精品解析：安徽桐城市第八中学等校2026年普通高等学校全国统一考试“最后一卷” 数学

2026年普通高等学校全国统一考试“最后一卷” 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题，的否定是：，. 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数在复平面内对应点的坐标为，对应象限即可作出判断. 【详解】解：由， 则在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则，所以， 由斜二测画法可知原平面图形如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式， 可得四边形ABCD的面积． 4. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性结合零点存在定理得出，再根据导数得出函数单调性得出，最后结合指对数运算得出参数值. 【详解】因为函数，所以，在上单调递增， 又因为，，所以，， 所以单调递减，单调递增， 所以，所以， 又因为在上单调递减，所以，所以， 则. 5. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该圆柱高为，底面半径为，则可得、间关系，再表示出圆柱的侧面积后，利用二次函数性质可得取最大时的、，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积. 【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有， 圆柱的侧面积， 故当且仅当、时，取最大， 此时圆柱的外接球半径为， 则该球的体积. 6. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得,即可根据投影的计算公式求解. 【详解】由可得, 故, 由于，故， ， 所以在方向上的投影数量为. 7. 在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心角关系，结合弦长公式列方程并平方化简求半径即可. 【详解】 因为，，相等弦对应圆心角相等， 设对应的圆心角为，对应的圆心角为. 整个圆周角和为，因此，得. 弦长（为半圆心角），因此， ，​由， 展开得，两边乘以代入得， 整理得， 对上式两边平方，结合， 以及， 代入化简后得，因此外接圆半径为. 8. 若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的图象性质，初步缩小的范围，再由给定的范围，代入原函数即可求解. 【详解】设函数的最小周期为，则，由题意可知，即， 解得，因为，，所以， 又因为，所以， ，则或， 解得或，所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. 是等比数列 B. C. 是递减数列 D. 中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 10. 已知函数 则下列结论中错误的是（ ） A. 存在两个不同的零点 B. 既没有最大值，也没有最小值 C. 当 时，有且只有三个实根 D. 当时，的最大值为，则的最小值为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项直接求的解即可；对于BCD选项，先对求导，根据函数单调性，求出极值，结合函数图象走势即可判断. 【详解】对于A选项，令，得 ，即, ，有两个实根，故A选项正确； 对于B选项，， 由得，；由得，或， 在上单调递增，在上单调递减 在处取极小值，在处取极大值， 由于当时，恒成立， 所以，根据函数图象走势可知，没有最大值，在处取最小值， 所以，B选项错误； 对于C选项,由B选项可知，最小值为 极大值为，根据函数图象可知， 当 时， 有两个实根； 当 时， 有三个实根；所以，C选项错误; 对于D选项，由函数图象可知，当时，在时，的最大值也是， 故的最小值不是5，所以，D选项错误. 11. 正四棱台的高为，，，点均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为，则（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与所成角的正切值的最小值为 C. 线段的长度的最小值为 D. 点到直线的距离大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由直线与直线所成角正切值的最小值，判断点的轨迹，再分别验证四个选项是否正确. 【详解】在平面内，在平面外， 所以平面， 因为直线与直线所成角范围为，正切函数在上单调递增， 所以当直线与直线所成角正切值最小时，直线与直线所成角最小， 此时，直线与直线所成角为直线与平面所成角， 设直线与平面所成角为，， 则 设 如图，以为原点，与平行的直线为轴，与平行的直线为轴，与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系. ，，，，， ，，， ，， 设平面的法向量 则，解得 所以， 则， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则点轨迹长度为，A正确； 因为在平面内，设， ，， ， 所以， 化简得 设，其中 设直线与直线所成角为， 则， 因为，所以， ，即， 当取最大值时，取最小值，即取最小值， 此时，，， 所以直线与直线所成角的正切值的最小值为，B错误； ， 所以 因为，，， ， 所以长度的最小值为，C正确； ，，同理 过作于，设 由正棱台性质可知：平面，平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面，即与重合， 所以，则， 设点为中点，则，， ， 因为，所以， 点到直线的距离为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线的距离的大于或等于，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义，对已知极限式子进行变形，即可求解. 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足：， 则，解得. 13. 设函数，已知，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以，解得， 由，得， 所以，解得， 所以， 当或时，取得最小值． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得，利用角平分线可得，再根据双曲线的定义结合余弦定理计算得出齐次式得出离心率即可. 【详解】∵，设的高为，则，可得，所以， ∵平分，可得， 则， 又因为，所以， 又中，由余弦定理得，则， 所以整理得， 故， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. （1）证明：平面； （2）求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可； （2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 16. 设. （1）解不等式; （2）设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. 【小问2详解】 因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 17. 在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. （1）求角的大小； （2）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦定理和余弦定理求解即可； （2）结合向量的线性运算、正弦定理和三角形的内角和定理可得，根据，求解即可. 【小问1详解】 因为， 即， 所以， 即， 所以， 即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由题意可得， 所以, 所以, 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即 ， ， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 所以，即， 又因为， 所以， 所以实数的取值范围为. 18. 设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）求； （3）记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系及等比数列定义计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）借助等比数列求和公式计算可得关于的不等式有个正整数解，构造数列，借助作差法可判断该数列单调性，即可得该数列中最大的三个数，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 即，当时，，即， 又，则有，故对任意恒成立， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 ， 则 ， 由的子集个数为8，则中有个元素， 故关于的不等式有个正整数解， 令，则， ， 则数列在时单调递增，在时单调递减， 即， 又， 当时，， 故的三个正整数解为、、， 故，又，， 故. 19. 某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． （1）求曲线和的方程； （2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； （3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）为定值． 【解析】 【分析】（1）设点，由题意可得，化简可得曲线的方程，由与相切，可得，根据椭圆的定义可得曲线方程； （2）由可得，求得直线的方程为，与椭圆联立方程可得，再由三角形面积公式计算求解即可； （3）设直线，直线与椭圆联立方程组可得，由垂径定理知，计算可得为定值. 【小问1详解】 设点， 由得的轨迹方程为， 即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆． 因为与相切，所以， 所以， 则， 得， 所以曲线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以轴，则， 直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得， ； 【小问3详解】 设直线， 将直线与椭圆联立得 则 所以， 又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知， 所以，则， 所以， 即为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校全国统一考试“最后一卷” 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 4. 若函数的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若， ，则在方向上的投影数量为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ） A. 是等比数列 B. C. 是递减数列 D. 中存在连续三项成等差数列 10. 已知函数 则下列结论中错误的是（ ） A. 存在两个不同的零点 B. 既没有最大值，也没有最小值 C. 当 时，有且只有三个实根 D. 当时，的最大值为，则的最小值为5 11. 正四棱台的高为，，，点均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为，则（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与所成角的正切值的最小值为 C. 线段的长度的最小值为 D. 点到直线的距离大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________. 13. 设函数，已知，则的最小值为________. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. （1）证明：平面； （2）求四棱锥与三棱锥的体积之比. 16. 设. （1）解不等式; （2）设，若存在，使得，求实数的取值范围. 17. 在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. （1）求角的大小； （2）若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 18. 设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）求； （3）记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 19. 某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． （1）求曲线和的方程； （2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； （3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $