2026年中考数学二轮复习专题：几何图形与相关实际问题 课件

第07讲 几何图形与相关实际问题 【中考二轮复习专题】 01 考情分析 02 知识结构 03 典例精讲 目录 图片替换区 几何图形一直是中学数学的重点内容之一，其题型多样，涵盖面广，不仅考查学生对基础知识的掌握，还注重考查学生的逻辑思维、空间想象能力和问题解决能力．几何计算问题涵盖求线段长度、角度、图形的面积等，常与实际应用问题相结合．例如，利用几何知识求解实际问题中的最短路径、最大面积等问题．解题时需将实际问题转化为几何模型，并运用勾股定理、相似比例、三角函数等知识进行求解． 中考几何题型越来越注重基础知识的考查与实际应用相结合．题目往往从生活实际或具体情境出发，要求学生运用几何知识解决实际问题． 考查方式 几何图形与相关实际问题 解直角三角形与实际问题 考情分析 3 几何图形与相关实际问题 步骤 ②求解 将实际问题转化为平面图形 ③得到答案 ①转化 类型 方向角 坡度（坡比） 仰角、俯角 利用相关图形的性质求解 数学问题的答案 实际问题的答案 ：坡比 ：坡角 知识结构 考点一几何图形与相关实际问题-平行线的性质在实际生活中 的应用 例1 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求。某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动。 (1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点，，垂足为点，，则的度数为______． 解：(1)∵∴ ∵，∴ ∴ 故答案为：． 典例精讲 例1 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求。某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动。 (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，F为AB上一点，射线HI与AB交于点I，射线FE交CD于点E． ①______； 解：(2)①∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． 考点一几何图形与相关实际问题-平行线的性质在实际生活中 的应用 典例精讲 例1 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求。某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动。 (2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，F为AB上一点，射线HI与AB交于点I，射线FE交CD于点E． ②若，EF与HI所在的直线存在什么位置关系？请说明理由． 考点一几何图形与相关实际问题-平行线的性质在实际生活中 的应用 解：(2)②∵，∴ ∵∴ ∵ ∴∴ 典例精讲 例2 如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． （参考数据：） 考点一几何图形与相关实际问题-三角形的性质在实际生活中 的应用 解：（1），， ，； （2）该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长，交于点， ，，， 又，， 在中，， ，该运动员能挂上篮网． 典例精讲 例3 如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，． 求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）． （参考数据：，） 解：过作于， 设，∵， ∴，∴， ∴，∴ ， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴ ， ∵ ，∴，∴． H ∟ 考点一几何图形与相关实际问题-特殊三角形的性质 典例精讲 例4 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(米)，感应门自动打开，则AD=______米． 考点一 几何图形与相关实际问题-勾股定理的应用 解：如图所示，过点D作于点E， ∵米，米， 则米. 在中，由勾股定理得 ∴AD=1.5（米）. 1.5 典例精讲 例5 如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ． 考点一 几何图形与相关实际问题-勾股定理的应用(最短路径) 解：如图，连接，由题意可得： 底面为正三角形的直三棱柱， ，点M为的中点， 当在右侧处时，，， ∴， 当在下方时，由等边三角形的性质可得：， 此时 典例精讲 例5 如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ． 考点一 几何图形与相关实际问题-勾股定理的应用(最短路径) 解：如图，当按下图方式展开时， 延长，过作于，作于，作于， 则，四边形为矩形，∴，， 则， ∴， ∵，，∴，，， ，∴此时重合，∴， ，∴， ∵，∴小虫爬行的最短路程等于． 典例精讲 例6 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） 考点一几何图形与相关实际问题-特殊平行四边形的性质与判定 解：（1）∵ ∴，由题意可知，， 在中，， ∴ 典例精讲 例6 (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 解：（2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∴ 考点一几何图形与相关实际问题-特殊平行四边形的性质与判定 典例精讲 例7 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为(    )． A.13 B.24 C.26 D.28 考点一几何图形与相关实际问题-圆的性质在实际生活中的应用 解：设圆心为，过作于，交于D 连接，如右图所示：∴， 设的半径为寸，在中， ，则有解得， ∴的直径为26寸. C 典例精讲 例8 如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试．大摆锤从高为的房屋A处，划过到达与房屋A水平距离为，高为的房屋B处，求大摆锤的长度 m． 考点一几何图形与相关实际问题-全等三角形在实际生活中的应用 解：如图所示，， 过点作于点，过点作于点，交于点，连接，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴四边形，是矩形， ∴，在中，，∴，在等腰直角中，， ∴，即， ∴， 典例精讲 例9 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． 考点一几何图形与相关实际问题-相似三角形在实际生活中的应用 解：（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ，，，， ，，， ， ，， 沿着方向平移时，长度不变． 典例精讲 例9 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，桌面高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； 解：（2）①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． 考点一几何图形与相关实际问题-相似三角形在实际生活中的应用 典例精讲 例9 如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，桌面高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得长度最大． ②的长度的最大值为 cm． 解：②，， ，设，则， 在中，， ，， ，（舍去），， 由①， ，，即的长度的最大值为 考点一几何图形与相关实际问题-相似三角形在实际生活中的应用 典例精讲 1.理解问题 ❶明确已知条件：仔细阅读题目，理解并列出所有已知的几何条件和数据. ❷确定求解目标：明确需要求解的几何量或需要证明的几何关系. 2.分析问题 ❶图形分析：画出准确的图形，标记已知条件和待求量，帮助直观理解问题. ❷选择方法：根据问题的特点，选择合适的解题方法，如代数法、几何法等. 3.解决问题 ❶应用几何性质：利用几何图形的性质，如三角形的内角和、勾股定理、相似图形的性质等，进行推导和计算. ❷建立方程：对于复杂的几何问题，可以通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用方程求解. ❸证明与计算：根据已知条件和选择的解题方法，进行逻辑推理和计算，得出最终答案. 考点一几何图形与相关实际问题 总结：解题步骤 典例精讲 4.验证答案 ❶检查计算：确保计算过程无误，结果合理. ❷回顾解题过程：检查每一步推理是否合理，确保解题过程的正确性. 5.总结与反思 ❶总结经验：总结解题过程中的关键步骤和所用到的几何知识，加深理解. ❷反思不足：思考在解题过程中遇到的困难，寻找改进的方法，提高解题能力. 考点一几何图形与相关实际问题 总结：解题步骤 典例精讲 例10 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 考点二 解直角三角形与实际问题-仰角俯角问题 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，． ，，． 典例精讲 考点二 解直角三角形与实际问题-仰角俯角问题 例10 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求线段和的长度： (2)求底座的底面的面积． 解：（1）解：∵，的长为4米，， ∴，∴米； ∵，∴米， ∴米； （2）过点A作于点M，如图所示： ∵，∴， ∵米，∴米，∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 典例精讲 解：过作，垂足为， ∵，，∴四边形是矩形， ∴，．∵的长为，高为， ∴． ∴在中，()． ∵，，∴．∴． ∴设．∴，． ∴．∵，，∴． ∴．∴．即信号塔的高为． 例11 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 考点二 解直角三角形与实际问题-坡度坡比问题 典例精讲 例12 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． (1)求B，C两处的距离；（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：） 考点二 解直角三角形与实际问题-方向角问题 E ∟ 解：(1)解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向， C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴，∴， ∵，∴， ∵海里，∴（海里）， ∴（海里），∴B，C两处的距离为16海里． 典例精讲 例12 (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． 考点二 解直角三角形与实际问题-方向角问题 E ∟ 解：（2）解：过点D作于点F，设海里， ∵，∴， 由（1）可知，海里，∴海里， ∵，∴， ∴，解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）． F ∟ 典例精讲 例13 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 考点二 解直角三角形与实际问题-其它问题 典例精讲 例13 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 考点二 解直角三角形与实际问题-其它问题 解：（1）解：在中，，∴， ∴， （2）解：由题可知， ∴，又∵， ∴， ∴． 典例精讲 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 总结：解直角三角形实际应用的一般步骤 考点二 解直角三角形与实际问题 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 典例精讲 $