安徽合肥市第一中学2026届高三最后一卷数学试题

参考答案、提示及评分细则 1.B2.C3.D4.A5.A6.B7.C8.D 9.BC 10.ACD 11.BCD 12.105 13.f(x)=lnx(答案不唯一) 14.9 15.解：(1)由a-cosB=号b及正弦定理，得sinA-sinCeosB= sinb, sin(B+C)-sin C cosBnBsin BcosC=-sinB 因为0<B<元，sinB≠0，所以cosC= 31 4分 1 7 所以c0s2C=2c0s2C-1=2×二-1=- 6分 9 )2 16+c2-4b2 (2)在△ACD中，由余弦定理，得Cos∠CDA= 7分 2x2xc 8c 2+2 2 -a2 16+c2-4a2 在△BCD中，由余弦定理，得COS∠CDB= ，8分 2x2x9 8c 2 因为∠CDA+∠CDB=x,所以cos∠CDA+cos∠CDB=16+c2-4h+16+c2-4a2 =0, 8c 8c 整理得a2+2=16+c2_25, 10分 22 在△BC中，由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcosC=a2+b-2。 ab,即a2+b2-2b=9.11 3 3 分 所以ah=21 4 又casC-写CeQ动，所以snC-2 3 5以5w-suc-7 13分 4 16.(1)证明：连接AC,交A,C于G,则G为AC,中点， 连接DG,因为D为AB中点，所以DG∥BC,3分 因为DGc平面A,CD,BC,t平面A,CD, 所以BC,∥平面A,CD.6分 (2)解：取AB,中点H,在正三棱柱ABC-ABC中，DB,DC，DH两两垂直， 故以点D为原点，直线DB,DC,DH分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB=2,AA=a(a>0),则D(0,0,0),A-1,0,0),A(-1,0,a),B(1,0,0), 所以AB=(2,0,0),AA=(0,0,a),DA=(-1,0,a),8分 因为AE⊥平面ACD,所以AE⊥DA, 所以花D=-2+名a=0,又a>0,所以4=3. 10分 所以AE= 20号引由题蓬知正为平面4CD的一个法有绿 12分 又B(1,0,3),所以DB,=(1,0,3),13分 AE.DB 设直线DB与平面A,CD所成角为0，则sin0= IAEI DB. 0xi而 15分 C 17.(1)解：当a=1时，f(x)=4-(lnx+x)ln2,其定义域为0，+oo, rw-(2j小h2.1 因为y=2,y=-在(0，+o0)上单调递增，n2>0, 所以f'(x)在(0，+0)上单调递增，又f'(①)=0,3分 所以当x∈(0,1)时，f'(x)<0,当x∈(1，+o∞)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+0)上单调递增. 6分 (2)证明：因为f(x)=4-1-(lnx+ax)ln2,所以其定义域为(0，+oo), 且r)=2-士a]血2.显然f在0+w)上年酒超始 ，7分 且r=-ah2<0.f9-j20. 所以作在61引校符f川-0，甲2--a=0,即4-2+号 10分 2x02 当x∈(0，x)时，f'(x)<0,当x∈(xo,+o)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0，x）上单调递减，在(x,+o∞)上单调递增， 所以xe0+网，f≥f=4-x+,ln2-云+号a+%ia2.2分 2x2 x -aln2<0, 33 所以g(x)在 上单调递减，所以g(x)>g 21 21 =ln+-a, 15分 33 所以f>血号+方a· 18.解：(1)记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件A,“该时段至少发生了2次信号误差”为事件B, 由题知 PA)=P(X=2)=2 1分 2.17 P(B)=P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=2+ 9'2727 P(AB)=P(X=2且X≥2)=PX=2)=2 3分 9 2 故所求概率为P(CB)P(AB)=9-6 5分 P(B) 7=7 27 (2)每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为C 1 22 3 39 3 3个全被激活的概率为 7分 27 连续测试3个时段后停止测试有2种情况： 2 )3 8 ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个，概率为 9 8分 729 ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个，第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的千 676 扰源数量不超过3个，概率为 27 9分 2719683 8.676892 故所求概率为 10分 7291968319683 (k+1)k+2) (3)因为Y的分布列为P(Y=2)=a3-（-)2 k=1,2,3,Y的所有可能取值为2,4,8. 所以P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=8)=4a+2a+2a=8a=1,所以a=18, 12分 所以PY=2=PY=4利=PY=8= Z的所有可能取值为4,6,8,10,12,16.13分 pz=4=PY=2P(Y=2)=2×24 11_1 111 PZ=6=2P(Y=2)PY=4)=2×2×44 mz=8=my=v=利=行衣 Pz=10=2PY=2PY=8)-=2×2×44 111 111 P(Z=12)=2P(Y=4)P(Y=8)=2××,= 448 P2=16)=PY=8)P(Y=8)=4×416 111 15分 所以Z的分布列为 X 6 8 10 12 16 Z 1 1 1 1 1 4 8 16 BE(Z)=4×4+6×4+8×16+10×4+12×g+16×16=8. 17分 19.(1)解：设E(c,0),则(-c,0), 电C的离心率为5，得二=，Q=2c,2分 a 2 所以》=a2-c2=3c2,C的方程为 2 3c21, 4c2 设P(m,川，则-2c≤m≤2c,m'=3c2_3m 所以Pf.PF=(-c-m,-n)c-m,-n)=m2-c2+n2 m2 +2c2≤3c2=3,4分 4 所以c=1,故C的方程为+广 4+3=1.5分 (2)证明：易得P 设Q(%),R(x),直线P的方程为y- 3=kx-· x2.y2 =1 由 43 得4k2+3x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0, 3 少-2=(x-) △=43-2-44+3训4-12-)>0，即k 所以5×1=4：12-3.=46212-3， 7分 4k2+3 4k2+3 我PR的方程为y)kx-,同理可得仁4秋+12k二3} 8分 4k2+3 8k2-6 所以直线QR的斜率为广=-('+。-2) 4k2+3 2’为定值. 10分 Xo-Xo x,'-x 24k 4k2+3 (3)解：E,E,关于E,对称，证明如下： 设A,),B(22),则D(4),由(1)知E(1,0) 酸直线AB的方程为x=my+1,与，+、=1联立得3m+4y+6m少-9=0 △=36m2+363m2+4=144m2+1>0, 所以月+⅓=3n+4=3m+4m为=+⅓小，Ⅱ分 6m 9 3 直线8D的方程为y-片=-上(x-4), x2-4 令y=0.符x=4-59=4m-副4+小3奶5 3 y2-片 y2-y1 y2-y 所以点 子，0恒在直线BD上，曲线广=2x+2y-5也经过围 13分 设Gs,t是曲线y3=2x+2y-5上任意一点，则t3=2s+2t-5, 点G关于 ),0的对称点为G5-s,-少 因为2(5-s+2(-t)-5=-2s-2t+5=(-t)3,所以点G也在曲线y3=2x+2y-5上， 所以曲线y3=2x+2y-5关于点 又过点E,的直线与曲线y3=2x+2y-5最多有3个公共点，当有3个公共点时，记另外2个公共点分别 为E,E3,则E,E,关于E2对称.17分 2026届高三最后一卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若是，的等差中项，是，的等比中项，则 A． B． C． D． 2．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为 A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 3．已知集合，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为 A． B． C． D． 5．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为 A． B． C．或 D．或 6．若双曲线（，）的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为 A． B． C． D． 7．一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则 A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 8．已知函数，若对，，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（，为虚数单位），则 A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 10．已知点是抛物线上的动点，为的焦点，为的准线，过且与相切的直线交于点，则 A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．以为直径的圆恒过点 11．已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则 A．的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B．当时，的值域为 C．当时方程在上有25个实根 D．当，，时方程在有实根的充要条件为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的省全域旅游示范区中选4个去打卡，若国家全域旅游示范区至少选3个，则选取方法种数为________．（用数字作答） 13．写出一个满足下列条件的函数的解析式：________． ①； ②对任意正数，，； ③，； ④． 14．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点为的中点，，，求的面积． 16．（本小题满分15分） 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若，证明：． 18．（本小题满分17分） 为评估卫星导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性，科研团队进行了一项模拟测试．测试中一颗卫星向地面特定区域持续发送信号．已知该区域有个相互独立的瞬时强干扰源，每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为．当个干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生次随机误差，反之亦然．设为该时段内被激活的干扰源数量． （1）若，且某个时段至少发生了2次信号误差，求该时段内恰好发生2次信号误差的概率； （2）若，连续进行多个时段的测试，直到出现下列两种情况之一停止测试：①某个时段内被激活的干扰源为3个；②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个，求连续测试3个时段后停止测试的概率； （3）在测试中每次信号误差会产生一个误差值．记为单个干扰源激活时所产生的信号误差值，且的分布列为，定义该时段内信号误差值为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和．若，求的分布列与期望． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆的离心率为，点，分别为的左、右焦点，点是上的动点，的最大值为3． （1）求的方程； （2）若点在第一象限，轴，过点斜率之和为0的两条直线分别与交于另外一点，，证明：直线的斜率为定值； （3）过的直线与交于点，，点在直线上的射影为，若直线与曲线从上到下依次交于不同三点，，，判断点，是否恒关于点对称，并给出证明． 学科网（北京）股份有限公司 $