3.2 圆的对称性 课时练习 2025-2026学年 北师大版九年级下册数学

**基本信息** 练习以"基础巩固-能力提升-综合应用"为梯度，覆盖圆的对称性核心知识点，通过选择、填空、解答题递进设计，强化推理与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|圆心角、弧、弦关系等基本概念与简单计算|单选/填空聚焦概念辨析（如直径与弦的关系），夯实抽象能力| |能力应用|定理应用与推理证明|解答题16-20题强化逻辑推理（如弧与弦的关系证明），发展推理意识| |综合拓展|实际情境与创新探究|解答题21-22题结合摩天轮高度计算与正多边形尺规作图，培养应用意识与创新思维|

【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.2 圆的对称性 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（本题3分）下列说法中，正确的是（    ）． A．直径不是弦 B．相等的弦所对的弧相等 C．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 D．同一条弦所对的两条弧是等弧 3．（本题3分）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 5．（本题3分）如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 6．（本题3分）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（本题3分）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（本题3分）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）有下列四个命题，其中正确的是（    ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②圆中最长的弦是直径；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④在同圆或等圆中，等弧对等弦． A．①②④ B．②③④ C．②④ D．②③ 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为 ． 12．（本题3分）如图，在中，，，则的度数为 ． 13．（本题3分）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为 ． 14．（本题3分）如图，已知是的直径，，，那么的度数为 ． 15．（本题3分）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点（弧弧），若直径，则的长为 ． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 17．（本题7分）如图，已知的两条弦相交于点E，连接，且．求证：． 18．（本题8分）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 19．（本题8分）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 20．（本题8分）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 21．（本题9分）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，） 22．（本题9分）阅读与思考 在学习《正多边形和圆》时，老师用尺规作图法完成了以下作图，猜想并证明，请你认真阅读，并完成相应任务． 如图1，以为直径作，再以D为圆心，的长为半径作，两圆相交于点A，B．依次连接A，B，C，则猜想是等边三边形． 理由：如图1，连接，，． ∵，，∴是等边三边形， ∴，同理可得， ∴， ，， ∴， ∴（依据）， ∴是等边三边形． 如图2，隐去，分别以A，B为圆心，，的长为半径作，． ，分别与相交于点F，E，依次连接A，F，C，E，B，D，则猜想六边形是正六边形． 理由：由图1可知， ∴和都是中60°所对的弧， …… (1)任务一：材料中的“依据”是指______． (2)任务二：结合图2完成剩余的推理部分． (3)任务三：如图3，四边形是的内接正方形，请用尺规作图法，作的内接正八边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【北师大版九年级数学（下）课时练习】 §3.2 圆的对称性 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 解：∵点是的中点， ∴，∴．∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 2．（本题3分）下列说法中，正确的是（    ）． A．直径不是弦 B．相等的弦所对的弧相等 C．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 D．同一条弦所对的两条弧是等弧 解：A．直径是经过圆心的弦，错误． B．相等的弦所对的弧相等必须在同圆或等圆中成立，否则不一定成立，错误． C．在同圆或等圆中，优弧大于半圆，劣弧小于半圆，优弧一定比劣弧长，正确． D．同一条弦所对的两条弧，一条是优弧，一条是劣弧，除非弦为直径，否则不相等，错误． 故选C． 3．（本题3分）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 解：， ， ． 故选：． 4．（本题3分）如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 解：是的直径，， ， ， 故选：B． 5．（本题3分）如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 6．（本题3分）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 7．（本题3分）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（本题3分）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解：∵分别为的两条弦，，∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个．故选：D． 9．（本题3分）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 解：连接， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 10．（本题3分）有下列四个命题，其中正确的是（    ） ①相等的圆心角所对的弧相等；②圆中最长的弦是直径；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④在同圆或等圆中，等弧对等弦． A．①②④ B．②③④ C．②④ D．②③ 解：命题①“相等的圆心角所对的弧相等”需在同一个圆或等圆中才成立，缺少条件， 故①错误； 命题②“圆中最长的弦是直径”正确； 命题③“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中，若弦为直径，则平分弦的直径不一定垂直于该弦， 故③错误； 命题④“在同圆或等圆中，等弧对等弦”正确； ∴ 正确命题为②和④， 故选：C 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为 ． 解：∵为的直径，， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，在中，，，则的度数为 ． 解：∵，∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（本题3分）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为 ． 解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 14．（本题3分）如图，已知是的直径，，，那么的度数为 ． 解：∵，， ∴∠AOC=∠AOE=32︒，∴．故答案为： 15．（本题3分）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点（弧弧），若直径，则的长为 ． 解：过D作于E，则， ∵点C是直径的三等分点，直径， ∴， ∴， ∵点D是弧的三等分点（弧弧）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16．（本题6分）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（本题7分）如图，已知的两条弦相交于点E，连接，且．求证：． 证明：， ， ， 即， ． 18．（本题8分）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． （1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（本题8分）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． （1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 20．（本题8分）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． （1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 21．（本题9分）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对公园里的摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图象如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； （2）求摩天轮的半径； 【问题解决】如图2，摩天轮从点旋转到点需6分钟，且两点与地面距离相等，即． （3）若距离地面82米以上能够获得最佳观赏效果，试问摩天轮从点旋转到点的全过程中是否能够获得最佳观赏效果，并说明理由．（结果精确到0.1米，参考数据，，） 解：（1）图象的最高点对应的的值是108，最低点对应的的值是3米， 摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米． 故答案为：108，3； （2）摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， 摩天轮的直径是米， 摩天轮的半径是52.5米． 答：摩天轮的半径是52.5米； （3）摩天轮顺时针旋转一周需要20分钟，摩天轮从点旋转到点需6分钟， 所对圆心角的度数． 连接，作于点． ． ，， ． ， （米）． 点到地面的距离为：（米）． ， 从点旋转到点的全过程能够获得最佳观赏效果． 22．（本题9分）阅读与思考 在学习《正多边形和圆》时，老师用尺规作图法完成了以下作图，猜想并证明，请你认真阅读，并完成相应任务． 如图1，以为直径作，再以D为圆心，的长为半径作，两圆相交于点A，B．依次连接A，B，C，则猜想是等边三边形． 理由：如图1，连接，，． ∵，，∴是等边三边形， ∴，同理可得， ∴， ，， ∴， ∴（依据）， ∴是等边三边形． 如图2，隐去，分别以A，B为圆心，，的长为半径作，． ，分别与相交于点F，E，依次连接A，F，C，E，B，D，则猜想六边形是正六边形． 理由：由图1可知， ∴和都是中60°所对的弧， …… (1)任务一：材料中的“依据”是指______． (2)任务二：结合图2完成剩余的推理部分． (3)任务三：如图3，四边形是的内接正方形，请用尺规作图法，作的内接正八边形．（保留作图痕迹，不写作法） （1）解：∵， ∴（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等） 故答案为：同圆中，相等的圆心角所对的弦相等 （2）解：由作，可知和都是中60°所对的弧． ∵CD是的直径， ∴和是180°所对的弧， ∴与都是中60°所对的弧， ∴， ∴． ∵，，，都是中60°所对的弧， ∴， 同理可得， ∴六边形是正六边形． （3）解：如图，八边形即所求． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $