课时作业22 正弦定理和余弦定理（Word练习）-【艺术生百日冲刺】2026高考数学艺术生基础生文化课成功方案

课时作业(二十二) 1．(2025·南充模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＝a2＋c2－ac，则B＝(　　 ) A．　　　　　　　B． C． D． 解析：选A　由b2＝a2＋c2－ac得ac＝a2＋c2－b2，所以cos B＝＝＝， 由于B∈，所以b＝.故选：A. 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，a＝3，c＝4，则sin A＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C　由＝，得＝8， 所以sin A＝.故选：C. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos C－3b cos C＝3c cos B，则角C的大小为(　　) A. B． C． D． 解析：选A 　因为2a cos C－3b cos C＝3c cos B， 所以2sin A cos C－3sin B cos C＝ 3sin C cos B， 所以2 sin A cos C＝3sin (C＋B)＝3sin A， 因为A，C∈(0，π)，所以sin A≠0，cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝. 4．(2025·东北师大附中模拟)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若b＝2c，a＝，A＝，则△ABC的面积为(　　) A．1 B．3 C．2 D． 解析：选B　由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4c2＋c2－2×2c×c×， 即3c2＝6，解得c＝，则b＝2c＝2， 因此，△ABC的面积为S△ABC＝bc sin A＝×2××＝. 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，c＝2，b＝2，则C＝(　　) A． B．或 C． D．或 解析：选B　由正弦定理得＝， ∴sin C＝，∵B＝30°，c＝2，b＝2， ∴sin C＝＝，b＜c，∴C＝或.故选：B. 6．(多选)(2025·唐山模拟)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　) A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45° C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30° 解析：选BC　对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝>1，无解；对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝<1，且c<b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝<1，且b>a，所以B有两个值，有两解． 7．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析：选ABD　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin ＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD. 8．(2025·北京二模)在△ABC中，若a＝2，tan A＝－，cos B＝，则b＝________． 解析：由tan A＝－，得＝－，则cos A＝－sin A， 则sin2A＋cos2A＝sin2A＋sin2A＝1， 所以sinA＝(负值舍去)， 由cos B＝，在三角形中易得sin B＝， 因为＝，所以b＝＝. 答案： 9．在△ABC中，AB＝4，∠B＝，点D在边BC上，∠ADC＝，CD＝2，则AD＝________；△ACD的面积为________． 解析：如图，因为在△ABC中，AB＝4，∠B＝，点D在边BC上，∠ADC＝，CD＝2，所以＝⇒AD＝4 ×＝4；S△ACD＝·AD·CD·sin ∠ADC＝×4×2×sin ＝2. 答案：4　2 10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝，且sin C＝2sin B，(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C，则△ABC的面积为________． 解析：依题意，sin C＝2sin B，(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C， 由正弦定理得：c＝2b，＝a2－bc， 整理得b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝>0， 所以A为锐角且A＝， 同时b2＋－＝b·，解得b＝1，所以c＝2b＝2， 所以S△ABC＝bc sin A＝×1×2×＝. 答案： 11．(2025·天津高考节选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin B＝b cos A，c－2b＝1，a＝. (1)求A的值； (2)求c的值． 解析：(1)已知a sin B＝b cos A， 由正弦定理＝， 得a sin B＝b sin A＝b cos A，显然cos A≠0，得tan A＝， 由0<A<π，得A＝. (2)由(1)知cos A＝，且c＝2b＋1，a＝， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 则7＝b2＋(2b＋1)2－2×b(2b＋1) ＝3b2＋3b＋1， 解得b＝1(b＝－2舍去)， 故c＝3. 12．在①b2＋ac＝a2＋c2，②a cos B＝b sin A，③sin B＋cos B＝2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____________，A＝，b＝. (1)求角B； (2)求△ABC的面积． 解：若选择①b2＋ac＝a2＋c2. (1)由余弦定理得，cos B＝＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由正弦定理＝， 得a＝＝＝. 因为A＝，B＝， 所以C＝π－－＝， 所以sin C＝sin ＝sin ＝sin ·cos ＋cos sin ＝. 所以S△ABC＝ab sin C＝×××＝. 若选择②a cos B＝b sin A. (1)由正弦定理得sin A cos B＝sin B sin A. 因为sin A≠0，所以cos B＝sin B，tan B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)同上 若选择③ sin B＋cos B＝2. (1)由和角公式得2sin ＝2， 所以sin ＝1. 因为B∈(0，π)，所以B＋∈， 所以B＋＝，所以B＝. (2)同上． 学科网（北京）股份有限公司 $