二项式定理4种高频考点专项训练-2026届高三数学二轮复习

二项式定理4种高频考点专项训练 二项式定理4种高频考点专项训练 考点目录 求二项展开式某项的系数 二项展开式系数和问题 二项展开式系数最值问题 二项式定理的应用 考点一 求二项展开式某项的系数 例1．（2026·福建漳州·二模）在的展开式中，的系数是（    ） A．15 B． C．30 D． 【答案】A 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 例2．（2026·江苏·一模）的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 例3．（2026·江西南昌·一模）的展开式中，的系数是________. 【答案】80 【详解】，令，解得， 故的系数为. 例4．（2026·重庆·一模）的展开式中常数项为__________． 【答案】29 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得，则； 令，解得，则， 所以的展开式中常数项为. 变式1．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 【答案】D 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【详解】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 故答案为：． 变式3．（2026·湖南长沙·模拟预测）的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 变式4．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 【答案】 【详解】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 考点二 二项展开式系数和问题 例1．（25-26高二下·江西赣州·开学考试·多选）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】AD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 例3．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，可得，故A错误； 而其展开式的通项公式为， 令，解得，所以,故B正确； 令，可得， 令，可得， 两式相加可得，故C正确； 两式相减可得，故D正确； 例4．（25-26高三下·江西景德镇·月考·多选）若（≠0），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，A错误； 对于B：因为，B正确； 对于C：在中， 令，得， 令，得，C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，D错误. 变式1．（2026·广东广州·模拟预测·多选）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 【答案】ABD 【详解】对于，故，故A正确； 对于，故B正确； 对于C，的展开式中含项的系数为， 而，显然二者不相等，故C错误； 对于， 所以，即，故D正确． 变式2．（2026·山东·模拟预测·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 变式3．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试·多选）关于的展开式，下列结论正确的是（   ） A．展开式共7项 B．所有项的二项式系数之和为64 C．常数项为540 D．所有项的系数之和为64 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以展开式共有7项，故A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项公式为，， 令，解得，此时常数项为，故C错误； 对于D，令，则所有项的系数和为，故D正确． 考点三 二项展开式系数最值问题 例1．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 例2．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 例3．（25-26高三上·山东青岛·期末）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【答案】 【详解】二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 二项式系数最大值出现在中间项， 当 为偶数时，最大项为第 项， 因此有 ，解得 ， 展开式的通项公式为： 令 ，解得 ， 代入通项，得系数为： 因此，展开式中 的系数为 . 故答案为： 例4．（24-25高三下·浙江绍兴·月考）写出在的展开式中系数最大的项________． 【答案】 【详解】二项式的通项为：， 展开式的系数为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 展开式中系数最大的项出现在中， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 当时系数最大，即． 故答案为：． 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【详解】的二项展开式中二项系数最大为， 所以二项展开式中二项系数最大的项是和. 故选：C. 变式3．（24-25高二下·广东广州·月考）的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 【答案】 【详解】因为， 令，得各项系数的和， ．又． 因为展开式各项的系数与二项式系数是相等的， 由二项式系数的性质得系数最大的项为． 故答案为： 变式4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数最大的项为___________． 【答案】 【详解】由二项式性质得的展开式中二项式系数最大的项为第5项， 由二项式定理得的展开式通项为，， 令，解得，则第5项为. 故答案为： 考点四 二项式定理的应用 例1．（25-26高三下·广西桂林·月考）若正整数a，b满足，其中，则b的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【详解】 ， 对照得. 例2．（2026·山东东营·模拟预测）除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】， 因为，所以除以7所得的余数为，即， 故， 而， 故除以7所得的余数为， 故原式除以7所得的余数与除以7所得的余数相等均为. 例3．（2026·河南南阳·一模）今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 【答案】A 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 例4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 【答案】丙午 【详解】由题意可知干支纪年排列的周期为. ， 由二项式定理，， 则除最后一项外，其余各项都能被整除， 而， 则除最后一项外，其余各项都能被整除， 所以被除所得余数为，即第年与第一年的干支纪年相同， 故答案为：丙午. 例5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）若是正整数，则除以8的余数是___________． 【答案】7 【详解】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 例6．（25-26高二上·上海·期中）设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 【答案】5 【详解】由于， 所以， 所以, 所以. 由于 ， 所以 ， 因为. 所以被除后余数为，由，则正整数的最小值为. 故答案为：. 变式1．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 变式2．（25-26高二上·河南驻马店·期末）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【详解】因为 ，又因为 ，所以 ， 根据二项式定理，当，，时，则： 由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项 （）， 当 时， 是9的倍数，所以这些项都能被9整除， 当 时，该项为 ， 因为 展开式中除最后一项 外，其余各项都能被9整除， 所以 除以9的余数为 （因为余数要为正数）， 则 除以9的余数就相当于 除以9的余数，，所以余数为7. 故选：C. 变式3．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【详解】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 变式4．（25-26高二上·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 【答案】6 【详解】， 要使能被7整除，则能被7整除.又是正整数，所以的最小值为6. 变式5．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 【答案】2 【详解】因为多项式除以所得的余式为， 所以可以设， 整理得到， 所以，则. 故答案为：2. 变式6．（25-26高二上·江西新余·期末）已知，设，若今天是星期一，则天后是星期__________. 【答案】四 【详解】由， 令，得，即， 令，得， 则 ， 其中，除了都能被7整除， 而 ， 其中，除了4都能被7整除，因此除以7余3，则除以7余3， 若今天是星期一，则天后是星期四. 故答案为：四. 2 学科网（北京）股份有限公司 $二项式定理4种高频考点专项训练 二项式定理4种高频考点专项训练 考点目录 求二项展开式某项的系数 二项展开式系数和问题 二项展开式系数最值问题 二项式定理的应用 考点一 求二项展开式某项的系数 例1．（2026·福建漳州·二模）在的展开式中，的系数是（    ） A．15 B． C．30 D． 例2．（2026·江苏·一模）的展开式中常数项为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·江西南昌·一模）的展开式中，的系数是________. 例4．（2026·重庆·一模）的展开式中常数项为__________． 变式1．（2026·广东·一模）在的展开式中，含的项的系数是（   ） A． B．4 C． D．16 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 变式3．（2026·湖南长沙·模拟预测）的展开式中的系数为___________. 变式4．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 考点二 二项展开式系数和问题 例1．（25-26高二下·江西赣州·开学考试·多选）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 例3．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）若，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三下·江西景德镇·月考·多选）若（≠0），则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·广东广州·模拟预测·多选）设，则（    ） A． B． C．的展开式中含项的系数为 D． 变式2．（2026·山东·模拟预测·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试·多选）关于的展开式，下列结论正确的是（   ） A．展开式共7项 B．所有项的二项式系数之和为64 C．常数项为540 D．所有项的系数之和为64 考点三 二项展开式系数最值问题 例1．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 例2．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 例3．（25-26高三上·山东青岛·期末）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 例4．（24-25高三下·浙江绍兴·月考）写出在的展开式中系数最大的项________． 变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式2．（25-26高二上·江西景德镇·期末）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 变式3．（24-25高二下·广东广州·月考）的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 变式4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）的展开式中二项式系数最大的项为___________． 考点四 二项式定理的应用 例1．（25-26高三下·广西桂林·月考）若正整数a，b满足，其中，则b的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 例2．（2026·山东东营·模拟预测）除以7所得的余数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 例3．（2026·河南南阳·一模）今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（    ） A．一 B．二 C．三 D．五 例4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 例5．（25-26高二上·上海浦东新·月考）若是正整数，则除以8的余数是___________． 例6．（25-26高二上·上海·期中）设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 变式1．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 变式2．（25-26高二上·河南驻马店·期末）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 变式3．（2026·江苏镇江·模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 变式4．（25-26高二上·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 变式5．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 变式6．（25-26高二上·江西新余·期末）已知，设，若今天是星期一，则天后是星期__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $