河南信阳市普通高中2025-2026学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

★2026年4月29日 2025-2026学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某水池的水位高度（单位：米）与时间（单位：小时）的关系为，则当时，水位的瞬时变化率为（ ） A. 米/小时 B. 米/小时 C. 米/小时 D. 米/小时 2. 学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选一科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ） A. 5 B. 12 C. 20 D. 60 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中二项式系数之和为，则常数项是（ ） A. B. C. D. 6. 若从0，1，2，3，4，5这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于3000的偶数的个数是（ ） A. 96 B. 84 C. 108 D. 72 7. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7 D. 若随机变量X的数学期望，则. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 函数有三个零点 C. 若函数的图象关于对称，则 D. 若函数在上的最大值为a，则 11. 设A，B，C为随机事件，假设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则A与B相互独立 B. 若A与C互斥，则 C. 若A与C互斥，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 盲盒，由于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求，已经成为一种新型的消费现象.某盲盒营销商对盲盒商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，该商家会以3∶2的比例对新旧款盲盒进行随机发货，则消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率为__________. 13. 某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为__________. 14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球.若最多进行n次取球（，），即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中第3项的二项式系数和第5项的二项式系数相等. （1）求展开式中含的项； （2）记，求. 16. 已知函数（）. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性. 17. 某科技园区对园区内8家初创企业的研发投入与专利申请数量进行调研，得到如下数据： 企业 A B C D E F G H 研发投入x（万元） 200 500 800 1000 1500 2000 2500 3000 专利申请数y（件） 2 4 6 5 7 8 9 10 （1）从这8家企业中随机抽取1家，记事件M：抽到的企业“研发投入不超过1500万元”；事件N：抽到的企业“专利申请数超过6件”． (ⅰ)求条件概率的值； (ⅱ)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由． （2）现在要从这8家企业中随机抽取3家进行重点扶持．记其中专利申请数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 18. 某环保部门需要对某社区1000户家庭的饮用水进行某种有害物质的检测，假设每户家庭的水样中含有该物质的事件相互独立，且含有该物质的概率均为p（）.检测方法采用分组检测：将待检测家庭分成m个小组，每组n户，每组取每户的水样混合成一个样本进行检测.若某组混合样本检测为阴性（不含该物质），则该组所有家庭无需再检测；若某组混合样本检测为阳性（含有该物质），则需对该组内每户家庭分别单独检测一次（使用已采集的水样）. （1）已知，若某小组的混合样本检测结果为阳性，求该组内恰好有2户家庭水样中含有该物质的概率（用含p的式子表示）； （2）用Y表示每组检测次数，T表示总检测次数，求用分组检测方法所需检测次数的期望值； （3）假设检测成本由两部分组成：采样处理成本为2元/户，化验检测成本为3元/次，若，且该分组检测方法总成本的期望值比逐一检测的总成本节省了20%以上，求p的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）当时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围； （3）若有两个不同的零点，，证明：. ★2026年4月29日 2025-2026学年普通高中高二下学期期中教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】28 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）364 【16题答案】 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【17题答案】 【答案】（1）(ⅰ)； (ⅱ)事件M与N不相互独立，理由： 由(ⅰ)可知； 因为，；故； 显然； 因此事件M与事件N不相互独立． （2） X 0 1 2 3 P ． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）在上单调递增，理由： 由题意知，当时，函数的定义域为， 求导得.当时，，且，因此恒成立， 所以在上单调递增. （2） （3） 设，则， 则 即 两式相乘得： 要证，即证： 由题意，函数有两个不同零点， ①若，则，求导得， 当时，，在上单调递增； 又，故恒成立，无零点，与题设矛盾， ②若，令， 则 当时，， ，故恒成立， 在上严格单调递增，至多有一个零点，与题设矛盾， 综上，函数有两个不同零点时，必有，且，. 现证，假设： 若，则，代入得，矛盾， 首先证明不等式，，设， 则，则在上单调递增， 则，则在上恒成立， 若，则，由， 及不等式 可得： 即 .因为，所以，与矛盾， 故，同理可得. 因为，，所以 ，，结合， 有： 两式相乘得： 即，原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $