12.4 复数的三角形式 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第十二章 复数 12.4.1 复数的三角形式 回顾：复数的几何意义是什么？ a b Z:a + bi 复数 z = a + bi 一一对应 一一对应 一一对应 复平面内的点 Z (a，b) 平面向量 问题1：向量可以由它的大小和方向唯一确定，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？ a b Z：a + bi r 方向： 以 x 轴的非负半轴为始边，以向量 所在射线 OZ 为终边的角 θ 来刻画 的方向. 大小：向量的大小可以用模来刻画 θ ，其中 所以 则 如图，角 θ 称为复数 z = a + bi 的辐角， 思考：当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？ 复数 z = a + bi 代数形式 复数 z = r (cos θ + isin θ) 辐角 复数的模 三角形式 a b Z：a + bi r θ 复数的三角形式 练一练：观察复数 是三角形式吗？说明理由. 复数的三角形式条件 z = r (cosθ + isinθ)： ① r ≥ 0；② θ 前后一致；③ cos θ 在前，sin θ 在后；④ cos θ 与 isin θ之间用“+”连接. 复数 ，不符合条件 ①，所以不是复数的三角形式. 问题2：一个复数的辐角的值可以有多少个？ 规定：0 ≤ θ < 2π 的辐角值为辐角的主值，记作 arg z，即 0 ≤ arg z < 2π. ① 每个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定； ② 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 问题3：任一非零复数的辐角适合于 0 ≤ θ < 2π 的有几个？ 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍；复数 0 的辐角也是任意的. 例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. θ 于是 因为与 对应的点在第一象限， 所以 解：（1）复数 对应的向量如图所示， 则 （2）复数 1 - i 对应的向量如图所示， 于是 因为与 1 - i 对应的点在第四象限， 所以 则 θ 注意：把一个复数表示成三角形式时，辐角 θ 不一定取主值. 例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. 把复数 z = a + bi 的代数形式转化成三角形式的基本步骤： （1）求复数的模 r： （2）求复数的辐角的主值 θ： （3）写出复数的三角形式： 例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式. 所以 解：（1）复数 的模 r = 1，一个辐角 θ = π，对应的向量如图所示. 所以 （2）复数 的模 r = 6，一个辐角 对应的向量如图所示. 问题 4：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 两个复数相等 两个复数对应的向量相等 两个向量的长度相等且方向相同 两个复数的模相等且辐角主值相等 知识框图： 互化 复数的三角表达式 三角形式 代数形式 辐角的主值 表示形式 回顾：复数代数形式乘、除法运算的法则是什么？ (a + bi) (c + di )=(ac - bd) + (bc + ad) i 问题 1：如果把复数 z1，z2 分别写成三角形式：z1 = r1(cos θ1 + isin θ1)，z2 = r2(cos θ2 + isin θ2)，如何计算 z1z2 并将结果分别表示成三角形式？ 即 语言表述：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.（模相乘，辐角相加） 问题 2：由复数乘法运算的三角形式，能得到怎样的几何意义？ 把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2， 再把它的模变为原来的 r2 倍，得到向量 表示的复数就是积 z1z2． 若 θ2 < 0，要把 绕点 O 按顺时针方向旋转角 |θ2|； 两个复数 z1，z2 相乘时，作出与复数 z1，z2 对应的向量 问题 3：如何解释 i2 = - 1 和 (-1)2 =1 的几何意义？ i2 = - 1可以改写为 几何意义：将 i 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 ，得到 -1 对应的向量； (-1)2 = 1可以改写为 几何意义：将 -1 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 π，得到 1 对应的向量. 例1：已知 求 z1z2，把结果化为代数形式，并做出几何解释. 解： 作出与复数 z1，z2 对应的向量 把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 ，长度伸长为原来的 2 倍， 这样得到一个长度为 3，辐角为 的向量 即为 z1z2 = 3i 所对应的向量. 例2：如图，向量 对应的复数为1 + i，把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 120°，得到 求向量 对应的复数（代数形式表示）． 解：向量 对应的复数为 向量的旋转问题或模长伸缩问题可以转化为复数的乘法运算问题 问题4：复数除法运算是乘法运算的逆运算. 根据复数乘法运算的三角形式，如何推导出复数除法运算的三角形式？ 设 且 z1 ≠ z2. 所以根据复数除法的定义，有 因为 语言描述：两个复数相除，商的模等于被除数模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.（模数相除，辐角相减） 问题 5：类比复数乘法的几何意义，如何理解复数除法的几何意义？ 把向量 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2 (θ2 > 0)， 两个复数 z1，z2 相除时， 表示的复数就是商 作出与复数 z1，z2 对应的向量 再把它的模变为原来的 ，得到向量 解：原式 = 例3：计算 并把结果化为代数形式． 知识框图： 复数乘、除运算的三角形式及其几何意义 复数除法运算的三角形式及其几何意义 复数乘法运算的三角形式及其几何意义 $