13.2.4 平面与平面的位置关系课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第十三章 立体几何初步 13.2.4 平面与平面的位置关系 情境：观察教室前后墙面、左右墙面、天花板及地面这六个面中两两之间的位置关系，说说平面与平面之间存在哪几种位置关系？ 两个平面间的位置关系 问题 1：生活中，工人师傅将水平尺在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的. 这是为什么呢？试着用数学原理去解释该现象. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 符号表示： 关键：在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面. 作用：证明面面平行. α a b P β 例1：已知：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1. 求证：平面 AB1D1//平面BC1D. 证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体 ∴ 四边形D1C1BA为平行四边形，∴D1A∥C1B． 又 D1A ⊄平面BC1D，C1B ⊂平面BC1D， 同理 D1B1∥平面BC1D． 又 D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1//平面BC1D． 　 ∴D1A∥平面BC1D． 练一练1：如图，点 P 在 SA 上，从点 P 处将三棱锥形木块 S-ABC 锯开，使得截面与底面 ABC 平行，怎么在侧面上画线？ 解：如图，过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E； 再过点P在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F， 连接EF，截面PEF就是所求. 下面证明平面PEF∥平面ABC. 由于PE∥AB，AB⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，故PE∥平面ABC. 同理可证PF∥平面ABC. 又PE⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，PE∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC. E F 问题2：如果两个平面平行，两个平面内的直线有哪些位置关系？ 平行 异面 a b β α a b β α 两个平面内的直线或是异面直线，或是平行直线 a 问题3：分别位于两个平面内的两条直线什么时候平行？ 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共交点； 平行直线：在同一个平面内，没有公共交点 β α b 两个平行平面内的两条直线都经过同一平面时平行 两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行 a 练一练2：平面 α∥β，平面 γ 分别与平面 α，β 相交于直线 a，b，试证明：a∥b. ∴a∥b. ∴a⊂α，b⊂β， 证明：∵α∩γ＝a，β∩γ＝b， 又α∥β， ∴a与b无公共点， β α γ b a 又 a 与 b 在同一平面 γ 内， 平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号表示： 作用：由面面平行得出线线平行. β α λ b a 例 2：证明：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 已知：α∥β，l⊥α（如图）. 求证：l⊥β . 证明：设 l ∩ α = A，在平面 β 内任取一条直线 b . 因为点 A 不在 β 内，所以点 A 与直线 b 可确定平面 γ． 设 γ ∩ α = a . 因为直线 b 是平面 β 内的任意一条直线，所以 l⊥β． 练一练 3：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 已知 α∥β，AB∥CD，且 A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB = CD． 证明：过平行线 AB，CD 作平面 γ，与平面 α 和 β 分别相交于 AC 和 BD． ∵α∥β，∴BD∥AC． 又 AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． ∴ AB＝CD． A B C D α β γ 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线， 它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段． 如图，α∥β，如果 AA′，BB′ 都是 α，β 的公垂 线段，那么 AA′∥BB′. 根据两个平面平行的性质定理，有 A′B′∥AB， 所以四边形 ABB′A′ 是平行四边形，故 AA′ = BB′. 由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等. 我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示： 面面平行 判定 定义 线线平行 线面平行 判定 性质 性质 知识框图： 平面与平面平行 性质定理 自然语言 图形语言 作用 符号语言 判定定理 自然语言 图形语言 作用 符号语言 情境：观察笔记本电脑的开合过程，若将电脑的屏幕和操作区域视为两个平面，该如何刻画开合过程中这两个平面所形成的“角”呢？ 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”. 二面角 一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面. 如图，棱为 AB、面为 α，β 的二面角，记作：二面角 α - AB - β，或 M - AB - N . 思考：笔记本电脑打开时，可以直观观察到两个面板构成的二面角在逐渐变大. 那么我们该如何刻画这个二面角的大小呢？ 随着张口的增大，∠MAN 在逐渐增大. 当二面角 α - AB - β 确定时，∠MAN 也随之确定，故可用∠MAN 度量二面角α - AB - β . 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. 如图，OA⊥l，OB⊥l，故∠AOB 就是二面角 α - l - β 的平面角. 问题 1：二面角 α - l - β 的平面角∠AOB 的大小与点 O 的位置有关系吗？ 无关； 二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，这个二面角就是多少度； 约定：二面角 α 的大小范围是 0°≤ α ≤ 180°； 平面角是直角的二面角叫作直二面角. 思考：除了几何理论外，二面角的平面角在实际生活中有着怎样的应用呢？ 二面角的平面角在实际生活中的应用 “东方红1号”轨道平面的倾斜角是 68.5°，就是说卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是 68.5°. 木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，实际上就是测量这两个面所成二面角的平面角. 例1：如图，在正方体 ABCD - A´B´C´D´中： （1）求二面角 D´- AB - D；（2）求二面角 A´- AB - D . 解：（1）在正方体 ABCD - A´B´C´D´中，AB⊥平面 AD′， 所以 AB⊥AD′，AB⊥AD. 因此，∠D′AD 为二面角 D′ - AB - D 的平面角； 在 Rt△D′AD 中，∠D′AD = 45°，所以二面角 D′ - AB - D 的大小为 45°. （2）同理，∠A´AD为二面角 A´- AB - D 的平面角. 因为∠A´AD = 90°，所以二面角 A´- AB - D 的大小为 90°． 归纳：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直. 问题2：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？ 因为门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号表示： 例2：如图，在正方体 ABCD - A´B´C´D´中，求证： 平面 A´C´CA⊥平面 B´D´DB . 证明： 平面 平面 平面 平面 ⇒平面 A´C´CA⊥平面 B´D´DB . 转化思路：面面垂直 → 线面垂直 问题3：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？ 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 已知：α⊥β，α∩β = l，AB⊂α，AB⊥l，B为垂足 (如图). 求证：AB⊥β． 分析：因为 AB⊥l，所以要证 AB⊥β，只需在 β 内找一条与 l 相交的直线垂直于 AB． 证明：在平面 β 内作 BC⊥l，则∠ABC 是二面角 α - l - β 的平面角. 由 α⊥β，可知 AB⊥BC. 又因为 AB⊥l，且 l ∩BC = B，所以 AB⊥β． 例3：证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β (如图)． 求证：a⊂α． 证明：设 α∩β = c. 过点 P 在平面 α 内作直线 b⊥c. 根据平面与平面垂直的性质定理，有 b⊥β. 因为经过一点有且只有一条直线与平面 β 垂直，所以直线 a 与直线 b 重合，即 a⊂α． 知识框图： 两平面垂直 平面与平面垂直 判定定理 性质定理 二面角 二面角的平面角 $