2026年中考数学二轮复习专题：四边形的证明与计算 课件

第05讲 四边形的证明与计算 【中考二轮复习专题】 01 考情分析 02 知识结构 03 典例精讲 目录 图片替换区 四边形作为中考数学的重要知识点，其证明与计算题目在历年考试中占据显著地位。四边形相关题目在中考数学中占比相对稳定，通常在15%至25%之间。题型多样，包括选择题、填空题、证明题和综合解答题。 矩形、菱形、正方形的性质和判定一直是中考的热点，选择题和填空题中常出现利用这些性质求角度、长度的问题。近年来，中考数学越来越注重考查学生的综合能力，四边形相关的综合题在考试中的比重逐渐增加。中考数学命题趋势逐渐向实际应用和创新能力倾斜，四边形问题可能结合实际情境，考查学生解决实际问题的能力，同时也会涉及一些新概念题型，考查学生的创新思维和应变能力。 考察方式 四边形的计算问题 四边形的证明问题 考情分析 3 四边形的计算与证明 四边形 菱形 正方形 平行四边形 等腰梯形 矩形 梯形 一组对边平行且相等 直角梯形 四条边都相等 三个角都是直角的四边形 一组对边平行 另一组不平行 一组邻边相等 对角线相等 一个角是直角 对角线相互垂直 两腰相等 一个角是直角 知识结构 考点一 四边形的计算问题-与多边形有关的角度计算 例1 如图1，2，3中，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P． (1)求图1中的度数； 解：(1)△ABC是等边三角形， ，， ，△ABE≌△BCD(SAS)， ， ， 典例精讲 考点一 四边形的计算问题-与多边形有关的角度计算 例1 如图1，2，3中，点E，D分别是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN中以点C为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P． (2)图2中，的度数为_____，图3中，的度数为_____；     (3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况.若能，写出推广的问题和结论若不能，请说明理由． 解：(2)与(1)同理，可得图2中，图3中， (3)能. 点E，D分别是正n边形ABCM…中以C为顶点的相邻两边上的点，且，BE交AE于点P，则的度数为. 典例精讲 例2 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） C A． 　　　B． C． D． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵AE⊥BC的垂线交BC于点E，∴∠AEB=∠DFC=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF， ∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AE=DF,BE=CF=x， 由勾股定理可得，A， ， ∴ ∴即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是 考点一 四边形的计算问题-利用平行四边形的性质求解 典例精讲 例3 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为______. 解：如图，过作于点，于点， ∴∠CMF=∠CNF=90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCM=∠ABC=90°，AB=CD=2， ∴四边形CMFN是矩形， ∵CF平分∠BCD，∴FM=FN，∠DCF=∠BCF=45°， ∴四边形CMFN是正方形，由折叠性质可知：AB=BF=2，∠ABE=∠FBE=30°， ∴MF=1，∴CN=NF=MF=CM=1，DN=CD-CN=1， 在"Rt"△DNF中，由勾股定理得 ∟ ∟ 考点一 四边形的计算问题-利用矩形的性质求解 典例精讲 例4 如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F. (1)求证：OE=CB；(2)如果OC:OB=1:2，OE=，求菱形ABCD的面积. 解：(1)证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴ 四边形OBEC为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90° ∴四边形OBEC为矩形，∴OE=CB. (2)设OC=x，则OB=2x， ∴BC=， ∵BC=，∴x=2， ∴OC=2，OB=4， ∴. 考点一 四边形的计算问题-利用菱形的性质求解 典例精讲 解：如图，连接、交于点，过点作于点，过点作于点，四边形是正方形，互相平分，，， ，，． ，，． ，． 点、的横坐标分别为、，，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，，，．． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧，．． 例5 如图，正方形的顶点在抛物线上，点轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） 考点一 四边形的计算问题-利用正方形的性质求解 B A． B． C． D． 典例精讲 解：（1）连接，由题意得，， ∵MN⊥EF，∴CC'∥FE，∴∠1=∠2， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=90°， ∴∠3+∠4=∠3+∠2=90°，∠1+∠BEF=90°， ∴∠2=∠4，∠1=90°-α，∴∠4=90°-α ∴∠C' NM=90°-α. 例6 如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； 考点一四边形的计算问题-与特殊的平行四边形有关的折叠问题 90°-α 典例精讲 解：（2）记与交于点K，如图： ∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，HE=FE，∠HEF=90°，∴∠5+∠6=∠7+∠6=90°，∴∠5=∠7，∴△AEH≌△BFE，同理可证：△AEH≌△BFE≌△DHG≌△CGF，∴AE=CG=DH=4，DG=BE=8， 在Rt△HDG中，由勾股定理得， 由题意得：∠NC' B'=∠NCB=90°，∠8=∠9，∠D=∠GD' H=90°，NC=NC'，GD=GD'=8，∴NC'∥GD'， ∴∠NKG=∠9，∴∠8=∠NKG，∴NG=NK，∴NC-NG=NC'-NK，即KC'=GC=4， ∵NC'∥GD'，∴△HC' K∽△HD' G，∴，∴，∴HK=KG， 由题意得MN⊥HG，而NG=NK，∴PK=PG，∴ 例6 如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 考点一四边形的计算问题-与特殊的平行四边形有关的折叠问题 典例精讲 解：由题知，第1个正方形的边长AB=1， 根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC=， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF=()2， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF=()3， 根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN=()4， 根据勾股定理得，第6个正方形的边长=()5． 例7 如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　）； A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6 C 考点一四边形的计算问题-与特殊的平行四边形有关的规律探究问题 典例精讲 解：当时，如图∵矩形ABCD，∴点O是BD的中点， ∵点P是DE的中点，∴BE=2OP=6，CP=PE=PD， ∵点E是BC边的三等分点，∴CE=2BE=12，BC=3BE=18， ∵矩形ABCD的面积是90，∴BC×CD=90，∴CD=5， ∴，∴PC+PE=DE=13； 当时，如图，∵矩形ABCD，∴点O是BD的中点， ∵点P是DE的中点，∴BE=2OP=6，CP=PE=PD， ∵点E是BC边的三等分点，∴，BC=3+6=9， ∵矩形ABCD的面积是90，∴BC×CD=90，∴CD=10， ∴，∴ 例8 矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP=3，连接CP，则PC+PE的值为 ___ ． 考点一四边形的计算问题- 利用分类讨论思想解决特殊平行四边形计算问题 13或 典例精讲 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 考点一四边形的计算问题 心 核 讲 精 典例精讲 例9 如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上． (1)求证：四边形AECF是平行四边形； 考点二 四边形的证明问题-利用平行四边形的性质与判定求解 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC， ∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， ∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF= ∠BCD， ∴∠DAE=∠BCF， ∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∴∠DAE=∠DFC，∴AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形； 典例精讲 考点二 四边形的证明问题-利用平行四边形的性质与判定求解 解：（2）由（1）得，， ∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，∴，∴， 作于点，在中，，， ∴， ∴． ∟ 例9 如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC，AD上． (2)若∠ADC =60°，DF =2AF =2，求△GDF的面积． 典例精讲 例10 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，重足为点E，过点E作EF∥ BC、交AC于点F，G为BC的中点，连接FG． 求证：FG =AB． 解：如图，延长AE交BC于H ∵平分，， ∴，， ∵，，， ∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴是的中点， 又∵是的中点，∴是的中位线，∴ 考点二 四边形的证明问题-与三角形中位线有关的证明 典例精讲 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD. ∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD， ∴∠BAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACD， ∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（ASA）. 解： 考点二 四边形的证明问题-利用矩形的性质与判定求解 例11 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程. 典例精讲 解： 考点二 四边形的证明问题-利用矩形的性质与判定求解 （2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形. 证明如下：由（1）可知∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF. 由（1）知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形. 例11 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程. 典例精讲 解： （1）证明：∵D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，AC＝2DE. ∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE. （2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形.理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE， ∴△AEC是等边三角形， ∴AC＝CE.由（1）知四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形. 考点二 四边形的证明问题-利用菱形的性质与判定求解 例12 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF. （1）证明：AF＝CE； （2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由. 典例精讲 例13 已知正方形，是对角线上一点． (1)如图1，连接，．求证：； 解：（1）证明： ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ∴． 考点二 四边形的证明问题-利用正方形的性质与判定求解 典例精讲 解： （2）是等腰三角形，理由如下： ∵，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴是等腰三角形． 考点二 四边形的证明问题-利用正方形的性质与判定求解 例13 已知正方形，是对角线上一点． (2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由； 典例精讲 考点二 四边形的证明问题-利用正方形的性质与判定求解 解： （3）∵，，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形． ∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 例13 已知正方形，是对角线上一点． (3)在第（2）题的条件下，．求的值． 典例精讲 例14 【问题情境】如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】（1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】（2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】（3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 考点二 四边形的证明问题-利用正方形的性质与判定求解 典例精讲 例14 【问题情境】如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】（1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 考点二 四边形的证明问题-利用正方形的性质与判定求解 解：（1）四边形是正方形 ， 理由： ∵四边形是矩形， ∴ ，又∵， ，， ∴ ，∴ ， ∴ 即， 又∵， ，∴ ， ∴ ，∴矩形是正方形． 典例精讲 例14 【问题情境】如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【深入探究】（2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系， 并证明； 考点二 四边形的证明问题-利用正方形的性质与判定求解 解：（2）， 理由： ， ， ， ∴四边形是矩形， 由（1）得 ， ∴ ，，∴四边形是正方形 ， ∴，∴； 典例精讲 解：（3），理由如下： 过点B作于点P ，在上截取，连接， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形为正方形， ∴，，， 同理可得：，∴，∴， 又∵，∴， 又∵，，∴，∴， 又∵，∴ ． 例14 【问题情境】如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【拓展迁移】（3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 考点二 四边形的证明问题-利用正方形的性质与判定求解 典例精讲 例15 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论： ①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵，则，， ∴，∴，故①不正确； 在正方形中，， ，， ，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； 考点二 四边形的证明问题-与特殊平行四边形有关的多结论问题 典例精讲 例15 如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论： ①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵，∴， ∵，∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴，∴， 则， ∴，∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴，∴，则， 又∵，∴，故④正确； 考点二 四边形的证明问题-与特殊平行四边形有关的多结论问题 B 典例精讲 四边形 边 角 对角线 平行四边形 (1)两组对边分别平行 (2)两组对边分别相等 (3)一组对边平行且相等 两组对角分别相等 两组对角线互相平分 矩形 (1)平行四边形+一直角 (2)四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 (1)平行四边形+一组邻边相等 (2)四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 矩形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 考点二 四边形的证明问题 心 核 讲 精 典例精讲 31 $