考点5.2 有关三角形的面积及周长问题 专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点5.2 有关三角形的面积及周长问题 考点5.2 有关三角形的面积及周长问题 1 一、已知条件直接求解三角形面积 1 （一）利用面积公式直接求面积 1 （二）结合正弦定理或余弦定理求面积 2 二、已知三角形面积反求边长或周长 2 （一）已知面积及部分边角，求周长 2 （二）已知面积与其他条件（向量、高线等）求周长 2 三、三角形面积或周长的最值问题 3 （一）求周长的最大值 3 （二）求面积的最值 3 四、选择条件型或探索型三角形面积/周长问题 3 （一）选择部分条件补全问题后求解 3 （二）含参数的三角形面积最值探索 3 五、几何背景下的三角形面积最值问题 4 （一）动点与三角形面积和的最值 4 参考答案 5 第一部分：答案速查表 5 第二部分：逐题答案与详解 5 第三部分：试题来源表 12 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 一、已知条件直接求解三角形面积 （一）利用面积公式直接求面积 1.（2026·佛山·二模） 在 中， ， ， ，则 的面积为 A. B. C. D. 2.（2026·南昌·二模） 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 的面积为 A. 2 B. C. D. 4 （二）结合正弦定理或余弦定理求面积 3.（2026·江西·二模） 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ，求 的面积. 4.（2026·鞍山·二模） 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，求 的面积. 5.（2026·资阳·二模） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，求 的面积. 6.（2026·宜春·二模） 在 中，角 所对的边分别为 ， ， ， ， 为 外一点，且与点 位于直线 的同侧， ， ，求 的面积. 二、已知三角形面积反求边长或周长 （一）已知面积及部分边角，求周长 7.（2026·广州·二模） 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ， ， 的面积为2，求 的周长. 8.（2026·深圳·二模） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，若 的面积为1，求 的周长. 9.（2026·湛江·二模） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，且 的面积为 ，求 的周长. 10.（2026·东营·二模） 已知 的角 的对边分别为 ，满足 ， ， 的面积为1，求 的周长. 11.（2026·台州·二模） 在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ， ， ，求 的周长. （二）已知面积与其他条件（向量、高线等）求周长 12.（2026·九江·二模） 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，若 ， ，求 的周长. 13.（2026·济南·二模） 记 的内角 的对边分别是 ，已知 ， ，若 边上的高为 ，且 ，求 的周长. 14.（2026·昆明·二模） 在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，若 的面积为 ，求 的值，并判断 是否为锐角三角形，再求其周长. 三、三角形面积或周长的最值问题 （一）求周长的最大值 15.（2026·蚌埠·二模） 在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ， ，求 周长的最大值. 16.（2026·山西·联考） 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ， ，求 的最大值. （二）求面积的最值 17.（2026·德阳·二诊） 在 中，内角 的对边分别为 ，已知该三角形的面积 ， ，求 面积的最大值. 18.（2026·安徽A10联盟·联考） 已知长方形 中， ，点 分别在线段 上（不含端点位置），且 . （1） 若 ，求 的面积； （2） 求 面积的最小值. 四、选择条件型或探索型三角形面积/周长问题 （一）选择部分条件补全问题后求解 19.（2026·湖州/衢州/丽水·二模） 记 的内角 的对边分别为 . 已知 . （1） 求 的值； （2） 若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，并求边长 的值. 条件①： ；条件②： ；条件③： （二）含参数的三角形面积最值探索 20.（2026·绍兴·二模） 在 中，角 的对边分别为 ，面积为 ，当 （ 为常数）时， 的最大值为 ，则 ____. 五、几何背景下的三角形面积最值问题 （一）动点与三角形面积和的最值 21.（2026·聊城·二模） 如图，线段 ， 和 为其三等分点， 为半圆 上一动点， 为等边三角形，则 和 面积之和的最大值为____. 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C 序号 8 9 10 11 12 13 14 答案 20 a=3，周长为8 序号 15 16 17 18 19 20 21 答案 （1） ; （2） （1） ; （2） 选①， 或 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案：C 详解：在 中，已知 ， ， 首先利用正弦定理 ，可得 因为 ，所以 由于 为钝角，因此 必为锐角，故 ，则 最后利用三角形面积公式 对应选项 C. 2. 答案：C 详解：在 中，已知 由正弦定理 （其中 为外接圆半径），可将该等式转化为边的关系 另一方面，由余弦定理知 ，对比两式可得 ，因为 ，所以 由于 ，可得 已知 ，则三角形的面积 对应选项 C. 3. 答案： 详解：（1） 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，由 ，得 （2） 由 ，得 ，则 ，因为 ，所以由 得 ，则 的面积 4. 答案： 详解：（1） 由正弦定理可得 ，因为 , , ，所以 ，整理得 ，因为 ，所以 （2） 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，，因为 ，，所以 ，又 ，所以 5. 答案： 详解：（1） 由 及正弦定理，得 ，因为 ，，所以 ，即 ，得 ，因为 ，（2） 将 代入 ，得 ，解得 ，，所以 的面积 6. 答案： 详解：（1） 因为 ，所以 ，即 ，整理得 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，又 ，则有 ，所以 （2） 因为 ，，，所以在 中，，所以 ，所以 ，由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 7. 答案： 详解：（1） 在 中，由 ，及正弦定理得 ，又 ，所以有 ，由题意得 ，，所以 ，得 （2） 由 ，解得 ，由 ，解得 ，由余弦定理得 ，则 ，所以 的周长为 8. 答案： 详解：（1） 由余弦定理：，及已知 ，可得 ，即 ，且 ，则 ，由正弦定理及 ，得 ，又 ，故 ，从而 ，由 ，不妨设 ，由余弦定理得 ，即 ，由正弦定理，（2） 由（1），，，可得 ，由正弦定理，，，由 ，解得 ，则 ，故 的周长为 9. 答案： 详解：（1） 由 及正弦定理，得 ，因为 ，所以 ，整理得 ，因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 （2） 由 且 得 ，由余弦定理 及 得 ，所以 (负值舍去)，故 的周长为 10. 答案： 详解：（1） 因为 ，由正弦定理得 ，因为 ，故 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，故 （2） 因为 的面积为1，所以 ，即 ，由余弦定理得 ，则 ，所以 ，所以 的周长为 11. 答案： 详解：（1） 已知 ，由正弦边角关系得 ，因为 ，所以 ，应用辅助角公式可得 ，而 ，所以 （2） 由余弦定理得 ，代入 得 ，又 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 ，故 的周长为 12. 答案： 详解：（1） 由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，即 ，由 ，得 （2） 由 得 ，又 ，所以 ，由余弦定理及 ，得 ，即 ，得 ，所以 ，所以 ，故 的周长为 13. 答案：20 详解：（1） 因为 ，由正弦定理得：，即 ，所以 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 或 ，因为 ，所以 ，又因为 ，得 ，所以 为等腰三角形.（2） 因为 ，所以 ，代入 得：，所以 ，解得 (舍)或 ，因为 ，所以 ，又 边上的高为 ，不妨设该高为 ，则 ，由 得 ，由 ，由余弦定理 ，代入 ，得 ，解得 ，所以 的周长为 14. 答案：，周长为 8 详解：（1） 由正弦定理可知：，又因为 ，所以 ，在锐角 中，因为 ，所以 （2） 因为 的面积为 ，所以 ，由余弦定理，得 ，因为 ，且 ，所以 是锐角三角形，所以 符合题意，故周长为 15. 答案： 详解：（1） 由 ，得 ，在 中，由正弦定理，得 ，因为 ，所以 ，即 ，则 ，得 ，又 ，所以 （2） 在 中，由余弦定理，，化简得 ，所以 ，即 ，当且仅当“”时等号成立，从而 ，即 周长的最大值为 16. 答案： 详解：（1） 在 中，由正弦定理及 ，得 ，所以 ，所以由余弦定理得 ，由 知 ，又 ，所以 （2） 在 中，，由正弦定理得 ，所以 ，其中锐角 满足 ，当 时， 取得最大值 ，此时 ，所以 的最大值为 17. 答案： 详解：（1） 在 中，，而 ，即 ，所以 ，由余弦定理得 ，故 （2） 由（1）知，，，而 ，于是 ，即 ，当且仅当 时取等号，因此 的面积 ，所以当 时， 面积取得最大值 18. 答案：（1） ; （2） 详解：（1） 因为 ，故 ，则 ，，所以 （2） 设 ，则 ，，所以 ，因为 ，当且仅当 时等号成立，故 面积的最小值 19. 答案：（1） ; （2） 选①， 或 详解：（1） 由余弦定理得 ，整理得 ，由正弦定理得 ，因为 ，所以 （2） 若选择条件①：由（1）可知，，由 得 （i），又由余弦定理得 ，解得 （ii），由（i）（ii）式得 ，或者 ，因此所求 的值是 或者 若选择条件③：由（1）可知，，又 ，所以 ，故 ，所以 ，化简得 ，得 ，因此所求 的值是3. 20. 答案： 详解：由题意，三角形面积 ，余弦定理 ，已知 ，则 ，代入余弦定理整理得：设 ，则 ，目标式子 所以 令 ，分子为 ，分母为 欲使 的最大值为 ，则上述关于 的分式函数最大值应为 此函数取最大值时，对应导数为零，可解得参数 的值.通过最值分析（求导或利用二次分式最值条件），可推得 时满足题意.此时，存在 使得函数取得最大值 ，从而 的最大值恰为 21. 答案： 详解：由题意，， 为三等分点，故 在以 为圆心， 为半径的上半圆上 为等边三角形.设 ，则 所以等边三角形 的面积 的面积 所以面积之和 当 ，即 时， 取得最大值，此时 的最大值为 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·佛山·二模 第5题 2 2026·南昌·二模 第6题 3 2026·江西·二模 第15(2)题 4 2026·鞍山·二模 第15(2)题 5 2026·资阳·二模 第15(2)题 6 2026·宜春·二模 第15(2)题 7 2026·广州·二模 第15(2)题 8 2026·深圳·二模 第15(2)题 9 2026·湛江·二模 第15(2)题 10 2026·东营·二模 第15(2)题 11 2026·台州·二模 第15(2)题 12 2026·九江·二模 第15(2)题 13 2026·济南·二模 第15(2)题 14 2026·昆明·二模 第15(2)题 15 2026·蚌埠·二模 第15(2)题 16 2026·山西·联考 第15(2)题 17 2026·德阳·二诊 第15(2)题 18 2026·安徽A10联盟·联考 第16(2)题 19 2026·湖州/衢州/丽水·二模 第17(2)题 20 2026·绍兴·二模 第14题 21 2026·聊城·二模 第13题 $