2026年中考数学二轮复习专题：圆的证明与计算 课件

第06讲 圆的证明与计算 【中考二轮复习专题】 01 考情分析 02 知识结构 03 典例精讲 目录 图片替换区 圆的证明与计算是中考数学的重要组成部分，其题目类型多样，综合性强，对学生的逻辑思维和空间想象能力提出了较高要求．圆的证明与计算题型在中考中多以解答题形式出现，通常分为两问．第一问侧重于几何证明，常涉及切线的判定、圆心角与圆周角的关系等；第二问则注重计算，包括线段长度、面积求解以及角度的三角函数值等． 切线的判定与性质是中考的常见考点，学生要掌握圆周角定理及其推论，能够理解和运用圆心角与圆周角的关系来求解角度和线段长度．需掌握并利用垂径定理，同时结合勾股定理来进行计算求解圆内线段长度．在涉及圆的计算题中，图形的相似和解直角三角形知识经常被综合运用． 考察方式 圆的相关计算问题 圆的相关证明问题 考情分析 圆的计算与证明 圆的基本性质 位置关系 切线 点与圆 性质 直线与圆 判定 计算 性质 相交、相切、相离 点在圆外、圆上、圆内 圆的切线垂直于过切点的半径 垂径定理及推论 扇形弧长公式 高与底面半径的关系 弧、弦、圆心角的关系 对称性 只有一个公共点 圆心到直线距离等于半径 经过半径外端且垂直于半径 圆周角定理及推论 圆内接四边形性质 扇形面积公式 圆锥全面积公式 圆锥侧面积公式 圆与圆 外离、内含、外切、内切、相交 三角形内切圆与外接圆 知识结构 考点一 圆的相关计算问题-利用圆的相关性质求角度 例1 如图，在中，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点，点B是的中点，则 ______． 解：如图，连接DC，∵∴DC是直径， ∵点B是的中点，∴BD=BC，∴ ， 在中， ∴ ∴ ∴ 典例精讲 例2 在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，_____，______；若，，则半径长为______； 考点一 圆的相关计算问题-利用圆的相关性质求线段 1 解：（1）连接，设半径为， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，，四边形为矩形， 又因为，四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得，∴， 即，解得=1 典例精讲 例2 在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F． (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．求证：是的切线． 考点一 圆的相关计算问题-利用圆的相关性质求线段 解：（2）证明：连接，，， 作于点，设半径为， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，∴， 同理， ∴，∴， ∵，∴是的切线 典例精讲 例3 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 考点一 圆的相关计算问题-利用弧长与扇形面积求解 解： 曲边三角形的周长为，为等边三角形， 曲边三角形的面积为： 典例精讲 例4 如图，在，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N.已知AB+AC=16, 长为则图中阴影部分的面积为 ． 考点一 圆的相关计算问题-利用弧长与扇形面积求解 解：如图，连接OM、ON， 半圆分别与AB，AC相切于点M，N, ∴ OM⊥AB，ON⊥AC, ∵ ∠BAC=120°，∴ ∠MON=60°，∴ ∠MOB+∠NOC=120°， ∵∴ 连接OA，在，∠AON=30°，ON=3∴，∴， ∴ ，∴ E F 典例精讲 例5 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：；(2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 考点一 圆的相关计算问题-求不规则图形面积 3 1 2 解：（1）证明：如图1，连接 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即．∴． ∵，∴． ∵，∴． ∴．∴． 典例精讲 例5 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：；(2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 考点一 圆的相关计算问题-求不规则图形面积 3 1 2 解：（2）解：如图，连接 ∵垂直平分，∴． 又∵，∴为等边三角形． ∴，． ∵，∴． ∵，∴． 又∵，∴． ∵，∴为等边三角形． ∴，． ∴．∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴ 典例精讲 例6 如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 考点一 圆的相关计算问题-与圆有关的最值问题 解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点，∴， ∵沿翻折得，∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动， 如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小，过C作于N， ∵，∴， 在中，，，∴，∴， ∴面积的最小值： 典例精讲 考点一圆的相关计算问题 1. 遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线 ❶作同弧所对的两个圆周角； ❷作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角； ❸连接多个半径，构造等腰三角形. 2. 圆中出现直径，我们可以构造直径所对的圆周角，直径所对的圆周角等于90°，由此可利用在直角三角形中两锐角互余计算角的度数，利用勾股定理计算边的长度，也可结合其他几何知识进行相关的推理证明. 3. 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 4. 运用切线的性质进行计算时，常见辅助线的作法是连接圆心和切点，根据切线的性质构造出直角三角形，一方面可以求相关角的大小，另一方面可以利用勾股定理求线段的长度. 典例精讲 考点一圆的相关计算问题 5. 涉及弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算问题的解题方法： ❶熟练使用公式求弧长，同时要学会灵活应变，当题目中的一些数据没有直接给出时，要综合其他所给条件求得. ❷当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S扇形= ；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式 S扇形=lR ❸圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，在学习中要结合实际物体观察和比较，分清要计算的量是哪个. 典例精讲 例7 如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线；(2)若，，求的长． 考点二 圆的相关证明问题-切线的性质与判定综合 ∟ M 解：（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点，为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径，， 又， ，即为的半径， 是的切线 典例精讲 考点二 圆的相关证明问题-切线的性质与判定综合 ∟ M 解：(2)过点作于点，点为的圆心， ，在和中， ，， ，，， ，是的中点，， 又，，，， 在和中，，， 在中，，，， ，， 又，为等边三角形，， ，． N ∟ 例7 (2)若，，求的长． 典例精讲 例8 如图，在中，与于点，与另一个交点为，垂足为N． (1)求证：是的切线；(2)若，求长． 考点二 圆的相关证明问题-切线的性质与判定综合 解：（1）证明：连接，， 在 ，， 为的半径， 是的切线 （2）连接DM，CE，为的直径， ，， 由（1）知：BD=CD=5， M为BC的中点， 在 BC=2BM=8， 在 典例精讲 例9 如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质求证线段平行/垂直 解： (1)∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB= ， ∵∠BOC=2∠BCE，∴∠OBC= (180°2∠BCE)=90°∠BCE， 即∠OBC+∠BCE=90°，∴∠OEC=90°，∴ ， ∴ 解得OC=3，即O的半径为3 典例精讲 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质求证线段平行/垂直 F ∟ 例9 如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 解：(2)证明：法一：过O作于F，∴BF= BD， ∵BD=2OE，∴OE=BF， 又∵ OC=OB，∠OEC=∠BFO=90°，∴Rt△CEO≌Rt△OFB(HL )， ∴∠COE=∠OBF，∴BD∥ OC； 法二：连接，∵是直径，∴∠ADB=90°， ∴， ∴，∴△CEO∽△ADB，∴∠COE=∠ABD，∴BD∥ OC． 典例精讲 例10 如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质判定特殊的平行四边形 解：（1）∵为的直径，∴, ∵，， ∴ （2）证明：∵为的直径，∴． ∵，∴，∴．∴， ∵，∴， ∴，∴四边形是平行四边形． 典例精讲 例10 如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质判定特殊的平行四边形 解：（3）如图，连接． ∵在中，， ∴，∴， ∵是的切线，∴，∴ 又∵， ∴∴∴， 在中，， ∴在中， 典例精讲 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质判定特殊的平行四边形 ∟ F 例10 如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． （4）求长度的取值范围． 解： （4）如图，过点A作，使， 连接．则， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 即，∴， ∴，∴ ∵，∴， ∴． 典例精讲 例11 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质求线段比值或证明比例关系 解：(1)连接，∵OA=OD，∴∠2=∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OD∥AC，∴∠ODF=∠AED ∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODF=90°，即OD⊥EF， ∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线 典例精讲 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质求线段比值或证明比例关系 例11 如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 解：(2)连接，∵， ∴在中，， 由勾股定理得：∴， ∵在中，，∴， ∵，∴， 而，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵∴， ∵，∴， ∴． 典例精讲 例12 如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，．①求的半径；②求图中阴影部分的面积． 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系 D ∟ 解：（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①∵，∴ 连接，过点作，交于点D， ∴，，∴ 在中，，即， ∴，所以的半径是2； 典例精讲 例12 如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (2)若，．①求的半径；②求图中阴影部分的面积． 考点二 圆的相关证明问题-利用圆的性质求证角度相等或存在2倍关系 D ∟ 解：②∵， ∴是等边三角形，∴ ∵， ∴垂直平分，垂直平分，∴点三点共线， 在中，， 在中， 在中，上标点， 在中，． 典例精讲 例13 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； 考点二 圆的相关证明问题-正多边形与圆 解： （1）证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角 ， 为的切线，， ∴ 平分. 典例精讲 例13 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (2)求证：； 考点二 圆的相关证明问题-正多边形与圆 解： （2）∵，∴ . 在四边形中，. 为直径，， . ，. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点，，. 在和中， . 典例精讲 例13 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (3)若，，求的值． 考点二 圆的相关证明问题-正多边形与圆 H ∟ 解： （3）连接，， 由（2）中，得，. 又，即，， 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H.由题意得， ∴为等腰直角三角形，. 在中，， . 典例精讲 考点二 圆的相关证明问题-正多边形与圆 例14 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若则值是（ ） A.B. C. D. 解： 过点C，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE， ，AB∥CD，∴ ∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，为的切线， ⊥BC，AB=BE， ∵∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，则， ， ∵∴ ， 解得：x= 或x= （不合题意，舍去），∴ ∴∴，故选B ∟ F 典例精讲 考点二 圆的相关证明问题 判定直线与圆的切线的解题方法： ❶给出了直线与圆的公共点和经过公共点的半径时，可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”. ❷给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径时，可连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明,口诀是“连半径,证垂直”. ❸当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直,证相等”. 典例精讲 $