精品解析：河南省信阳市固始县高级中学第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

固始一高2024-2025学年度高二下期期中考试数学学科试题 命题人：胡云兵 时间：2025.4.23 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用导数的定义得，即可求解. 【详解】因为， 又，则，所以，则， 故选：B. 2. 2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（   ）个. A. 480 B. 600 C. 720 D. 840 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用写序问题倍缩法，排除首位为0的情况即可. 【详解】数字：2，0，2，5，4，1，2中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，1，2，其中数字2出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C 3. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ） 附：若，则． A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果. 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 4. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 5. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，再求出满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的方案数，最后根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意每位同学均有种选择，则四位同学一共有种方案， 若小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒之魔童闹海》，则有种方案，有一人看《哪吒之魔童闹海》电影，则有种方案， 即满足小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案， 所以所求概率. 故选：C. 6. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 7. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 8. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，同时求得参数，再利用导数判断函数的单调性，从而求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 故利润，， 种植3万千克，利润是，即，解得， 故，，则， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，二项式系数和为64，则，解得，故A正确； 对于B，通项公式为，令，得，则第四项为常数项，故B错误； 对于C，二项式系数最大项为中间项第四项，所以为，故C正确； 对于D，令则系数和为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B. 若随机变量X满足，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两点分布的特征，直接求方差，判断A错；根据离散型随机变量期望的概念，直接计算，可判断B正确；根据正态分布的对称性，可判断C正确；根据二项分布的概率公式，构造不等式组，由此解得的范围，从而可得概率最大时的取值，判断D正确. 【详解】若随机变量X服从两点分布，且，则，， 则，故A错； 若随机变量X满足， 则，故B正确； 若随机变量，，则，故C正确； 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若， 则， 由得， 即，即，解得， 所以，即最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确； 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断A；对于B，利用导数研究函数的单调性判断B；对于C，将问题化为在上恒成立，应用导数研究的最小值，即可得参数范围判断C；对于D，将问题化为有唯一解，应用导数研究的单调性和值域判断D. 【详解】对于A，由题设， 则，且， 所以在处的切线方程为， 切线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故A正确； 对于B，由题设，, 当时，趋向于负无穷，当时，趋向于正无穷， 所以存在，使， 所以当时，，在上是减函数，故B错误； 对于C，因为函数在上为减函数， 则在上恒成立，则， 令，则， 易知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，函数有且只有一个零点， 即有唯一解，则， 令，且，则， 令，显然在上为增函数，， 则存在，使得， 易知时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，当时，趋向于正无穷，当时，趋向于0， 所以有且只有一个解时，，即， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知随机变量，若，则______. 【答案】0.2 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，计算即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线方程是____________. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，则切线斜率，又，得， 所以曲线在点处的切线方程是， 所以切线方程为. 故答案为： 14. 排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】对命题等价转化，再使用排列组合知识即可． 【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）. 此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 【答案】（1）8 （2）①255，②（也正确） 【解析】 【分析】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解； ②令即可求解； 【小问1详解】 首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有； 【小问2详解】 在， 令，得； 令，得①； . 令，得②； ②，得.（也正确） 16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】（1）方案一 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 【小问2详解】 设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 17. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，可得出关于实数、的方程组，即可解得这两个未知数的值； （2）分析函数在区间上的单调性，根据题意可得出，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 函数在和处取得极值． ，，联立解得：，． 且当，，，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意. 因此，，． 【小问2详解】 由（1）知在单调递增，在单调递减， 故当时，， 要使得对任意，不等式恒成立，则需， 故，即，解得或， 的取值范围是． 18. 在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异. 睡眠时长/小时 人数 5 12 28 36 17 2 （1）估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. （2）在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为. （i）求的值； （ii）求的分布列和期望. 【答案】（1）7.27小时. （2）（i）； （ii） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的频率，将所有结果相加可得平均数； （2）（i）先求出“近期压力过大”的频率，则服从二项分布，利用二项分布的概率公式即可； （ii）利用二项分布的概率公式求分布列以及利用二项分布的期望公式计算即可. 【小问1详解】 记这100名工作人员平均每天的睡眠时长为小时， 则（小时）， 故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为7.27小时. 【小问2详解】 （i）被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”， 则表示“近期压力过大”的频率为， 由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率为，故， 则，， 故. （ii）因， 则，， 故其分布列如下表所示： 0 1 2 3 故期望. 19. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 【答案】（1） （2）和 （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 固始一高2024-2025学年度高二下期期中考试数学学科试题 命题人：胡云兵 时间：2025.4.23 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（   ）个. A. 480 B. 600 C. 720 D. 840 3. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ） 附：若，则． A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 4. 已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没•重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是（是常数），若种植3万千克，利润是万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 常数项是第3项 C. 二项式系数最大值为20 D. 所有项系数之和等于1 10. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则 B. 若随机变量X满足，则 C. 若随机变量，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知随机变量，若，则______. 13. 曲线在点处的切线方程是____________. 14. 排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. （1）求的值； （2）设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 17. 已知函数在和处取得极值． （1）求、的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 18. 在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某地100名工作人员每天的睡眠时长，这100名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周末无差异. 睡眠时长/小时 人数 5 12 28 36 17 2 （1）估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. （2）在被调查的100名工作人员中，有40名表示“近期压力过大”，由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查3名，设“近期压力过大”的人数为. （i）求的值； （ii）求的分布列和期望. 19. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $