专题01 解三角形解答题专项训练---2026届高三数学二轮复习

专题01 解三角形（大题） 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………1 02 题型突破 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 正（余）弦定理解三角形…………………………………………………………2 题型二 三角形的面积与周长（重）………………………………………………………3 题型三 与中线有关的解三角形（重） …………………………………………………5 题型四 与角分线有关的解三角形（重） ………………………………………………6 题型五 与高线有关的解三角形 …………………………………………………………7 题型六 多三角形或四边形的解三角形 …………………………………………………9 题型七 利用基本不等式求最值（范围）（难）…………………………………………11 题型八 转化为三角函数求最值（范围）（难）…………………………………………12 题型九 转化为其它函数求最值（范围）（难）…………………………………………14 题型十 解三角形中的不规则题型 ………………………………………………………15 题型十一 与三角函数、三角恒等变换的融合 …………………………………………17 题型十二 解三角形与其它模块的融合（新型题型） …………………………………18 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………19 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………21 --------------------------------------------------------------------- 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年北京卷·16 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 这一节的内容是高考数学的核心考点，主要以选择题、填空题和中档解答题呈现，解答题的考查内容主要体现在以下方面： ⑴正、余弦定理解三角形； ⑵三角形的面积和周长 ⑶解三角形中线、角分线和高线的问题 ⑷解三角形的最值或范围问题. 2025年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形 2024年全国Ⅰ卷·15 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2024年全国Ⅱ卷·15 正弦定理解三角形、正弦定理边角互化、求三角形的周长 2024年北京卷·16 正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 2024年天津卷·16 正弦定理、余弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 2023年全国Ⅰ卷·17 用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2023年全国Ⅱ卷·17 三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 2023年全国乙卷（理）·18 三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 2023年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理、余弦定理解三角形 2022年全国Ⅰ卷·18 正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 2022年全国Ⅱ卷·18 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2022年全国乙卷（理）·17 正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 2022年北京卷·16 二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2022年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 2021年全国Ⅰ卷·19 正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算 2021年全国Ⅱ卷·18 三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 2021年北京卷·16 正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2021年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 题型突破 题型一、正（余）弦定理解三角形 解三角形时，如果已知中涉及到一个角三条边或边的二次式，要考虑用余弦定理； 如果已知中涉及到两个或两个以上的角或两个角的正弦，则考虑用正弦定理。 1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求C； (2)若，求的内切圆的半径. 2．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，求A. 3．（2026·福建泉州·一模）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. (1)求； (2)点满足，且，求. 4．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，内角的对边分别为．若． (1)已知，求三角形的三边长； (2)若，为中点，求外接圆半径． 5．（25-26高三上·福建福州·期末）记的内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 6．（25-26高三上·云南保山·期末）记的内角的对边分别为，已知，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，点在边上，且，求的长. 7.（2025·河南信阳·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)若为锐角三角形，，求c的取值范围； (2)若，求证：． 8．（25-26高三上·海南海口·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，证明：为等腰三角形． 题型二、三角形的面积与周长 ⑴对于面积公式,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式； ⑵与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化； ⑶与周长有关的问题，要用到余弦定理和完全平方公式的变形，即。 1．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，的面积为，求的周长． 2．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）在中，点D在边上，且，． (1)若，求的值； (2)若，求的面积． 3．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 5．（2026·江西赣州·一模）在中，角的对边分别为，且. (1)若，求的值. (2)若的内切圆的面积为，求的面积. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 7．（2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 8．（25-26高三上·安徽滁州·期末）在中，角，，的对边分别为，，.已知，. (1)求，并判断的形状； (2)若，且，求的面积. 题型三 与中线有关的解三角形 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系。 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 2．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 3．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）的内角的对边分别为，. (1)求角； (2)若，边的中线长，求的周长. 4．（25-26高三下·湖北武汉·月考）在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． 5．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且． (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 6．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 题型四 与角分线有关的解三角形 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：。 1．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 2．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）在中，内角的对边分别是，且． (1)求的大小； (2)若，为的角平分线，且，求的面积． 5．（2025高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 6．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 7．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 题型五、与高线有关的解三角形 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：。 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若，求AB边上的高. 4．（25-26高三上·河北沧州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. (1)求的外接圆半径； (2)若，，求中边上的高的值. 5．（25-26高三下·云南昆明·月考）在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 6．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 7．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知在中，. (1)求的值； (2)若边上的高等于，求. 8．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 题型六、多三角形或四边形的解三角形 求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系。 具体解题思路： ⑴把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后再各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； ⑵寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果； 做题过程中，要用到平面几何的一些知识点，如相似三角形的边角关系，平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。 1．（2026·山东·模拟预测）在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 2．（25-26高三上·江西景德镇·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，点是边上一点，且，求的长. 3．（2026·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，若． (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 4．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 5．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 6．（2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 7．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，. (1)证明：； (2)若，求的长. 题型七、利用基本不等式求最值 在中，如果已知一个角及其对边，假设已知，根据余弦定理，即可得到与的等量关系。 ⑴求面积最值时，，即求最值. 在等量关系中利用基本不等式，即可得到的最值； ⑵求周长的最值时，即求的最值. 在等量关系中，把换成，再利用基本不等式，即可求得的最值。 1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）在中，角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 2．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 3．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 4．（25-26高三下·山东·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)若，求的值； (2)若均为锐角，求的最小值． 5．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 6．（25-26高三上·福建福州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，，求的值； (2)当时，求的最小值. 7．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 8．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 9．（25-26高三上·湖北武汉·期末）记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 题型八、转化为三角函数求最值（范围） 三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其它的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围。 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 3．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． (1)求； (2)求a的取值范围． 4．（25-26高三上·江西抚州·期末）在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， (1)求的值； (2)求的取值范围. 5．（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 6．（2026·甘肃·一模）如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 7．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 8．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 9．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 题型九、转化为其它函数求最值（范围） 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解。 1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知在中，，点满足，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围． 2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的最大值． 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的取值范围. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）在中，角是的内角，且. (1)求； (2)若为边BC的中点，且，，求的面积； (3)求的最大值. 题型十、解三角形中的结构不良题 该类型题目给出多个条件，需从中选择一个或两个补充条件来解题，可能因选择不同导致三角形存在或不存在。 解题策略： 1. 逐个代入选定条件； 2. 结合正弦定理（边化角）或余弦定理（角化边）验证三角形是否存在； 3. 注意条件间的逻辑一致性（如是否矛盾）。 1．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． (1)求； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，求． ①面积为； ②边上的中线长为； ③，，成等差数列． 2．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（25-26高三下·北京·开学考试）在中，为锐角，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积及边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且，且. (1)求角的大小； (2)为AC上的一点，，且______，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①BD是角的平分线；    ②为线段AC的中点. 5．（25-26高三上·北京房山·期末）在中，，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长． 条件①：边上的高为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型十一 与三角函数的图像与性质、三角恒等变换的融合 在解三角形的大题中，三角函数与三角恒等变换的融合是高考数学的高频考点，通常以正弦定理、余弦定理为基础，结合三角恒等变形技巧进行综合考查 解题步骤： 1. 利用三角形内角和定理转化角度； 2. 边角互化； 3. 应用三角恒等变换公式（和差角公式、倍角公式、辅助角公式、降幂/生幂公式、半角公式等）化简； 4. 结合隐含条件求解。 1．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 2．（2026·山西朔州·一模）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 3．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数. (1)写出函数的最小正周期和所有的严格单调递增区间； (2)在中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，，且，求的周长. 4．（2026·福建龙岩·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 5．（2026·广东佛山·二模）已知函数的图象经过． (1)求函数的表达式； (2)在中，角所对的边为．已知，求． 6．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数的最小正周期为，其图像过点． (1)求和的值 (2)设的三边，，的对角分别为，，，已知为锐角，且，，，成等差数列，求证：为等边三角形． 题型十二 解三角形与其它模块的融合 1. 解三角形与平面向量的融合； 2. 解三角形与数列的融合； 3. 解三角形与立体几何的融合； 1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知． (1)当时，求的值域； (2)在中，、、分别是角、、所对的边，若，且，求的最大值． 2．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 3．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)设分别是内角的对边，若，成等比数列，求证：成等比数列，并求公比的取值范围. 4．（2026·福建福州·模拟预测）如图1，圆内接四边形中，为等腰直角三角形，且，，. (1)求的长； (2)如图2，将沿翻折，形成四面体，当时， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）找出一组依次排列的四个相互平行的平面，，，使得，，，，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离. 限时作业 （建议用时90分钟） 1．（2026·河北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求BC边上的高． 2．（2026·重庆九龙坡·一模）如图，中，为上一点，． (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． 3．（25-26高三上·重庆·月考）如图是函数，一个周期内的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式; (2)在△ABC中， 若， AB=2， BC=3， 求AC. 4．（25-26高三上·湖南·月考）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 5．（25-26高三上·安徽·月考）如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：； (2)已知的外接圆半径为1. （i）若，求； （ii）求面积的最大值. 6．（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 7．（25-26高三上·山东·月考）在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 8．（25-26高三上·山东·月考）已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 真题呈现 1．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 6．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 10．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 13．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 14．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 15．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 17．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 19．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解三角形（大题） 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） ………………………1 02 题型突破 精准提分 ……………………………………………………………2 题型一 正（余）弦定理解三角形…………………………………………………………2 题型二 三角形的面积与周长（重）………………………………………………………8 题型三 与中线有关的解三角形（重） …………………………………………………15 题型四 与角分线有关的解三角形（重） ………………………………………………20 题型五 与高线有关的解三角形 …………………………………………………………27 题型六 多三角形或四边形的解三角形 …………………………………………………33 题型七 利用基本不等式求最值（范围）（难）…………………………………………41 题型八 转化为三角函数求最值（范围）（难）…………………………………………49 题型九 转化为其它函数求最值（范围）（难）…………………………………………58 题型十 解三角形中的不规则题型 ………………………………………………………64 题型十一 与三角函数、三角恒等变换的融合 …………………………………………71 题型十二 解三角形与其它模块的融合（新型题型） …………………………………76 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………84 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………92 --------------------------------------------------------------------- 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年北京卷·16 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 这一节的内容是高考数学的核心考点，主要以选择题、填空题和中档解答题呈现，解答题的考查内容主要体现在以下方面： ⑴正、余弦定理解三角形； ⑵三角形的面积和周长 ⑶解三角形中线、角分线和高线的问题 ⑷解三角形的最值或范围问题. 2025年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形 2024年全国Ⅰ卷·15 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2024年全国Ⅱ卷·15 正弦定理解三角形、正弦定理边角互化、求三角形的周长 2024年北京卷·16 正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 2024年天津卷·16 正弦定理、余弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 2023年全国Ⅰ卷·17 用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2023年全国Ⅱ卷·17 三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 2023年全国乙卷（理）·18 三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 2023年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理、余弦定理解三角形 2022年全国Ⅰ卷·18 正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 2022年全国Ⅱ卷·18 正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2022年全国乙卷（理）·17 正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 2022年北京卷·16 二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2022年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 2021年全国Ⅰ卷·19 正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算 2021年全国Ⅱ卷·18 三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 2021年北京卷·16 正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 2021年天津卷·16 用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 题型突破 题型一、正（余）弦定理解三角形 解三角形时，如果已知中涉及到一个角三条边或边的二次式，要考虑用余弦定理； 如果已知中涉及到两个或两个以上的角或两个角的正弦，则考虑用正弦定理。 1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求C； (2)若，求的内切圆的半径. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 有. 可得. 由正弦定理，有. 又由余弦定理，有. 又由，可得； （2）由（1）有，代入， 所以，解得或（舍去）， 所以，可得的面积为. 设的内切圆的半径为r，有， 代入，有，可得， 故的内切圆的半径为. 2．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，求A. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【详解】（1）因为，可得， 整理可得， 由正弦定理可得. （2）因为，即， 则， 又因为，则，可得， 即，可得， 即，可得， 且，则， 可得，解得. 3．（2026·福建泉州·一模）的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. (1)求； (2)点满足，且，求. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 因为，，所以， 又因为，所以. （2）因为，. 因为，所以，则， 即. 整理得，即，也即. 因为，所以，即. 在中，由余弦定理知，， 所以. 4．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在中，内角的对边分别为．若． (1)已知，求三角形的三边长； (2)若，为中点，求外接圆半径． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1） ，解得或， 又由题意知：，∴，∴满足条件 ∴，即为三角形的三边 （2）∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∵，   ∴， 当时，边最长，与条件矛盾，故舍去； 当时，则，又， ∴，解得：， ∴,∴, 又∵为中点，∴， ∴在中，， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，即， ∴的外接圆半径为． 5．（25-26高三上·福建福州·期末）记的内角所对的边分别为，. (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，整理得：， 由正弦定理，可得， 即， 因为， 所以， 又，则， 所以，即，所以. （2）由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则， 故外接圆面积的最小值为. 6．（25-26高三上·云南保山·期末）记的内角的对边分别为，已知，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，点在边上，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）∵由二倍角公式， 则，且， ∴，整理得 又，∴， 又∵，∴，，即， ∴是等腰三角形. （2）由（1）知，，且，∴， ∴ ∴在中，. ∴，即. 7.（2025·河南信阳·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)若为锐角三角形，，求c的取值范围； (2)若，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）根据正弦定理得， 因为，化简得， 即，． 因为是锐角三角形，C为锐角，， B为锐角，所以，由，得， 从而解得，于是． 因为，所以． （2）因为， 所以， 所以，所以， 即． 由正弦定理得， 所以都不为直角， 即． 8．（25-26高三上·海南海口·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，证明：为等腰三角形． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由 及正弦定理，得 ， 即 ，又, 所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． （2）证明：由题意得， 故 ． ① 由余弦定理，得 ， ② 由①②，得 ，即 ， 所以 ， 所以 为等腰三角形． 题型二、三角形的面积与周长 ⑴对于面积公式,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式； ⑵与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化； ⑶与周长有关的问题，要用到余弦定理和完全平方公式的变形，即。 1．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） ， 因为，所以， 所以由. （2）由上可知， 因为的面积为， 所以， 所以由余弦定理可知 ， 所以的周长. 2．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）在中，点D在边上，且，． (1)若，求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以，解得． 在中，由余弦定理得， 即， 解得（舍去）． （2）因为，所以． 在和中，由余弦定理得， ， 所以，， 两式相加可得， 解得（舍去）． ， ． 3．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 则， 在中，，则且， 所以，即，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，且的外接圆的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 所以， 又因为，所以，所以； （2）由（1）得，又，所以， 设的外接圆的半径为， 因为的外接圆的面积为，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 又，所以，解得， 所以的周长为． 5．（2026·江西赣州·一模）在中，角的对边分别为，且. (1)若，求的值. (2)若的内切圆的面积为，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以 在中，因为，所以有，即得，即， 因为，所以，即得，， 所以. （2）内切圆的面积为，所以内切圆半径， 又，则有， 由余弦定理得 ， 所以，解得或（舍）， 所以， 则. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1)；(2)10 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 7．（2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 且， 所以，整理得， 即. 所以或. 因为，所以，所以. 所以，所以，. （2）因为，， 所以由余弦定理，得 ，即，，所以. 所以. 所以的面积为. 8．（25-26高三上·安徽滁州·期末）在中，角，，的对边分别为，，.已知，. (1)求，并判断的形状； (2)若，且，求的面积. 【答案】(1)，是等腰三角形；(2) 【详解】（1）因为，所以，则， 由，以及正弦定理可得， 则，得， 因为，所以，则， 又因为，所以， 故是等腰三角形. （2）由（1）知，，则. 由得，， 由，得，得，故. 则的面积为. 题型三 与中线有关的解三角形 在中，内角所对的边分别为，若是中点，则解题思路一般有两种： ⑴利用向量：，所以； ⑵利用余弦定理：利用找到中线与边的关系。 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【答案】(1)2；(2) 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 2．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【答案】(1)；(2)5 【详解】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 3．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）的内角的对边分别为，. (1)求角； (2)若，边的中线长，求的周长. 【答案】(1)；(2)6 【详解】（1）由， 根据正弦定理得：， 因为，所以， 整理得，则， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入得，， 化简得，解得， 所以，又，所以为正三角形， 的周长为. 4．（25-26高三下·湖北武汉·月考）在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意可得，因为，所以， 化简得， 则，所以. （2） 设中点为，可得，， 所以，化简得， 即， 由（1）可知，即， 所以，所以. 5．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且． (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有， ． （2）由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当时，“”成立． 是的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． 6．（25-26高三上·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 题型四 与角分线有关的解三角形 在中，内角所对的边分别为，若是内角的平分线，则解题思路一般有两种： ⑴利用内角平分线定理：； ⑵利用等面积法：。 1．（2026·安徽淮北·一模）在中，分别为内角所对的边，满足：. (1)求角； (2)若，求内角平分线的长． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由． 故，而，得． （2）由， 设的长为，由． 即的长为． 2．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3；(2)(3) 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 【答案】(1)；(2)9 【详解】（1）由及正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，即， 又∵，， ∴，∴； （2）由题可知，， 在中由正弦定理得①，②， ①÷②得，即． 又，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）在中，内角的对边分别是，且． (1)求的大小； (2)若，为的角平分线，且，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由得， ， 所以， 即， 因为，所以， 则，所以． （2）中，由余弦定理得， 即①， 因为为的角平分线， 所以， 即②， 联立①②，解得， 所以． 5．（2025高三·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于，，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1)；(2)2；(3) 【详解】（1）由及正弦边角关系，得， 因为，即， 则有 ， 由，因此， 则， 由，得，解得， 又，所以； （2） 由，得，，则， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， ∴， ∴； （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又， 则， 所以，即，解得， 令的中点分别为，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 6．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 7．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 题型五、与高线有关的解三角形 在中，内角所对的边分别为，若是边上的高，则解题思路一般利用等面积法：。 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 所以， . （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为， 则， 则， 故边上的高为. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若，求AB边上的高. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得，所以， 所以 因为，所以， 又因为，所以，所以； （2）设AB边上的高， 由三角形面积公式得， 因为，所以， 因为为的内角，所以， 因为，由正弦定理得，所以. 4．（25-26高三上·河北沧州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. (1)求的外接圆半径； (2)若，，求中边上的高的值. 【答案】(1)7；(2)或. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由三角形面积公式有，故，则， 又，故，即. 故的外接圆半径为7. （2）由，且， 所以，所以. 在中，由余弦定理， 解得或， 所以边上的高或. 5．（25-26高三下·云南昆明·月考）在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由已知得， 因为，所以，，所以. （2）设角所对应的边分别为， 因为的面积，则， 由正弦定理得， 因为，所以， 即，由，得， 所以， 所以，因为，解得. 6．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 【答案】(1)；(2)2 【详解】（1）由可得，     由正弦定理得，   所以，     因为，所以，     因为，所以． （2）依题意，，设BC边上的高为， 由，可得，      由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立，     因此， 所以BC边上的高的最大值为2． 7．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知在中，. (1)求的值； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， ， ， 所以 解得， 又因为， 又因为为三角形内角，故 则. （2） 设，高为，则面积. 由面积公式， ， 得. 由，， 得 代入余弦定理：， 得， 代入，得 . 8．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 题型六、多三角形或四边形的解三角形 求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系。 具体解题思路： ⑴把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后再各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； ⑵寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果； 做题过程中，要用到平面几何的一些知识点，如相似三角形的边角关系，平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。 1．（2026·山东·模拟预测）在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，如下图： 设，则，可得， 所以，. 设，则， 在中，由正弦定理得，，则， 因为，所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，，则，所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以． 方法二： 由（1）知，，则，所以，. 所以，在中，由勾股定理得． 2．（25-26高三上·江西景德镇·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，点是边上一点，且，求的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即， 则， . ，即. ，，那么，解得. 又，. （2），， 即，两边同时平方： ， ，， ， ， ，即. 3．（2026·山东日照·一模）在中，角的对边分别为，若． (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由和正弦定理，得， 因，则， 代入化简得 ，即， 则， ，解得. （2）令，， 在中，由正弦定理得，， 因，则①. 在中，由正弦定理得，, 因,则②, 由①②得，,即， 因为，则得，解得， ， 设外接圆的半径， 由正弦定理，. 4．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，由余弦定理知， 即， 解得， ； （2）在中，由正弦定理知，解得， 又在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，由正弦定理得， 解得. 5．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 6．（2026·陕西铜川·一模）设的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若点D是BC边上一点，，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为在的内， 所以 则， 可得， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以. （2）因为，所以. 由（1）可知， 则. 如图，设， 则. 在中，，即， 在中，由正弦定理得， 可得 ， 又因为，所以， 又，故， 即， 可得，即， 故，故为锐角， 又，为锐角，则， 所以的值为. 7．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，. (1)证明：； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：设，，. 在中，由余弦定理：，即. 在中，由余弦定理：，即. 又，. 又，即，，代入上式展开化简得：，解得. ，即. （2）由（1）知，，. 在上取一点，使， 因为，，，所以， 设，，，,则. ，即，. ，. 即，解得或（舍）. 即，. 在中，由正弦定理得：，得. 又，即，解得或（舍）. 在中，由余弦定理得，解得. 题型七、利用基本不等式求最值 在中，如果已知一个角及其对边，假设已知，根据余弦定理，即可得到与的等量关系。 ⑴求面积最值时，，即求最值. 在等量关系中利用基本不等式，即可得到的最值； ⑵求周长的最值时，即求的最值. 在等量关系中，把换成，再利用基本不等式，即可求得的最值。 1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）在中，角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即，可得， 又因为，所以. （2）因为，，由余弦定理可得， 即，可得， 又因为，即，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 2．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 3．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 4．（25-26高三下·山东·月考）在中，内角的对边分别为，且． (1)若，求的值； (2)若均为锐角，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以，两边平方可得， 即，由，可得，解得或， 因为，故,所以. （2）因为，所以, 即， 整理得， 两边同除以，得. 即，且， ， 当且仅当时，即. 所以的最小值为. 5．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 6．（25-26高三上·福建福州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，，求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理，将化为， 整理得： 因为，所以，即. 由于，，得，则. 设，在中，由正弦定理， 代入、，得：. 因为是角平分线，，由二倍角公式：. （2）因为是角平分线，，. 由面积关系，得： 化简可得：即. 在中，由余弦定理，代入和， 得： 将代入上式： 整理得： 由基本不等式，得， 代入上式： 当且仅当时取等号，故的最小值为. 7．（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 所以， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. （2）解：因为为边上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为. 8．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即， 又因为，所以，所以， 又，所以. （2）恒成立， 即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的最小值为. 9．（25-26高三上·湖北武汉·期末）记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【答案】(1)3；(2) 【详解】（1）因为， 则， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则， 可得，即， 若，所以. （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 即， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 题型八、转化为三角函数求最值（范围） 三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其它的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围。 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ，∵，所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）在锐角中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 在中，， 代入整理可得， 又，则，可得，即， 又，则，则，可得. （2）由余弦定理可得. 因为为锐角三角形，且，所以，， 所以. 由，所以，所以，即. 所以当，即时，即为等边三角形时，取得最大值. 3．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的面积为． (1)求； (2)求a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得， 所以， 由余弦定理及， 得， 因为，所以． （2）由（1）得，又因为A为锐角，所以． 所以，则． 因为为锐角三角形，所以，即． 由正弦定理得， 令， 则， 因为，所以． ， 因为，所以． 所以， 故． 4．（25-26高三上·江西抚州·期末）在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足， (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）整理得， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， （2）在锐角中，有，则， 所以， 因为 因为，所以，所以， 所以，所以 5．（2026·浙江·模拟预测）已知的外接圆半径为2，的内角A，B，C的对边分别为，且. (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)钝角三角形；(2) 【详解】（1）因为，由余弦定理得，即. 故，所以，故C为钝角， 所以△ABC为钝角三角形. 另解：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 即，即， 因为，所以， 所以，故C为钝角， 所以为钝角三角形. （2）的外接圆半径为. 由题，由正弦定理， 得，即. 由（1）知C为钝角，所以. 又. 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，取得最大值，即的最大值为4. 又， 所以的周长的最大值为. 6．（2026·甘肃·一模）如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 化简得，即，解得； （2）因为， 所以在的延长线上， 如图，故， 所以 . 因为，所以， 解得， 所以的取值范围为. 7．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)最大值；最小值4 【详解】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 8．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由正弦定理，，，可得： ， 又， 所以，因为， 化简可得：， 因为是锐角三角形，， 故； （2）由得，即， 因为是锐角三角形，所以， 解得， 由得， 故， 代入得： ， 因此的取值范围为. 9．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 题型九、转化为其它函数求最值（范围） 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解。 1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知在中，，点满足，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)；(2)2；(3) 【详解】（1）如图， 因为， 所以由正弦定理可得， 所以. （2）因为，点满足， 所以， 在中，由正弦定理可得：， 因为 ， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得：， 即， 由（1）知，，代入上式， 可得 ， 即，所以. （3）由（2）知，， 在中，由余弦定理可得： 令， 由可知，，故， 则，可得，即， 则， 故， 当时，单调递增，所以， 故. 2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形中，，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在中，， 在中，， 因为，所以，且， 所以. （2）在中，设 ，. 所以，. 所以 设，， 设，则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以. 3．（25-26高三上·辽宁·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在中，由正弦定理可得： ，    又因为，则， 所以， 化简整理得， 则，    因为为锐角三角形，， ， 所以. （2）在锐角三角形中，由（1）， 得， 所以由， 可得， 所以 令，所以上式，   在上单调递增， 所以， 即 所以的取值范围为. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）在中，角是的内角，且. (1)求； (2)若为边BC的中点，且，，求的面积； (3)求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)0 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 整理得， 又，所以， 所以，又，所以. （2）因为为边BC的中点，所以， 因为，，， 所以 ， 即，解得，即，所以. 所以，即的面积为. （3）法一：由正弦定理得 . 令，由知. 当时，； 当时，，此时. 综上，. 令，， 易知，故， 即当且仅当时，取得最大值0. 法二：由余弦定理得，则 . 由正弦定理得， 令，由知， 当时，；当时，， ，此时. 综上，. 令，， 易知，故， 即当且仅当时，取得最大值0. 题型十、解三角形中的结构不良题 该类型题目给出多个条件，需从中选择一个或两个补充条件来解题，可能因选择不同导致三角形存在或不存在。 解题策略： 1. 逐个代入选定条件； 2. 结合正弦定理（边化角）或余弦定理（角化边）验证三角形是否存在； 3. 注意条件间的逻辑一致性（如是否矛盾）。 1．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． (1)求； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，求． ①面积为； ②边上的中线长为； ③，，成等差数列． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，故， 由于是锐角三角形，则，故， 由正弦定理，故， 由，故； （2）由余弦定理，得到； 选择①面积为：则，即， 又由于，则，故， ，故，则； 选择②边上的中线长为：设为边上的中线， 则，即有， 即，又由于， 则，，则，故， ，故，则； 选择③成等差数列：则，， 又由于，则，， 则，故，则. 2．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在中，因为为钝角，所以， 由，则， 因为，所以，即， 由正弦定理，，所以，解得， 由，所以. （2）选择①：因为，所以，这与矛盾，不满足题意； 选择②：因为，， 所以， 代入中得出， 由，所以， 所以 ， 所以； 选择③：将代入中得：， 由正弦定理，，所以， 由，所以， 由，所以， 所以 ， 所以. 3．（25-26高三下·北京·开学考试）在中，为锐角，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积及边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）在中，由正弦定理， 所以 因为， 所以． 又，所以， 因为为锐角，所以． （2）条件①：， 因为是的内角，若为钝角， 则， ，不成立， 所以为锐角，即， 由正弦定理得： ，得， 又， 所以，， 设中点为M，由余弦定理， 得， 选条件②：由余弦定理， 代入得，判别式， 三角形不存在，不符合要求。 选条件③：，， 由余弦定理，解得，， ， 同条件①计算得中线长为. 4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）在中，角，，的对边分别是，，，且，且. (1)求角的大小； (2)为AC上的一点，，且______，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①BD是角的平分线；    ②为线段AC的中点. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，所以由正余弦定理得，化简得， 所以由余弦定理得， 又，所以. （2）若选①：BD是角的平分线，则， 因为， 所以， 故即， 又由余弦定理得，即， （舍去）或， 所以的面积为； 若选②：为线段AC的中点，则， 所以，则由余弦定理得， ，即，所以， 又由余弦定理得，即， 所以的面积为. 5．（25-26高三上·北京房山·期末）在中，，． (1)求的值； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长． 条件①：边上的高为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(2)选择条件，答案见解析. 【详解】（1）由可得，，即， 由正弦定理可得，，所以. 又，所以. （2）已知，，， 所以为锐角，且. 条件①：边上的高为，则，即，所以. 又， 所以，所以， 综上，，，，所以存在且唯一.    在中，，，， 所以. 故边上中线的长为. 条件②： 由可得，，又，所以可以为钝角，也可以为锐角，不唯一. 条件③：，则为钝角，此时存在且唯一. . 由可得，.    在中，，，， 所以, 整理得，，解得或（舍去）. 在中，，，， 所以. 故边上中线的长为. 题型十一 与三角函数的图像与性质、三角恒等变换的融合 在解三角形的大题中，三角函数与三角恒等变换的融合是高考数学的高频考点，通常以正弦定理、余弦定理为基础，结合三角恒等变形技巧进行综合考查 解题步骤： 1. 利用三角形内角和定理转化角度； 2. 边角互化； 3. 应用三角恒等变换公式（和差角公式、倍角公式、辅助角公式、降幂/生幂公式、半角公式等）化简； 4. 结合隐含条件求解。 1．（2026·广东佛山·一模）已知函数，，且恒成立． (1)求的解析式； (2)记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，得，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理，得． 2．（2026·山西朔州·一模）已知的内角所对的边分别为. (1)若，求； (2)证明：. 【答案】(1)5；(2)证明见解析 【详解】（1）因为，再由余弦定理得， 化简整理得. （2）因为，再由正弦定理得，， 又因为在三角形中，所以， ，所以， 所以。 3．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数. (1)写出函数的最小正周期和所有的严格单调递增区间； (2)在中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，，且，求的周长. 【答案】(1)；严格单调递增区间为，；(2) 【详解】（1）解：. 所以函数的最小正周期为； 由，得，. 因为， 所以函数的严格单调递增区间为，. （2）解：由，得. 所以或，. 因为B是三角形内角，所以. 因为，所以. 又，所以. 所以，则， 所以的周长为. 4．（2026·福建龙岩·一模）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，，，的面积为，求边的长. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）因为， 又为的内角，则 故， 所以，所以. 设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得.① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以. 5．（2026·广东佛山·二模）已知函数的图象经过． (1)求函数的表达式； (2)在中，角所对的边为．已知，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）函数的图象经过，所以， 所以，且， 所以，所以， 即得； （2）在中，，所以， 且，且，所以，即， 所以，即得， 由正弦定理，所以， 所以，即得， 所以， 即得，， 所以， 所以. 6．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数的最小正周期为，其图像过点． (1)求和的值 (2)设的三边，，的对角分别为，，，已知为锐角，且，，，成等差数列，求证：为等边三角形． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由于的最小正周期为，其图像过点，故 ， 结合，故， （2）由（1）知，故, 故，则， 由于为锐角，故取，则， 根据，，成等差数列，可得， 由余弦定理可得， 故，化简可得， 故，又，因此为等边三角形. 题型十二 解三角形与其它模块的融合 1. 解三角形与平面向量的融合； 2. 解三角形与数列的融合； 3. 解三角形与立体几何的融合； 1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知． (1)当时，求的值域； (2)在中，、、分别是角、、所对的边，若，且，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， 因为，所以，所以， 故，则在上的值域为. （2）因为，所以，则， 故， 又因为，所以， 又因为，所以由正弦定理，得，同理可得， 因为，，，， 所以 ， 因为，则，所以， 所以当，即时，最大值为． 2．（2026·吉林·模拟预测）已知的内角的对应边分别为，且． (1)求； (2)若，数列的通项公式为，设为数列的前项和，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 于是，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，，而，则，又，则由正弦定理得， 因此，函数的最小正周期为3， 因此数列是以3为周期的周期数列， ，而， 所以. 3．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)设分别是内角的对边，若，成等比数列，求证：成等比数列，并求公比的取值范围. 【答案】(1)；(2)证明见解析，公比的取值范围是. 【详解】（1） . 由，可得. 因为，当时，；当时，； 所以在上的单调递增区间为. （2）由（1）知， 则，，. 因，成等比数列，则， 即，也即， 由正弦定理得，所以成等比数列，因，则， 由余弦定理，可得， 因为，所以，即. 解得，所以公比的取值范围是. 4．（2026·福建福州·模拟预测）如图1，圆内接四边形中，为等腰直角三角形，且，，. (1)求的长； (2)如图2，将沿翻折，形成四面体，当时， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）找出一组依次排列的四个相互平行的平面，，，使得，，，，且其中每相邻两个平面间的距离都相等，并求出相邻两个平面间的距离. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii），，，； 【详解】（1）方法一：在圆内接四边形中，为等腰直角三角形，， 所以， 在中，因为，， 所以，，所以. 在中，， 由余弦定理得 ， 所以. 方法二：在圆内接四边形中，为等腰直角三角形，， 所以是圆的直径，. 在中，，， 所以，，， . 由正弦定理得，又， 故. （2）方法一：以的中点为原点，以，方向为x，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，. （i）设，由（1）可知，，， 又因为， 所以 解得，，，即， 则. 取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ii）如图所示，取的三等分点P，Q，的中点M， 过三点D，P，M作平面，过三点，Q，C作平面， 因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又因为，所以平面平面， 再过点A，C分别作平面，与平面平行， 那么四个平面，，，依次相互平行， 由线段被平行平面，，，截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故，，，为所求平面. 由（i）可知，，， 所以， . 设平面的法向量，则 即可取， 所以点到平面的距离. 故相邻两个平面间的距离为. （方法二） （i）设的中点为，的中点为，的中点为M， 连接，，，. 由（1）知，，则， 又因为，，所以平面， 所以平面平面. 过点作交直线于点，连接， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的射影，为直线与平面所成角. 由（1）知，，，则，. 又因为，，所以， 所以，则. 在中，. 所以，得， 所以，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ii）以为原点，以，方向为x，y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 设平面的法向量， 由（i）可知， 所以，，. 由，，，两两平行且每相邻两个平面间的距离都相等， 可得， 从而， 由可得或. 若，由得， 从而或. 若，由得， 从而或. 综上，可得，或， 或，或. 当或时，由于， 此时， 从而点B在点D与所确定的平面上，与条件矛盾，舍去； 当，由于，此时， 从而点A在点C与所确定的平面上，与条件矛盾，舍去； 当，可求点A到平面的距离， 此时，，，分别为过A，D，C，B，且以为法向量的平面， 所以相邻两个平面间的距离为. 限时作业 （建议用时90分钟） 1．（2026·河北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求BC边上的高． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理得, 所以， 从而可得； （2）由（1）可得，，， 则的面积， 设BC边上的高为， 则，所以， 故BC边上的高为. 2．（2026·重庆九龙坡·一模）如图，中，为上一点，． (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）令，， 由为钝角，为等腰三角形，得， 又为等腰三角形，且，则， 在中，，则， 所以的面积为. （2）法1：在中，由，得，而，， 由，得， 由，得， 则， 因此，即，又， 所以. 法2：在中，，由余弦定理得， 而，即，又，则， 即，于是，解得， 则，解得， 所以. 3．（25-26高三上·重庆·月考）如图是函数，一个周期内的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式; (2)在△ABC中， 若， AB=2， BC=3， 求AC. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由图象可知，周期 ，因此; ，即， 所以 ,所以 因为，所以， 所以， 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变得到 ， 将图像向右平移个单位长度得到. 所以. （2）因为，所以,所以， 因为,所以 ,所以，所以. 由余弦定理，， 即， 所以. 4．（25-26高三上·湖南·月考）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以， 即，化简得， 又， 所以，又，，故， （2）如图：过作于，则，， ，又，所以. 5．（25-26高三上·安徽·月考）如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：； (2)已知的外接圆半径为1. （i）若，求； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）；（ii） 【详解】（1）设， 因为，所以． 在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得，， 所以． （2）（i）因为的外接圆半径为1，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得，． 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 因为，即，所以． （ii）的面积， 由得，， 又，所以， 所以． 即面积的最大值为． 6．（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角所对的边分别为，已知 (1)求角； (2)若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】(1)；(2)(i)   ；  (ii) 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. （2）(i)∵，∴， ∴，∴，∴. ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 7．（25-26高三上·山东·月考）在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得， 即， 即， 而，故，所以， 即，因为，所以，所以． （2）因为为的平分线， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 因此 ． 又，所以，因此， 则， 当且仅当，即时，上式等号成立． 所以的最小值为． 8．（25-26高三上·山东·月考）已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，而为锐角，故. 延长交于点，所以. 因为，所以为的重心，所以； 所以. （2） 设的对边分别为，延长交于点， 由（1）知，是的重心，所以为线段的中点，且. 因为为的中线，故， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 而，故， 故即， 所以. 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 真题呈现 1．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6；(2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 6．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1)；(2)6 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 10．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 13．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析；(2)14 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 14．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 15．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 16．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质 如图，作，交于点E，则． 由，得． 在中，． 在中． 因为， 所以， 整理得． 又因为，所以， 即或． 下同解法1． [方法五]：平面向量基本定理 因为，所以． 以向量为基底，有． 所以， 即， 又因为，所以．③ 由余弦定理得， 所以④ 联立③④，得． 所以或． 下同解法1． [方法六]：建系求解 以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴， 长为单位长度建立直角坐标系， 如图所示，则． 由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动． 设，则．⑤ 由知，， 即．⑥ 联立⑤⑥解得或（舍去），， 代入⑥式得， 由余弦定理得． 17．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 18．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： . 19．（2021·天津·高考真题）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 1 / 112 学科网（北京）股份有限公司 $