13.2.4 第1课时 两平面平行-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“两平面平行”核心内容，涵盖位置关系、判定定理、性质定理及平行平面间距离。以工人师傅交叉放置水平仪检测桌面的情境导入，通过问题链衔接新知初探、自我诊断、典例研析与分层训练，构建“情境-概念-应用-巩固”的学习支架。 其亮点在于融合逻辑推理、直观想象与数学运算核心素养，如通过三棱柱、正方体模型直观展示判定与性质定理应用，结合“平行关系转化示意图”总结通性通法。学生能提升空间思维与推理能力，教师可依托分层作业与典例解析实现高效教学。

第1课时　两平面平行 1 1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理（逻辑推理）. 2.会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线面平行”及“面面平行”等问题（直观想象）. 3.了解两个平行平面间的距离的概念（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图，为了检测桌面是否水平，工人师傅常将水平仪在桌面上交叉放 置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面与地面平行. 【问题】　为什么工人师傅只检查两次且交叉放置呢？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　两个平面的位置关系 1. 两个平面平行的定义 如果两个平面没有 ，那么称这两个平面互相平行.平面α平行 于平面β，记作α∥β. 公共点　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 ⁠公共点 有 ⁠条公共直线 符号表示 α ⁠β α β＝a 图形表示 没有　 一　 ∥　 ∩　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 如果两个平面（不重合）有一个公共点，那么这两个平面是否相交？ 提示：相交.由基本事实3可知这两个平面相交，同时它们有且只有一条过 该点的公共直线. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　两个平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条 直线与另一个平面 ⁠ ，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 相交　 平 行　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：①平面α内 两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝A；②两条相交直线a， b都与平面β平行，即a∥β，b∥β. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 这种说法正确吗？ 提示：不正确.当两条直线平行时，这两个平面可以相交. 2. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平 行.这种说法正确吗？ 提示：不正确.当这些直线平行时，这两个平面可以相交. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ⁠， 那么两条交线 ⁠ 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 相交　 平行　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：对两平面平行性质定理的再理解：①用该定理判断直线a与b 平行时，必须具备三个条件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β； （ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即β∩γ ＝b.以上三个条件缺一不可；②在应用这个定理时，要防止出现“两个平 面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线”的错误. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 两平行平面内的直线是否相互平行？ 提示：不一定.已知两个平面平行，显然一个平面内的任何直线都平行于 另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行.它们可能 是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线. 2. 平面平行有传递性吗？ 提示：有.若α，β，γ为三个不重合的平面，则α∥β， β∥γ⇒α∥γ. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点四　两个平行平面间的距离 1. 两个平行平面的公垂线和公垂线段 与两个平行平面都 的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹 在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. 2. 两个平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段的 叫作两个平行平面间的距离. 垂直　 长度　 　　提醒：两个平行平面间的距离是分别位于两个平面内的两点间距离的 最小值，即当α∥β，M∈α，N∈β时，线段MN的最小值就是平面α 与β间的距离. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平 面β， 则直线a，b的位置关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 √ 解析： 　根据面面平行的判定定理可知a，b相交. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下列几种情形中可能出现的是（　　） A. a∥b B. a⊥b C. a与b异面 D. a与b相交 √ √ √ 解析： 　因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a 与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b；当直线a与直线b异 面时，a与b的夹角大小可以是90°.综上知，A、B、C都有可能出现.故 选A、B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角 为60°，则α与β之间的距离为 ⁠. 解析：过B作BC⊥α于C（图略），则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中， BC＝AB· sin 60°＝3 . 3 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜平面与平面的位置关系 【例1】　平面α与平面β平行的条件可以是（　　） A. α内有无穷多条直线与β平行 B. 直线a∥α，a∥β C. 直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α D. α内的任何直线都与β平行 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 当α内有无穷多条直线与β平行时，α与β可能平行，也可能 相交，故不选A；当直线a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也可能相 交，故不选B；直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α时，α与β可能 平行，也可能相交，故不选C；当α内的任何直线都与β平行时，由两个 平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 解答此类题目，要抓住定义，仔细分析，把自然语言转化为图形语言， 根据所给的条件，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空 间想象能力，确定平面间的位置关系. 2. 在作图时，利用正方体（或长方体）这个“百宝箱”能有效地判定与两 个平面的位置关系有关的命题的真假.另外像判定直线与直线、直线与平 面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面位置关系的有效方法. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 设α，β是两个平面，m，n是两条直线，若m⊂α，n⊂α，则 “α∥β”是“m∥β，n∥β”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　若m∥β，n∥β，则α，β可能平行，也可能相交，故 α∥β不一定成立，若α∥β，则m∥β，n∥β，故“α∥β”是 “m∥β，n∥β”的充分不必要条件. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜平面与平面平行的判定 【例2】　（链接教科书第189页例1）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证： 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）B1C1∥平面A1EF； 证明： ∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1， ∴B1C1∥EF. 又B1C1⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， ∴B1C1∥平面A1EF. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）平面A1EF∥平面BCGH. 证明： 由（1）知EF∥BC，EF⊄平面BCGH，BC⊂平面BCGH， ∴EF∥平面BCGH. 又F，G分别为AC，A1C1的中点，∴FC＝ AC，A1G＝ A1C1. 又AC∥A1C1，AC＝A1C1，∴FC∥A1G，FC＝A1G. ∴四边形FCGA1为平行四边形. ∴A1F∥GC. 又A1F⊄平面BCGH，GC⊂平面BCGH， ∴A1F∥平面BCGH. 又A1F∩EF＝F，A1F，EF⊂平面A1EF， ∴平面A1EF∥平面BCGH. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点（不易操作）； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交 直线分别平行，则α∥β； （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ； （5）利用线面垂直的性质：若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E， F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点， 求证： （1）E，F，B，D四点共面； 证明： 如图，连接B1D1. ∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点，∴EF∥B1D1. 又BD∥B1D1， ∴BD∥EF. ∴E，F，B，D四点共面. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）平面MAN∥平面EFDB. 证明： 由题意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB， 连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点， ∴MF􀱀AD. ∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF. ∵AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB. 又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜面面平行的性质定理的应用 【例3】　如图所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形， AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E. 求证：EC∥A1D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平 面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面 AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面 AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以 EC∥A1D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 应用面面平行性质定理的基本步骤 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 与平行的性质有关的计算的三个关键点 （1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系； （2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推 出有关线段的关系； （3）利用所得关系计算求值. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点（不在α与β之 间），直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. （1）求证：AC∥BD； 解： 证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面 γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，所以AC∥BD. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长. 解： 由（1）得AC∥BD，所以 ＝ ，所以 ＝ ， 所以CD＝ （cm），所以PD＝PC＋CD＝ （cm）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型四｜线线、线面、面面平行的综合问题 【例4】　如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面 A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面 AB1C1？证明你的结论. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点， ∴EF∥AB1， ∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE⊂平面EFD， ∴DE∥平面AB1C1. 解：当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 空间中各种平行关系相互转化的示意图 提醒：判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是用高一 级的平行关系推出低一级的平行关系. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是 DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与 平面PAO平行？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明如下：如图，连接BD，由题意可知，BD∩AC＝O，O为BD的中 点，又P为DD1的中点，∴OP∥BD1， 又BD1⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴BD1∥平面PAO， 连接PC. ∵PD1􀱀CQ，∴D1Q∥PC. 又PC⊂平面PAO，D1Q⊄平面PAO，∴D1Q∥平面PAO. 又D1Q∩BD1＝D1，D1Q，BD1⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO. 解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. （2025·无锡期末）下列说法正确的是（　　） A. 平行于同一直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一直线的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线垂直 √ 解析： 　对于A，平行于同一直线的两个平面，可能平行，可能相交，故 A错误；对于B，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行，可能相 交，可能异面，故B错误；对于C，垂直于同一直线的两个平面平行，故C 正确；对于D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D错误.故选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平 行的有（　　） A. 直线A1B B. 直线BB1 C. 平面A1DC1 D. 平面A1BC1 √ √ 解析： 　如图，对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平 面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；对于B，由于 B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B与 平面ACD1不平行；对于C，由于A1D与AD1相交，A1D⊂ 平面A1DC1，可得平面A1DC1与平面ACD1不平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B⊂平面A1BC1，C1B⊂平面A1BC1，且A1B∩C1B＝B，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故选A、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 设平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于 点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当点S在平面α，β之间时，CS ＝ ⁠. 解析：如图所示，由题意知，△ASC∽△BSD，因为 CD＝34，所以SD＝34－CS. 由AS∶BS＝CS∶ （34－CS）知，8∶9＝CS∶（34－CS），所以CS ＝16. 16　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中 点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB. ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面PAB∥平面EFG. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是 （　　） A. 两两相互平行 B. 两两相交于同一点 C. 两两相交但不一定交于同一点 D. 两两相互平行或交于同一点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　根据平面与平面平行的性质可知，所得的四条直线两两相互平 行.故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　） A. 1个或2个 B. 0个或1个 C. 1个 D. 0个 √ 解析： 　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使 β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α 至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面 α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB， CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 （　　） A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，∴A1D1∥E1F1.又 ∵A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.又 ∵E1和E分别是A1B1和AB的中点，∴A1E1∥BE，且A1E1＝BE，∴四边 形A1EBE1是平行四边形，∴A1E∥BE1.又∵A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平 面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.∵A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面 EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝ 1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为 （　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 √ 解析： 　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面 BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所以四边形 A1FBE为平行四边形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕如图为某一正方体的平面展开图，在这个正方体中（　　） A. BM∥平面CN B. CN∥平面AF C. 平面BMD∥平面AFN D. 平面BDE∥平面NCF √ √ √ 解析： 　将平面图形折起，折成一个正方体，其示意 图如图所示，利用直线与平面、两个平面平行的判定定理 可以证明B、C、D都正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱 A1B1，B1C1，BB1的中点，则（　　） A. FG∥平面AA1D1D B. EF∥平面BC1D1 C. FG∥平面BC1D1 D. 平面EFG∥平面BC1D1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，连接AD1，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F， G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1， ∴FG∥AD1，又∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平 面AA1D1D，故A正确；对于B，连接A1C1，∵EF∥A1C1，A1C1与平面 BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；对于C，∵FG∥BC1， FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；对 于D，∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误. 故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，PA⊥平面ABCD，若PA＝2，则平面EFGH与平面ABCD的距离为 ⁠. 1　 解析：因为E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，所以平面 EFGH∥平面ABCD. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面EFGH，所以 AE为平面ABCD与平面EFGH的公垂线段，且AE＝ PA＝1，则平面 EFGH与平面ABCD的距离为AE＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G，H分别为CC'，C'D'， D'D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH内运动，则M满 足 时，有MN∥平面B'BDD'. 解析：当点M在线段FH上移动时，有MH∥DD'，易知HN∥BD，∴平 面MNH∥平面B'BDD'.又MN⊂平面MNH，∴MN∥平面B'BDD'. 在线段FH上移动　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面 ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ 　 　. 解析：由题意得平面MNE∥平面ACB1，因为平面BB1C1C∩平面MEN＝ EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，则由面面平行的性质定理可得 EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因为E为BB1的中点，所以M，N分别 为BA，BC的中点，所以MN＝ AC，即 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H 分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝ OC，CH＝HF，所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知直线a，b，平面α，β，下列命题正确的是（　　） A. 若a∥α，b∥a，则b∥α B. 若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C. 若α∥β，b∥α，则b∥β D. 若α∥β，a⊂α，则a∥β √ 解析： 　若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的 判定定理知B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误；易知 D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点G，H分别在 A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的 中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的是（　　） A. EF∥GH B. GH∥平面A1EF C. ＝ D. 平面A1EF∥平面BCC1B1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC， ＝ .在三 棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个平面平行的性质可 得GH∥BC，而GH经过△A1B1C1的重心，所以 ＝ ，所以 ＝ ，且 EF∥GH，GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF. 因 为A1B1∥BE且BE＜A1B1，所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与 平面BCC1B1相交.故A、B、C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是 △PBC，△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC 的位置关系为 ⁠. 平行　 解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，AB于点 M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是△PBC，△PAB的重 心，∴PA'＝ PM，PC'＝ PN，∴A'C'∥MN. ∵MN⊂平 面ABC，A'C'⊄平面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B'⊂平面A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. （1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1； 证明： 由题设知BB1􀱀DD1，所以四边形BB1D1D 是平行四边形，所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1􀱀B1C1􀱀BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1， 所以A1B∥平面CD1B1. 又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面CD1B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l. 证明： 由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1， 又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平 面A1BD＝直线BD， 所以直线l∥直线BD， 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四 边形， 所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD， AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折. （1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平 面FAD； 解： 证明：在平面图形中， 设MN与AB交于点G. 由于四边形ABCD和四边形ABEF 都是矩形且AD＝AF，因此有 AD∥BE且AD＝BE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ∴四边形ADBE是平行四边形， ∴AE∥DB. 又∵AM＝DN，∴四边形ADNM 为平行四边形，∴MN∥AD. 折叠之后，MG∥AF， NG∥AD，MG∩NG＝G， AD∩AF＝A，示意图如图①，∴平面FAD∥平面GNM. 又∵MN⊂平面GNM，∴MN∥平面FAD. ∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论 正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件 使上述结论成立，并给出理由. 解： 这个结论不正确. 要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下： 当F，A，D共线时，由平面图形，易证得FD∥MN. 折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平面 FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可. 若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 由平面图形知，若要DN和FM共面，则DN与FM相交于点B（M，N分 别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图②. ∵FM∩DN＝B，∴可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面. 又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面 MNG∥平面FAD，∴MN∥FD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $