样本出现的概率更低，估计效果优于简单随机抽样. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）分层随机抽样中，每层抽取的样本量必须相等.（ ） （2）分层随机抽样要求各层之间的差异尽可能大，各层内部的差异尽可能小.（ ） （3）在比例分配分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率都相等.（ ） （4）分层随机抽样的样本平均数一定等于总体平均数.（ ） 答案：（1）×（应按比例分配）；（2）√；（3）√（因为各层抽样独立且每层内每个个体被抽到的概率相等，且比例分配保证了最终每个个体入样概率相同）；（4）×（是估计值，不一定相等）. 例2：某校高一年级有500名学生，其中男生300人，女生200人.为了调查学生每周体育锻炼时间，现用比例分配分层随机抽样抽取一个容量为50的样本. （1）应抽取男生、女生各多少人？ （2）若测得男生样本的平均锻炼时间为3.5小时，女生样本的平均锻炼时间为4.0小时，试估计全年级学生的平均锻炼时间. 解： （1）男生：人，女生：人. （2）总体均值估计 （小时）. 例3：某地区有居民10000人，其中老年人、中年人、青年人的人数比例为 .现采用比例分配分层随机抽样抽取一个容量为200的样本，调查居民日均阅读时间.求各层应抽取的人数. 解：老年人：（人）； 中年人类似：（人）； 青年人：（人）. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：关于分层随机抽样，下列说法正确的有（ ） A. 分层随机抽样适用于总体中个体差异较大的情况 B. 分层随机抽样中，各层内应进行简单随机抽样 C. 比例分配分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率都相等 D. 分层随机抽样的样本均值一定比简单随机抽样的样本均值更接近总体均值 答案：A、B、C（D不一定，但大多数情况下分层抽样的估计效果更好，但不是绝对，因此错误）. 例5：某电视台在网络上进行一项调查，调查对象为18岁以上的网民.已知总体中男性占60%，女性占40%.采用比例分配分层随机抽样，抽取了一个样本量为500的样本，调查结果如下：男性样本中支持某政策的比例为55%，女性样本中支持该政策的比例为70%. （1）求样本中男性、女性各抽取多少人？ （2）估计总体中支持该政策的比例. 解： （1）男性：人；女性：人. （2）总体支持率估计 = . 例6：某学校有小学部、初中部、高中部，其中小学部与初中部共有700人.学校采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，求该校高中部的人数. 解：设高中部有 人，则总体容量 . 高中部抽取人数 ，即 ， ，，，. 因此高中部有500人. 例7：某工厂三个车间的人数分别为1000、1500、2000，现用比例分配分层随机抽样调查工人的日均生产量.从第一车间抽取了50人，测得平均生产量为80件；第二车间抽取了75人，平均生产量为90件；第三车间抽取了100人，平均生产量为85件.求该工厂工人日均生产量的估计值. 解：总体容量 . 总体均值估计 （件）. 例8：某地区有5个乡镇，人口数分别为6000、4000、10000、4000、6000，总人口3万人.现欲调查该地区某种疾病的发病率，采用比例分配分层随机抽样抽取样本量为300的样本. （1）求各乡镇应抽取的人数； （2）若实际调查中，各乡镇的发病率样本值分别为2.5%、3.0%、4.0%、2.8%、3.2%，试估计该地区该疾病的总体发病率. 解： （1）总人口30000，样本容量300，抽样比为 . 各乡镇应抽取人数：6000×1%=60人；4000×1%=40人；10000×1%=100人；4000×1%=40人；6000×1%=60人. （2）总体发病率估计 = = . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 分层随机抽样的定义和适用条件（总体差异大）. (2) 比例分配分层抽样的步骤（分层→定样本量→按比例计算各层样本量→各层简单随机抽样→合并）. (3) 样本均值估计总体均值公式 . (4) 分层抽样的优势：估计更稳定，减少极端样本. 1. 教师强调： (1) 分层变量通常选择与调查指标高度相关的变量. (2) 分层抽样的关键是“层内差异小，层间差异大”. 3.比例分配保证了每个个体被抽到的概率相等. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第184页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《分层随机抽样》. 1. 拓展作业： 调查你所在年级学生的近视情况，设计一个分层随机抽样方案（说明分层变量、各层人数、样本量及分配）. 1. 预习引导： 预习下一节“获取数据的途径”，了解除了抽样调查外，还有哪些收集数据的方法. 授课人个案修改记录： 本节课从简单随机抽样的“极端样本”问题入手，自然引出分层随机抽样的必要性.通过男生女生身高实例，学生理解了分层的意义和比例分配的计算方法.在合作探究环节，通过对比图形（口头描述），学生直观感受到分层抽样的稳定性.练习中设计了概念辨析、比例计算、均值估计以及实际应用等题型，学生能熟练运用公式.不足之处：部分学生对“层内差异小”的理解不够深入，需要结合具体案例说明.另外，在计算总体均值估计时，学生容易忘记加权公式中的权重是各层个体数，需要反复强化.整体上，本节课达成了教学目标. 学科网（北京）股份有限公司 $