小专题培优9 几何图形中的面积问题-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学重难题型册配套课件（陕西专用）

该初中数学中考复习课件聚焦几何图形中的面积问题核心考点，覆盖等分面积、割补法求面积、二次函数面积最值等中考高频内容，结合陕西中考8年考情分析考点权重，按“情形+类型”归纳过顶点/边上点等分面积、不规则图形割补等常考题型，对接中考要求。 课件亮点在于“典例精讲+真题训练+分层进阶”模式，如2020陕西中考题利用菱形中心对称性质求EF长，示范几何直观与推理能力，原创“好线”问题培养创新意识。提供具体作法与解析，帮助学生掌握面积等分、最值求解技巧，助力中考冲刺，为教师提供系统复习指导。

数 学 陕西 重难题型册 1 一、小专题培优 小专题培优9　几何图形中的面积问题 典例精讲 方法解读 情形1：过三角形顶点作直线将三角形的面积平分 三角形的三条中线分别将三角形的面积平分. 情形2：过三角形边上一点(非顶点)作直线将三角形的面积平分 问题：过△ABC的边BC上一定点D作一条直线将△ABC的面积平分. 作法1：如图1，过BC的中点E作AD的平行线，交AC于点F，则直线DF 即为所求.(在证明的过程中需连接AD，AE) 图1 图2 作法2：如图2，过点B作AD的平行线，交CA的延长线于点E，取CE的 中点F，则直线DF即为所求.(在证明的过程中需连接AD，DE) 情形3：过不规则四边形顶点作直线平分四边形面积 问题：在BC上找一点M，使得AM平分四边形ABCD的面积. ➝ 作法：连接AC，过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E，取BE的 中点M，则直线AM即为所求.(在证明的过程中需连接AE) 情形4：利用图形的中心对称性平分图形面积 (1)过中心对称图形的对称中心的直线将这个图形分成面积相等的两部分； (2)由两个中心对称图形组合成的图形，连接两个对称中心的直线可以平分 组合图形的面积. 类型1　等分面积问题(8年2考) 例1　如图，在△ABC中，∠BAC是钝角.请用尺规作图法，求作线段AP， 使AP平分△ABC的面积，点P在边BC上.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如解图，线段AP即为所求. 例2　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为边AC 上一点且AD＝2，过点D作线段DE交△ABC的一边于点E，使得△ABC 被DE分成面积相等的两部分，求DE的长. 解：如图，连接BD，取AC的中点F，作FE∥BD交BC于点E，DE即 为所求.连接BF，DE交于点O. ∵AF＝FC，∴S△AFB＝S△BFC. ∵BD∥EF， ∴S△BDE＝S△BDF，∴S△DFO＝S△BOE，∴S△ECD＝S四边形ABED， ∴DE平分△ABC的面积.∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4， ∴DF＝2.∵EF∥BD，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴CE＝4， ∴DE＝ ＝ ＝2 . 例3　如图，刘老伯有一块筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中， O(0，0)，A(4，0)，B(0，4)，C(6，6).若在边AC上存在一点P，过B， P两点修一面笔直的墙(墙的宽度不计)，这面墙将养鸡场分成面积相等的 两部分，求直线BP的表达式. 解：如图，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，连接 BF，交OA于点G. ∵OF∥AB，∴S△BOF＝S△AOF，∴S△OBG＋S△OGF＝S△AFG＋S△OGF， ∴S△OBG＝S△AFG，∴S四边形OACB＝S△BCF. 取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求. ∵A(4，0)，B(0，4)，C(6，6)， ∴线段AB所在直线的表达式为y＝－x＋4， 线段AC所在直线的表达式为y＝3x－12， ∴直线OF的表达式为y＝－x，联立 解得 ∴F(3，－3). ∵点P是CF的中点，∴P(， ). 设直线BP的表达式为y＝mx＋4， ∴ ＝ m＋4，∴m＝－ ，∴直线BP的表达式为y＝－ x＋4. 例4　(2020陕西14题3分)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， 点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并 与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 ⁠. 2 　 【解析】如解图，过点A和点E分别作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和点H，∴四边形AGHE为矩形，∴EH＝AG，GH＝AE＝2.在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝EH＝3 ，∴HC＝BC－BG－GH＝6－3－2＝1.∵EF平分菱形的面积，∴EF经过菱形对角线的交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC－HC＝2－1＝1.在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝ ＝2 . 例5　如图，在一块平行四边形空地中有一个矩形乒乓球场，现在物业公 司要对除乒乓球场之外的不规则空地进行绿化，要求以一条直线为分界线 把这块不规则空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来铺草 坪，请画出面积的等分线l.(作图并保留痕迹，不写作法) 解：所求的面积等分线l如解图. 方法解读 在遇到不能直接求出面积的不规则图形时，可以结合已知条件，利用割补 的方法将不规则图形的面积巧妙地转化为几个规则图形的面积的和或差进 行计算. 类型2　利用割补法求不规则图形的面积(8年3考) 例6　如图，在一块直角三角形绿地ABC上开辟一块四边形花圃CDFE， AC＝CB＝10米，四边形花圃CDFE的最长边CD＝8米，且CE⊥AB， DF⊥CB，则△BDF的面积是 平方米，四边形花圃CDFE的面积 是 平方米. 2　 23　 【解析】∵AC＝BC＝10米，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°， ∴AE＝AC· cos 45°＝5 (米).∵CD＝8米，DF⊥BC，∴BD＝ DF＝2米，∴△BDF的面积为 ×2×2＝2(平方米).∵CE⊥AB，∠A＝ 45°，∴EC＝AE＝5 米，∴△ACE的面积为 ×5 ×5 ＝25(平 方米)，∴四边形花圃CDFE的面积为 ×10×10－25－2＝23(平方米). 例7　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8厘米，BC＝6厘米.分别 以AC，BC为边作正方形AEDC，BCFG，连接DF，EF，EB，BF，则 △BEF的面积是 平方厘米，六边形AEDFGB的面积是 ⁠平方 厘米. 66　 148　 【解析】易知△DCF≌△ACB(SAS)，∴DF＝AB，∠CDF＝∠CAB. ∵四边形AEDC为正方形，∴DE＝AE，∠EDC＝∠EAC，∴∠EDF＝ ∠EAB. 在△EDF和△EAB中， ∴△EDF≌△EAB， ∴EF＝EB. ∵AC＝8厘米，BC＝6厘米，∴正方形AEDC的对角线长 为 ＝8 (厘米)，正方形BCFG的对角线长为 ＝ 6 (厘米)，∴△BEF中BF边上的高为8 ＋ ＝11 (厘米)， BF＝6 厘米，∴△BEF的面积为 ×6 ×11 ＝ 66(平方厘米)，六边形AEDFGB的面积为82＋62＋ × 6×8＋ ×6×8＝148(平方厘米). 方法解读 (1)对于规则的几何图形(如三角形、平行四边形等)，可依据几何图形的面 积公式直接建立函数关系式； (2)对于不规则的几何图形，则要用割补法，将不规则的几何图形转化成规 则的几何图形，通过几何图形的面积和(或面积差)建立函数关系式.要注意 确定自变量的取值范围，保证自变量和函数满足实际意义. 类型3　利用二次函数的性质解决面积最值问题(8年2考) 例8　(人教九上P52T6改编)一块三角形材料如图所示，∠A＝30°， ∠C＝90°，AB＝20，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上.设AE＝x. (1) 求AF的长(用含x 的代数式表示)； 解：∵四边形CDEF为矩形， ∴∠EFA＝90°.在Rt△EFA中，∠A＝30°， AE＝x，∴AF＝AE· cos 30°＝ x. (2) 要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？ 解：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，AB＝20， ∴AC＝AB· cos 30°＝10 ，∴CF＝AC－AF＝10 － x. ∵EF＝AE· sin 30°＝ AE＝ x. ∴S矩形CDEF＝EF·CF＝ x·(10 － x)＝－ (x－10)2＋25 .　 ∵－ ＜0，∴当x＝10时，矩形CDEF的面积最大， 即要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应为AB的中点. 变式如图，在△ABC中，BC＝10，S△ABC＝50，矩形DEFG的顶点D，E 分别在边AB，AC上，顶点F，G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何 值时，矩形DEFG的面积最大？ 解：如解图，过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点M. ∵四边形DEFG为矩形，∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ . ∵△ABC的面积为 BC·AN＝50，BC＝10， ∴AN＝10. ∵DG＝x，∴MN＝x，AM＝10－x， ∴ ＝ ，∴DE＝10－x， ∴矩形DEFG的面积为DE·DG＝(10－x)·x＝－(x－5)2＋25. ∵－1＜0，∴当x＝5时，矩形DEFG的面积最大. 巩固练习 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至点E，使AE＝ AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心.若过点 O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF，BC于点M，N，则 线段MN的长为 ⁠. 4 　 【解析】如解图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，且交AD于点S，取AE的中点P，取AB的中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于点T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC. 又∵Q是AB的中点，∴QH＝ BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可得PO＝ AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝HN，∠OPQ＝∠PQH＝90°.∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩 形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝ ＝ ＝2 ，∴MN＝2OH＝4 . 2. 如图，在一块五边形余料ABCDE中，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝ ∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°.若在这块余料上截取一块矩形材 料AMFN(点F在CD 上)，其中一条边在AE上.设AM＝x，矩形AMFN的 面积为y，则y关于x的函数表达式为 ，当 AM＝ 时，矩形AMFN的面积最大，最大面积为 ⁠. y＝－x2＋11x　 5.5　 30.25　 3. 问题探究 在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图 形的周长，我们称这条直线为这个图形的“好线”. (1)如图1，四边形ABCD是平行四边形，请画出这个平行四边形的一条 “好线”； 解：如解图1，连接AC，BD交于点O，作过点O的任意直线l即为所求作. 解图1 图1 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分AD，垂 足为F，交BC于点E. 已知AB＝3，BC＝8，CD＝5，求证：直线EF为 四边形ABCD的“好线”. 图2 备用图 证明：如解图2，连接AE，DE，设BE＝x，则EC＝8－x， ∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，∴S△AEF＝S△DEF， ∵∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝8，CD＝5，在Rt△ABE和Rt△ECD中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2＝DE2＝EC2＋CD2， ∴32＋x2＝(8－x)2＋52，解得x＝5，∴BE＝5，CE＝3， ∴AB＋BE＝CE＋DC， ∴AF＋AB＋BE＝DF＋EC＋DC， 即直线EF平分四边形ABCD的周长. 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD(SAS)，∴S△ABE＝S△ECD，∵S四边形ABEF＝S△ABE＋S△AEF，S四边形DCEF＝S△DEF＋S△DCE， ∴S四边形ABEF＝S四边形DCEF，即直线EF平分四边形ABCD的面积， ∴直线EF为四边形ABCD的“好线”. (3)西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去 处，在某地的街心花园中有一块如图3所示的五边形空地ABCDE，其中 ∠A＝∠B＝∠C＝90°，AE＝3，AB＝7，BC＝6，CD＝3.现要在这 块空地上修建一条笔直的水渠(渠宽不计)，使这条水渠所在的直线既平分 五边形ABCDE的周长，又平分五边形ABCDE的面积，且要求这条水渠必 须经过BC边上一点N，则BN的长度为 ⁠. 6　 问题解决 图3 备用图 【解法提示】如解图1，延长AE，CD相交于点F，∵∠A＝∠B＝ ∠C＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∴∠F＝90°，AF＝BC＝6， CF＝AB＝7，∴EF＝3，DF＝4，∴DE＝5，∴五边形ABCDE的周长为AE＋AB＋BC＋CD＋DE＝24，五边形ABCDE的面积为S矩形ABCF－S△DFE＝6×7－ ×3×4＝36，∴五边形ABCDE的周长的一半为12，面积的一半为18.设BN＝x，当过点N的直线与AB相交于点M时，如解图2，则BM＝12－x，∴S△BMN＝ BN·BM＝ x·(12－x)＝18，解得x＝6，∴BN＝6. 33 $