9.1.1 简单随机抽样（第2课时）教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 9.1.1《简单随机抽样》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“统计”主题，学生应能够：理解总体平均数、样本平均数的概念，掌握用样本平均数估计总体平均数、用样本比例估计总体比例的方法；体会样本估计总体的思想，理解样本平均数的随机性以及它与总体平均数的关系，认识用样本估计总体的合理性与局限性. 课标分析： 本节课是简单随机抽样的第二课时，在第一课时学习了简单随机抽样的概念、方法（抽签法、随机数法）以及总体、个体、样本等基本概念的基础上，进一步研究如何利用样本的数据来推断总体的特征.课标强调“理解”和“体会”，教学中应从具体实例出发，引导学生计算样本平均数，通过多次抽样的结果对比，感受样本平均数的随机波动性以及随着样本量增大估计越来越稳定的规律.同时，将“估计比例”问题抽象为0-1变量，纳入平均数框架.重点是用样本的平均数和比例估计总体，难点是理解样本平均数的随机性以及用样本估计总体的合理性.本节课对培养数据分析、数学抽象和逻辑推理素养具有重要意义. 2、 教材分析 “简单随机抽样（第2课时）”是人教A版必修第二册第九章第1.1节的后半部分.教材在第一课时介绍简单随机抽样的基本概念和操作方法后，第二课时聚焦于“如何从样本数据推断总体”.教材以“树人中学高一年级学生身高”为例，给出50名学生身高的样本数据，通过计算样本平均数，并对比总体平均数（已知），让学生直观感受样本平均数在总体平均数附近波动.教材还通过多次抽样的平均数图形，引导学生发现：样本平均数具有随机性，总体平均数是确定的；样本容量越大，估计越准确.接着，教材将估计问题扩展到比例估计（如视力不低于5.0的学生比例），通过引入0-1变量，将比例估计转化为平均数估计.本节内容是统计推断的起点，为后续学习用样本方差估计总体方差、用样本分布估计总体分布打下基础. 3、 学情分析 学生已经学习了简单随机抽样的概念和操作方法，能够区分总体、个体、样本、样本容量，并能进行简单随机抽样（抽签法、随机数法）.学生也熟悉平均数（算术平均数）的计算，知道加权平均数的概念.但是，学生对于“用样本估计总体”这一统计思想还比较陌生，容易混淆样本平均数与总体平均数（样本平均数是随机变量，总体平均数是常数）.此外，对于比例估计转化为0-1变量的平均数，需要一定的抽象思维.教师应通过具体数据计算、多次模拟和图形直观，帮助学生建立正确的统计观念. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体的身高、视力数据中抽象出总体平均数、样本平均数的概念，理解用样本平均数估计总体平均数的思想，并能将比例估计转化为0-1变量的平均数估计. 1. 逻辑推理素养：能通过多次抽样结果分析，归纳出样本平均数的随机性及随着样本量增大估计值趋于稳定的规律，并能解释用样本估计总体的合理性. 1. 数据分析素养：能根据样本数据计算样本平均数（包括加权平均数形式），能估计总体平均数及总体比例，并能根据估计结果进行简单决策. 1. 数学运算素养：能熟练进行平均数的计算，能处理频数表下的加权平均，能利用样本比例估计总体比例. 1. 数学建模素养：能将实际问题中的总体特征（如平均身高、合格率）抽象为平均数或比例模型，并设计抽样方案进行估计，体会统计在决策中的应用. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重重点：用样本平均数估计总体平均数，用样本比例估计总体比例；理解样本平均数的随机性. 1. 难点：理解样本平均数是随机变量，总体平均数是常数；比例估计转化为0-1变量的平均数表示. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）总体平均数是指总体中所有个体的______，通常用符号______表示；样本平均数是指样本中所有个体的______，通常用符号______表示. 答案：平均值；（或总）；平均值；. （2）已知一个样本数据为 ，则样本平均数为______. 答案：. （3）若总体中 个个体的变量值分别为 ，则总体平均数 ______. 答案：. （4）要估计某校学生中视力不低于5.0的比例，可以在抽取的样本中计算______作为估计值. 答案：视力不低于5.0的人数占样本容量的比例. 2. 请学生回答，教师点评并补充加权平均数的形式. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 简单随机抽样的定义是什么？有哪些方法？ (2) 学生回答：逐个不放回抽取，每个个体被抽到的概率相等；抽签法和随机数法. (3) 追问：我们为什么要抽样？抽样的目的是什么？ (4) 学生回答：用样本推断总体. 2.教师总结：本节课学习如何用样本数据估计总体的特征. 环节三：合作探究 1. 用样本平均数估计总体平均数（5分钟） 教师以教材中“树人中学高一年级学生身高”为例，展示50名学生身高的原始数据（或频数表），引导学生计算样本平均数. 出示身高频数表（简化）： 身高分组 频数 ~165 8 165~170 12 170~175 15 175~180 10 180~185 5 计算样本平均数（用组中值近似）： . 教师算出数值（约为171.5 cm）. 教师指出：总体平均数是已知的（165.0 cm），样本平均数171.5 cm与总体平均数有一定差距，但接近.若换一组样本，样本平均数会变化——说明样本平均数具有随机性，而总体平均数是确定的常数. 2. 多次抽样的启示与样本量的影响（5分钟） 教师展示（口头描述）20次抽样（样本量50）的样本平均数波动图：有的点偏高，有的偏低，但都围绕总体平均数（165 cm）波动. 再展示样本量100的20次抽样结果，波动幅度更小. 归纳： （1）样本平均数是随机变量，总体平均数是常数； （2）大多数样本平均数在总体平均数附近，少数偏离较远； （3）增加样本量可以降低样本平均数的波动，使估计更准确. 3. 用样本比例估计总体比例（5分钟） 问题：全校2174名学生中视力不低于5.0的比例是多少？ 方法：抽取简单随机样本，统计样本中视力不低于5.0的人数比例，作为总体比例的估计. 教师引入“0-1变量”思想：对每个个体，定义 （若视力不低于5.0），（否则）.则总体比例 ，即总体平均数.样本比例 ，即样本平均数.因此比例估计本质上也是平均数估计. 举例：若样本中50人有12人视力不低于5.0，则 ，估计全校视力不低于5.0的比例约为24%. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）总体平均数是随机变量，样本平均数是常数.（ ） （2）样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数.（ ） （3）用样本比例估计总体比例时，可以将合格记为1，不合格记为0，则样本比例就是样本平均数.（ ） （4）简单随机抽样的样本平均数一定等于总体平均数.（ ） 答案：（1）×（总体平均数是常数，样本平均数是随机变量）；（2）√（在概率意义下）；（3）√；（4）×. 例2：某工厂一次抽取了5个零件，测量其直径（单位：mm）分别为：10.2, 10.5, 9.8, 10.0, 10.5.估计这批零件的平均直径. 解：样本平均数 （mm）. 答案：10.2 mm. 例3：某校为了解学生每天的睡眠时间，随机抽取了100名学生，统计得到睡眠时间小于8小时的有65人.估计该校学生睡眠时间不足8小时的比例. 解：样本比例 ，故估计总体比例约为65%. 答案：65%. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：关于用样本估计总体，下列说法正确的有（ ） A. 样本平均数可以用来估计总体平均数 B. 样本容量越大，估计一般越准确 C. 样本平均数与总体平均数之间的差异是抽样误差 D. 用样本比例估计总体比例时，必须将原始数据转化为0-1变量 答案：A、B、C、D（D正确，因为比例本质是平均）. 例5：某工厂统计了周工资情况，人员构成如下： 岗位 人数 周工资（元） 经理 1 8000 工程师 5 5000 工人 20 3000 学徒 4 1500 （1）计算该工厂员工的平均周工资； （2）若要从该工厂中抽取一个简单随机样本，样本容量为10，你认为样本平均值会等于总体平均值吗？为什么？ 解： （1）总体平均工资 （元）. （2）不一定相等.样本平均值具有随机性，可能大于或小于3300元，但随着样本量增大，大概率会接近3300元. 例6：某校为了解高一学生的数学成绩，用简单随机抽样抽取了50名学生，成绩如下表（分组及频数）： 成绩分组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 8 12 20 10 （1）估计该校高一学生的平均数学成绩（用组中值近似）； （2）若已知总体平均成绩为78分，样本平均成绩与总体平均成绩的差异说明了什么？ 解： （1）组中值分别为65,75,85,95. 样本平均 （2）样本平均值81.4分与总体平均值78分相差3.4分，这是抽样误差（样本的随机性导致的）.若再抽取一个样本，结果可能不同. 例7：某车间生产一批零件，要估计其合格率.质检员采用简单随机抽样，抽取了200个零件，发现有12个不合格. （1）估计该批零件的合格率； （2）为了更准确地估计合格率，你有什么建议？ 解： （1）样本中合格数 ，合格率 . （2）建议增加样本容量（如抽500个或1000个），因为样本量越大，估计越稳定. 例8：一种捕获再捕获法可用于估计种群数量.第一次捕获k个个体，标记后放回；第二次捕获m个个体，其中标记的有n个.请估计种群总数N. 解：设总数为N，第一次标记的个体占总数比例 .第二次捕获中标记个体比例近似相等，即 ，所以 . （示例：若第一次捕30只，标记后放回，第二次捕40只，其中标记的8只，则 只.） 答案：. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 总体平均数与样本平均数的区别（总体平均数是常数，样本平均数是随机变量）. (2) 用样本平均数估计总体平均数的合理性（多数样本平均数在总体平均数附近波动，大样本更稳定）. (3) 用样本比例估计总体比例可转化为0-1变量的平均数估计. (4) 简单随机抽样的优点与局限性. 1. 教师强调： 样本估计存在误差，但可以通过增加样本量减小误差. 3.统计推断不是绝对的，而是基于概率的. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第180页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《简单随机抽样（第2课时）》. 1. 拓展作业： 自选一个总体（如班级同学的身高），用简单随机抽样抽取一个样本（样本量自定），计算样本平均数并估计总体平均数，再与总体实际平均数比较，分析误差原因. 1. 预习引导： 预习下一节“分层随机抽样”，思考当总体差异较大时如何抽样更有效. 授课人个案修改记录： 本节课通过具体的身高数据和多次抽样的图形（口头描述），学生理解了样本平均数的随机性和用样本估计总体的思想.在计算样本平均数和样本比例时，学生能够熟练运用加权平均公式.练习中设计了判断题、计算题和实际应用题（如捕获再捕获法），学生参与积极.不足之处：部分学生对“样本平均数是随机变量”的理解仍较抽象，需要通过多个具体实例反复强化.另外，在讲解比例估计转化为0-1变量时，可适当放慢节奏，让学生真正理解.整体上，本节课为后续学习更复杂的抽样方法和总体特征估计打下了基础. 学科网（北京）股份有限公司 $