精品解析：河南信阳市普通高中2025-2026学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

★2026年4月29日 2025-2026学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某水池的水位高度（单位：米）与时间（单位：小时）的关系为，则当时，水位的瞬时变化率为（ ） A. 米/小时 B. 米/小时 C. 米/小时 D. 米/小时 2. 学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选一科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 12 C. 20 D. 60 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中二项式系数之和为，则常数项是（ ） A. B. C. D. 6. 若从0，1，2，3，4，5这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于3000的偶数的个数是（ ） A. 96 B. 84 C. 108 D. 72 7. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 函数有三个零点 C. 若函数的图象关于对称，则 D. 若函数在上的最大值为a，则 11. 设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则 C. 若A与C互斥，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 盲盒，由于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求，已经成为一种新型的消费现象.某盲盒营销商对盲盒商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，该商家会以3∶2的比例对新旧款盲盒进行随机发货，则消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率为__________. 13. 某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________. 14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球.若最多进行n次取球（，），即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等. （1）求展开式中含的项； （2）记，求. 16. 已知函数（）. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性. 17. 某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据： 企业 A B C D E F G H 研发投入x（万元） 200 500 800 1000 1500 2000 2500 3000 专利申请数y（件） 2 4 6 5 7 8 9 10 （1）从这8家企业中随机抽取1家，记事件M：抽到的企业“研发投入不超过1500万元”；事件N：抽到的企业“专利申请数超过6件”． (ⅰ)求条件概率的值； (ⅱ)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由． （2）现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持．记其中专利申请数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 18. 某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p（）.检测方法采用分组检测：将待检测家庭分成m个小组，每组n户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测.若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测；若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采集的水样）. （1）已知，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物质的概率（用含p的式子表示）； （2）用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值； （3）假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若，且该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围； （3）若有两个不同的零点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ★2026年4月29日 2025-2026学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某水池的水位高度（单位：米）与时间（单位：小时）的关系为，则当时，水位的瞬时变化率为（ ） A. 米/小时 B. 米/小时 C. 米/小时 D. 米/小时 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则， 当时，. 2. 学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选一科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 12 C. 20 D. 60 【答案】B 【解析】 【详解】分两步完成选科. 第一步，从物理、历史科中任选科，选法种数为. 第二步，从化学、生物、政治、地理科中任选科，选法种数为. 根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，则. 4. 已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 所以对应，共个取值， 则，即，解得. 5. 二项式的展开式中二项式系数之和为，则常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】二项式的展开式中二项式系数之和为，则，解得， 通项为，令的指数，解得， 故常数项为：. 6. 若从0，1，2，3，4，5这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于3000的偶数的个数是（ ） A. 96 B. 84 C. 108 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】要组成无重复数字、大于3000的四位偶数，按千位为3、4、5分三类讨论，千位为5或3时个位从0，2，4中选有3种，千位为4时个位从0，2中选有2种，每类定好千位和个位后，再从剩余4个数字中选2个排列有 种，最后将三类数量相加得总数. 【详解】由于组成的无重复数字的四位数要大于3000且为偶数，则千位数字只能为3，4，5.需要分情况讨论： ①当千位数字为5时，为保证是偶数，个位数字只能从0，2，4中选，有种选法；然后从剩下的4个数字中选2个安排在百位和十位，有种，所以共有个. ②当千位数字为4时，个位数字只能从0，2中选（因为4已用作千位），有2种选法；然后从剩下的4个数字中选2个排列，有种，所以共有个. ③当千位数字为3时，个位数字可以从0，2，4中选，有种选法；然后从剩下的4个数字中选2个排列，有种，所以共有个. 综上，总个数为. 7. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 设，则. 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，则，所以在单调递增. 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，若相互独立，则不互斥，若互斥，则不相互独立，故A正确； 对于B，数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和第4个数的平均数，是，故B错误； 对于C，在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，依据两点分布可得，故C正确； 对于D，由得，D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 函数有三个零点 C. 若函数的图象关于对称，则 D. 若函数在上的最大值为a，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数与单调性、极值、最值的关系判断ABD，根据函数的对称性判断C. 【详解】对于A，由题意知，，由 ，解得，故A正确； 对于B，函数，则， 令，则或，此时单调递增；令，则，此时单调递减； 所以函数在处取得极大值，为，在处取得极小值，为， 且当时，，当时，，所以函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，若函数的图象关于对称，则， 又 ，所以，所以，故C正确； 对于D，由于，则在和上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 要使在上的最大值为，则，或， 解得，或，故D错误. 11. 设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则 C. 若A与C互斥，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式，求出积事件的概率，进而根据独立事件乘法公式，判断事件是否独立，判断选项A的正误，根据互斥事件的性质，求出互斥事件和事件的概率，判断选项B的正误；根据条件概率的定义，以及互斥事件的性质，判断选项C的正误；根据对立事件的性质，以及全概率公式，求出条件概率，判断选项D的正误； 【详解】对于A，因为， 所以，所以A与B相互独立，故A正确； 对于B，因为A与C互斥，则，所以，故B错误； 对于C，因为，若此时A与互斥，则，此时不存在，所以C错误； 对于D，因为，，所以， 又根据全概率公式，得， 所以，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 盲盒，由于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求，已经成为一种新型的消费现象.某盲盒营销商对盲盒商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，该商家会以3∶2的比例对新旧款盲盒进行随机发货，则消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设“消费者买到新款盲盒”，“消费者买到旧款盲盒”，“盲盒中出现‘隐藏款’”， 则. 13. 某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________. 【答案】28 【解析】 【详解】若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口. ①两个路口为人分配，共有种安排方案. ②两个路口为人分配，共有种安排方案，此时共有种安排方案. 同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种安排方案. 所以共有种不同的安排方案. 14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球.若最多进行n次取球（，），即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：通过分析取球规则，建立随机变量取值的概率模型，利用分步乘法原理推导出概率通项公式。再运用裂项相消法对期望求和进行化简，得到关于的期望表达式并代入具体值；法二：针对的具体情形，直接枚举所有可能的取球次数（1到8），并依次计算每次取球停止的概率。然后根据期望的定义，将次数乘以对应概率后求和，通过数值计算得到结果. 【详解】法一：由题意知，的所有可能取值为且. 当，时，前次取到白球，第次取到黑球， 则； 当时，前次取到白球，第n次取到黑球， 则， 所以 ， 因为， 所以： . 所以 . 综上，.故. 法二：依题意得：，， ，， ；； ；， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等. （1）求展开式中含的项； （2）记，求. 【答案】（1） （2）364 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用展开式的通项求出指定项. （2）利用赋值法列式求解. 【小问1详解】 由二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等，得，解得， 则的展开式的通项公式为， 令，得，所以展开式中含的项为. 【小问2详解】 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以. 16. 已知函数（）. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，以及切线的概念，列出方程，求出参数即可； （2）根据函数导数与函数单调性的关系，对参数进行分类讨论，判断导函数的正负，求出原函数的单调性. 【小问1详解】 函数的定义域为. 求导得，则曲线在点处的切线斜率为. 直线可化为，斜率为2. 由切线与直线平行，得，解得. 【小问2详解】 由（1）知，（）. ①当时，恒成立，所以在上恒成立， 故在上单调递增. ②当时，令，得，即. 当，，所以，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 17. 某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据： 企业 A B C D E F G H 研发投入x（万元） 200 500 800 1000 1500 2000 2500 3000 专利申请数y（件） 2 4 6 5 7 8 9 10 （1）从这8家企业中随机抽取1家，记事件M：抽到的企业“研发投入不超过1500万元”；事件N：抽到的企业“专利申请数超过6件”． (ⅰ)求条件概率的值； (ⅱ)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由． （2）现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持．记其中专利申请数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）(ⅰ)； (ⅱ)事件M与N不相互独立，理由： 由(ⅰ)可知； 因为，；故； 显然； 因此事件M与事件N不相互独立． （2） X 0 1 2 3 P ． 【解析】 【分析】(1)(ⅰ)根据表格数据整理样本点，求出事件M和积事件的概率，再利用条件概率公式：求出条件概率； (ⅱ)根据条件概率判断方法，若积事件的概率等于概率的积，即则两个事件独立，反之不独立，由此进行判断事件M与N是否相互独立． (2)由题意可得知，随机变量X服从超几何分布，即，根据超几何分布概率公式：，求出X的分布列和数学期望． 【小问1详解】 (1)(ⅰ)由题意知，事件M：研发投入不超过1500万元，包含企业A，B，C，D，E，共5家；事件N：专利申请数超过6件，包含企业E，F，G，H，共4家． 所以只有企业E． 所以，． 所以． (ⅱ)略 【小问2详解】 由题意可知：专利申请数大于6件的企业有4家，从中随机抽取3家， 则X的取值可以是0，1，2，3；即； ；； ；. X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的数学期望：． 18. 某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p（）.检测方法采用分组检测：将待检测家庭分成m个小组，每组n户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测.若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测；若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采集的水样）. （1）已知，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物质的概率（用含p的式子表示）； （2）用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值； （3）假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若，且该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量服从参数为5和的二项分布，依据条件概率公式将所求概率转化为的概率与的概率之比，再利用对立事件把的概率换成1减去的概率，接着用二项分布概率公式分别算出和的概率，代入化简即可得到最终表达式. （2）先设定每组检测次数为随机变量，分两种情况：混合样本阴性时只需检测1次、概率为，阳性时需检测次、概率为，再由离散型随机变量期望公式求出单组检测次数的期望，根据总人数1000得出分组数为，用分组数乘单组期望得到总检测次数的期望，整理化简后得到最终表达式. （3）先区分逐一检测与分组检测的成本构成，算出逐一检测总成本为5000元，再求出分组检测的固定采样成本，结合第二问时总检测次数期望得到化验成本，合并化简得出分组检测总成本期望；再根据分组检测成本比逐一检测节省两成以上的条件列出不等式，整理求解出的范围，进而解出的取值范围. 【小问1详解】 设该小组的混合样本中含有该物质的户数为X，则. 因为混合样本检测呈阳性，即， 所以所求概率. 又；. 所以. 【小问2详解】 因为每组检测次数为Y，则Y的分布为：若混合样本为阴性，则只需检测1次，概率为； 若混合样本为阳性，则需检测次，概率为. 所以期望. 因为共有个小组，所以总检测次数的期望为 . 【小问3详解】 由题意知，总成本包括采样处理成本和化验成本. 所以逐一检测时总成本为元， 分组检测时采样成本为元，化验成本为. 由（2）知，当时， . 故总成本的期望为 , 由题意知，分组检测总成本比逐一检测总成本节省20%以上，即. 所以 ，即. 所以，解得，因此p的取值范围为. 19. 已知函数，其中. （1）当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围； （3）若有两个不同的零点，，证明：. 【答案】（1）在上单调递增，理由： 由题意知，当时，函数的定义域为， 求导得.当时，，且，因此恒成立， 所以在上单调递增. （2） （3） 设，则， 则 即 两式相乘得： 要证，即证： 由题意，函数有两个不同零点， ①若，则，求导得， 当时，，在上单调递增； 又，故恒成立，无零点，与题设矛盾， ②若，令， 则 当时，， ，故恒成立， 在上严格单调递增，至多有一个零点，与题设矛盾， 综上，函数有两个不同零点时，必有，且，. 现证，假设： 若，则，代入得，矛盾， 首先证明不等式，，设， 则，则在上单调递增， 则，则在上恒成立， 若，则，由， 及不等式 可得： 即 .因为，所以，与矛盾， 故，同理可得. 因为，，所以 ，，结合， 有： 两式相乘得： 即，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）代入参数值简化函数形式，利用导数作为判断单调性的工具，在导函数中，结合指数函数和反比例函数在定义域内的取值范围，判断其恒正，从而得出函数单调递增的结论； （2）函数存在极值点的条件转化为其导函数存在变号零点的问题，通过分离参数构造新函数，利用导数研究该函数的单调性与值域，从而确定参数取值范围，使方程有解； （3）利用零点等式将指数函数表达式转化为代数形式，并将待证不等式转化为关于零点的乘积不等式，通过对零点取值范围的分类讨论，结合指数函数的基本不等式及参数范围，分别证明各因式大于对应变量，最后通过不等式相乘完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，函数的定义域为，求导得， 函数在定义域内存在极值点，则其导函数定义域内存在变号零点， 即，所以， 设，则， 当时，，且，所以，即在上单调递增， 又，当时，，因此当时，方程有唯一解， 即存在唯一的极值点；当时，方程无解，无极值点， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $