考点5.1 正（余）弦定理的基本应用专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点5.1 正（余）弦定理的基本应用 考点5.1 正（余）弦定理的基本应用 1 一、已知部分边角关系求角或求值 1 （一）利用正弦定理边化角求角 1 （二）正弦定理结合和角公式求值 2 （三）利用余弦定理边角互化求角 2 （四）正余弦定理结合边角关系求值 2 （五）正余弦定理的综合应用（判断形状与边角互化） 3 二、结合三角形面积求值 3 （一）已知面积求边或周长 3 （二）利用面积公式和基本不等式求最值或取值范围 3 三、结合三角形的中线、高线、角平分线等几何特征求值 4 （一）结合中线求边长或角 4 （二）结合角平分线或特殊点求值 4 参考答案 5 第一部分：答案速查表 5 第二部分：逐题答案与详解 5 第三部分：试题来源表 14 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 一、已知部分边角关系求角或求值 （一）利用正弦定理边化角求角 1.（2026·湛江·二模） 在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，且 ，求角 . 2.（2026·江西“三新”·联考） 已知△ABC的内角 的对边分别为 ，且 ，求 . 3.（2026·九江·二模） 在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，求 . 4.（2026·宜春·二模） 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 ，求角 . 5.（2026·山西·T8联盟·联考） 在锐角三角形ABC中，角 所对的边分别为 ，且 ，求角 的取值范围. 6.（2026·山西卓越联盟·联考） 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 ，求 . 7.（2026·云南昆明·二模） 在锐角△ABC中，角 的对边分别为 ，已知 ，求 . 8.（2026·台州·二模） 在△ABC中，角 所对的边分别为 ，满足 ，求角 的大小. （二）正弦定理结合和角公式求值 9.（2026·甘肃·二模） 在△ABC中，角 的对边分别为 ，已知 ，求 . 10.（2026·湘豫联盟·联考） 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 . 证明： . （三）利用余弦定理边角互化求角 11.（2026·安徽皖南八校·联考） 记△ABC的内角 的对边分别为 ，已知 ，证明： . 12.（2026·新疆·二模） 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 ，求 . （四）正余弦定理结合边角关系求值 13.（2026·宁波·二模） 在钝角△ABC中， ，则△ABC的面积为（ 　　） A. B. C. D. 14.（2026·毕节·二模） 在△ABC中，角 的对边分别为 ，已知 ，则△ABC的面积为___. 15.（2026·广州·二模） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，求 的值. 16.（2026·T8联盟·联考） 在锐角三角形ABC中，角 所对的边分别为 ，且 ，求角 的取值范围. 17.（2026·东营·二模） 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足 ，求角 . 18.（2026·济南·二模） 记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知 ，且 ，证明：△ABC为等腰三角形. 19.（2026·聊城·二模） 某夏令营在△ABC区域内活动，三个内角满足 ，求 的最小值. 20.（2026·四川德阳·二诊） 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知该三角形的面积 ，求角 的大小. 21.（2026·湖州/衢州/丽水·二模） 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 ，求 的值. 22.（2026·温州·二模） 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，求 . （五）正余弦定理的综合应用（判断形状与边角互化） 23.（2026·孝感·二模） 在△ABC中， ，BC边上的高等于 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 24.（2026·安徽江淮十校·联考） 在△ABC中， 所在对的边分别是 ，且 ，则下列结论正确的有（ 　　） A. B. 若 ，则满足条件的△ABC有2个 C. 若 为AB中点，则 最大值为 D. 若 有两解 ，则 二、结合三角形面积求值 （一）已知面积求边或周长 25.（2026·安徽池州·二模） 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 ，若 ， ，求△ABC的面积. 26.（2026·安徽池州·二模） 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足 ，若 ，D为AC中点， ，求 . （二）利用面积公式和基本不等式求最值或取值范围 27.（2026·安徽合肥·二模） 在Rt△ABC中， ，D为BC边上一点，且 ， ，则 （ 　　） A. B. C. D. 28.（2026·T8联盟·联考） 在锐角三角形ABC中，角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围. 三、结合三角形的中线、高线、角平分线等几何特征求值 （一）结合中线求边长或角 29.（2026·安徽皖南八校·联考） 记△ABC的内角 的对边分别为 ，已知 ，求 的取值范围. 30.（2026·揭阳·二模） 如图，在△ABC中，已知 ，点M在边BC上且 ，AM与AC边上的中线BN相交于点P，求 的余弦值. （二）结合角平分线或特殊点求值 31.（2026·浙江金华十校·联考） 在△ABC中，内角A,B,C所在的边分别为a,b,c，若 ，△ABC的面积为 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 32.（2026·长望浏宁·二模） 在△ABC中，已知 分别为内角 的对边，且 ，D为AC边上一点， ，若 ，求 的值. 33.（2026·安徽铜陵·二模） 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知 ，若 ，求 的值. 34.（2026·山西太原·二模） 已知函数 的周期为 ，且 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，求 的值域. 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 答案 序号 6 7 8 9 10 答案 见详解 序号 11 12 13 14 15 答案 见详解 B 序号 16 17 18 19 20 答案 见详解 序号 21 22 23 24 25 答案 A BCD 序号 26 27 28 29 30 答案 B 序号 31 32 33 34 答案 C 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案： 详解：由 及正弦定理，得 . 因为 ，所以 ，整理得 . 因为 ，所以 ，即 . 又 ，所以 . 2. 答案： 详解：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，由 ，得 . 3. 答案： 详解：由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，，因为 ，所以 . 4. 答案： 详解：因为 ，所以 ，，，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，又 ，则有 ，所以 . 5. 答案： 详解：因为 ，由正弦定理得 ，即 . 因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，又 ，所以 . 由 为锐角三角形，得 ，，，由 且 ，得 ；由 ，得 . 取交集得 ，所以 ，由 ，得 ，，即角 的取值范围是 . 6. 答案： 详解：在△ABC中，由正弦定理及 ，得 ，所以 ，所以由余弦定理得 ，由 知 ，又 ，所以 . 7. 答案： 详解：由正弦定理可知：. 又因为 ，所以 . 在锐角△ABC中，因为 ，所以 . 8. 答案： 详解：已知 ，由正弦边角关系得 ，因为 ，两边约去 ，得 ，应用辅助角公式得 ，而 ，所以 ，故 . 9. 答案： 详解：由已知 ，得 ，即 ，因为 ，，所以 ，根据正弦定理 ，即 ，代入得 ，因为 ，，所以 ，即 ，由于 ，故 . 10. 答案：见详解 详解：由已知及正弦定理，得 ，展开得 ，移项得 . 因为 ，所以 . 由正弦定理 及 ，得 ，，，代入得 ，两边同乘 得 ，即 ，整理得 . 11. 答案：见详解 详解：因为 ，则代入 ，得 ，所以 ，即 . 由余弦定理得 ，两边同乘 ，得 ，所以 . 由正弦定理 （ 为△ABC外接圆半径），则 ，，，代入上式：，即 ，两边同除 ，所以 . 12. 答案： 详解：由题意，，即 ，即 ，两边同除 （），得 ，由射影定理 ，代入得 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 . 13. 答案：B 详解：由余弦定理得 ，代入 ，得 ，即 ，整理得 ，即 ，解得 或 . 当 时，，最大边为 ，最大角为 ，由余弦定理 ，所以角 为钝角，符合题意；当 时，，最大边为 ，，角 为锐角，不符合钝角三角形条件，故舍去. 所以 ，△ABC的面积为 . 14. 答案： 详解：由余弦定理可得，，因为 ，所以 ，故△ABC的面积为 . 15. 答案： 详解：在△ABC中，，由正弦定理得 ，又 ，两式联立得 ，两边消去 ，得 ，由题意得 ，，两边约去 ，得 ，所以 . 16. 答案： 详解：由（1）知 ，又 ，所以 . 由正弦定理得 ，利用三角公式 ，，代入得 ，利用 ，得 . 由△ABC为锐角三角形，且 ，，得 ，，，解得 ，所以 . 函数 在 上单调递增，当 时，原式 ，当 时，原式 ，所以 . 17. 答案： 详解：因为 ，由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，代入得 ，两边消去 ，得 ，因为 ，两边约去 ，得 ，即 ，故 . 18. 答案：见详解 详解：因为 ，由正弦定理得：，展开得 ，移项得 ，由两角和的正弦公式，，所以 . 因为 ，所以 . 又因为 ，，所以 或 ，因为 ，所以 ，又因为 ，两式相减得 ，所以△ABC为等腰三角形. 19. 答案： 详解：设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，由 ，根据正弦定理，得 ，即 . 由余弦定理得 . 因为 ，由基本不等式 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，此时 ，因为 （由 ），所以 ，又 （由 ，），且 ，所以 ，且 ，满足三角形三边关系，等号可以取到. 因此， 的最小值为 . 20. 答案： 详解：在△ABC中，三角形面积 ，由题意 ，两式相等得 ，因为 ，所以 ，两边约去 ，得 ，即 ，由余弦定理得 ，所以 . 21. 答案： 详解：由余弦定理得 ，代入原式右边：，所以原式化为 ，即 ，移项得 ，由射影定理 ，所以 ，因为 ，所以 . 22. 答案： 详解：在△ABC中，因为 ，所以 ，代入得 ，由正弦定理 ，以及 ，分子分母同乘 ，得 . 由余弦定理得 ，，所以 ，代入得 ，即 ，因为 （否则分母为零），两边同乘 ，得 ，由余弦定理得 ，又 ，所以 . 23. 答案：A 详解：设BC边上的高为AD，由 ，设 ，则 ，因为BC边上的高等于 ，即 ，所以 ，从而点D在线段BC上，，在Rt△ABD中，，所以 ，在Rt△ADC中，，所以 ，，而 ，所以 . 24. 答案：BCD 详解：由题意，，由正弦定理得 ，展开得 ，所以 ，由余弦定理得 ，又 ，所以 ，故A错误. 对于B：若 ，，过点B作 于H，则 ，在CH上存在点A，使 ，且 ，故△ABC有两个，B正确. 对于C：由 且 ，得 ……①，延长CM至Q，使 ，设 ，则 ，连AQ、BQ，易知四边形AQBC为平行四边形，由平行四边形性质 ，即 ，即 ……②，由①得 ，解得 ，代入②得 ，即 ，所以 ，即 ，故C正确. 对于D：由 ，得 ，又 ，得 ，且A不为钝角，由题意A有两解且 ，可得 ，，，故D正确. 综上，选BCD. 25. 答案： 详解：（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，由 ，得 . 由 ，且 为三角形内角，得 ，则 ，因为 ，所以由 ，得 ，则△ABC的面积 . 26. 答案： 详解：由于D为AC中点，所以 ，两边平方得 . 由（1）知 ，即 ，又 ，，设 ，代入得 ，即 ，整理得 ，解得 或 （舍），所以 . 由余弦定理 ，所以 . 因为 ，所以 ，在Rt△BCD中，，因为 ，所以 . 27. 答案：B 详解：设 ，，则 ，（已知 ）. 在Rt△ABC中，，由勾股定理得 ，即 ，所以 . 在△ABD中，由正弦定理 ，在△ACD中，，因为 ，所以 ，又已知 ，设 ，则 ，，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，利用三角恒等式 ，代入可解得比例关系，最终求得 . 28. 答案： 详解：由（1）知 ，又 ，所以 . 由正弦定理得 ，利用三角公式 ，，代入得 ，利用 ，得 . 由△ABC为锐角三角形，且 ，，得 ，，，解得 ，所以 . 函数 在 上单调递增，当 时，原式 ，当 时，原式 ，所以 . 29. 答案： 详解：由（1）知 ，所以 . 由余弦定理得 . 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号），得 . 又因为当 时，代入 ，得 ，解得 ，则满足三角形三边关系 ，故等号成立. 由 ，可知 为最大边，且 （因为 ），故 为钝角，因此 ，即 ，故 . 又由基本不等式得 ，所以 的取值范围为 . 30. 答案： 详解：以A为原点，建立如图所示直角坐标系，由 ，可得 ，因为 ，所以 ，又N为AC中点，所以 ，，，，，所以 . 31. 答案：C 详解：由 ，△ABC的面积为 ，得 ，即 ，得 . 由正弦定理得 ，所以 . 由 ，得 ，即 . 32. 答案： 详解：因为D为AC边上一点，且 ，设 ，则 ，. 因为 ，在△ABD和△CBD中分别用余弦定理，得 ，代入 ，得 ，即 ，两边同乘 ，得 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 . 33. 答案： 详解：因为 ，所以 ，由正弦定理 ，得 ，所以 ，因为 ，两边约去 ，得 . 因为 ，所以 . 又 ，所以 . 由正弦定理 ，得 . 34. 答案： 详解：由题意得 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·湛江·二模 第15（1）题 2 2026·江西“三新”·联考 第15（1）题 3 2026·九江·二模 第15（1）题 4 2026·宜春·二模 第15（1）题 5 2026·山西·T8联盟·联考 第15（1）题 6 2026·山西卓越联盟·联考 第15（1）题 7 2026·云南昆明·二模 第15（1）题 8 2026·台州·二模 第15（1）题 9 2026·甘肃·二模 第15（1）题 10 2026·湘豫联盟·联考 第16（1）题 11 2026·安徽皖南八校·联考 第15（1）题 12 2026·新疆·二模 第15（1）题 13 2026·宁波·二模 第6题 14 2026·毕节·二模 第13题 15 2026·广州·二模 第15（1）题 16 2026·T8联盟·联考 第15（2）题 17 2026·东营·二模 第15（1）题 18 2026·济南·二模 第15（1）题 19 2026·聊城·二模 第15（1）题 20 2026·四川德阳·二诊 第15（1）题 21 2026·湖州/衢州/丽水·二模 第17（1）题 22 2026·温州·二模 第18（1）题 23 2026·孝感·二模 第6题 24 2026·安徽江淮十校·联考 第10题 25 2026·江西“三新”·联考 第15（2）题 26 2026·甘肃·二模 第15（2）题 27 2026·安徽合肥·二模 第8题 28 2026·T8联盟·联考 第15（2）题 29 2026·安徽皖南八校·联考 第15（2）题 30 2026·揭阳·二模 第16（2）题 31 2026·浙江金华十校·联考 第6题 32 2026·长望浏宁·二模 第15（1）题 33 2026·安徽铜陵·二模 第15（2）题 34 2026·山西太原·二模 第15（2）题 $