解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 考点目录 边长、周长的最值与范围问题 面积的最值与范围问题 考点一 边长、周长的最值与范围问题 例1.(25-26高三上河南三门峡期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (2a+c)cosB+bcosC=0, (1)求B的大小 (2)已知b=√5，BD为AC边上的高，求BD的取值范围. 【答案】（①）B=2如 【详解】(1)由2a+c)cosB+bcosC=0, 用正弦定理得2 sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0, 化简得：2sin4cosB+sin(B+C)=0, 又∠A+∠B+∠C=π，∴.sin(B+C)=sinA, 从而2 sinAcosB+sinA=0,:sinA≠0， 得cosB=-)又0<B<元：Bs红 3 b =-c =2 (2)由正弦定理得：sinB sinC√3 2 所以c=2sinC, 在R44BD中，BD=AB-smA=2snC-smG-C =2sin C. Bcoc-incinccoc-sin'c sinc-d-ow2c)-sim 因为0<2C<号·所以g<20+g<g 6 66 所以mc+1,即00 61 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 例2.(25-26高二上贵州遵义期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=√5 (1)若AB.AC=2,求ABC的面积； (2)若a=√5，求ABC周长的取值范围， 【答案】(I)5 2(25,3V5] 【详解】(1)由tanA=V5,及0<A<元得A= 3 又AB.AC=AB.AC cos A=2所以ABAC=4, 所以48C的面积5=C=)×4x5-5 2 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A, 又a=5,A=于，所以3=+c2-bc 又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号)， 所以3=b2+c2-bc≥bc,即bc≤3 因为(b+c2=b2+c2+2bc=3+3bc≤12， 所以b+c≤2√3（当且仅当b=c时取等号）， 又b+c>a=√5， 所以V5<b+c≤25,2V5<a+b+c≤35， 所以ABC周长的取值范围是(2V5,3V5] 例3.(25-26高三上·贵州黔西南月考)己知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、bc,且满足 ccosB+bcosC= a 2cosA (1)求A; (2)若c=2,求锐角ABC周长的取值范围. 【答案】04-骨： 2)N5+3,2W5+6 【详解】(1)由ccosB+bcosC=,a sin CcosB+sin BeosC=sin A sin A →sin(C+B)= 2cosA 2cosA 2cos4' 因为在ABC中有C+B=元-A,所以上式可化为sin(π-A)=sinA=sinA 2cos4' 2 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 又因为如4)0，所以o4分又因为4e0,,所以4： a b a b2 (2）由正弦定理行：mAsm日sincsinssinc, 3 可得a= ,b=2sin B sin C sin C 所以ABC的周长为1=a+b+c= 5+2sinB+2=5+2sinB+2, sinCsinC sin C 因为锐角4Bc,可知B==A-C红C0,。 3 可得Ce ππ V3+2sim2π-c】 3+2 cos C+sin C 62 则周长可化为： 3 2 2 2+2= +2=V5l+cosC+3’ sinC sinC sinC 1+2cos2C-1 C coS- =V5 2 C +3+33 2sin cos2 C+3, sin 2 2 tan 2 由，e,a且an。a以大3 C(元π 3-3-5 12 “(46 1+1x53+店 3 所以tan 2 即1∈(N5+3,25+6), 故锐角ABC周长的取值范围为√5+3,2V3+6) 例4.(25-26高三上四川眉山月考)己知ABC的面积记为S.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 3AB.BC+2S=0. (1)若b=7，c=5,求a; (2)若ABC为锐角三角形，b=2,求a+c的取值范围. 【答案】(1)a=8 225,4 【详解】(1)由V5ABBC+2S=0,得-V5 accosB+2 acsinB=0, 因为a,c为三角形边长，所以ac≠0，所以simB=√5cosB, 若co8=0,则8-号sn8=1,代入得1=0，矛盾， 所以cosB≠0，方程两边同除以cosB得tanB=√5，又B∈(0，π)，所以B=文 3 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 根据余弦定理b2=a2+c2-2 accosB, 得72=a2+52-2-a-5cos即49=a2+25-5a,整理得a2-5a-24=0. 3 解得a=8或a=-3(舍去).所以a=8 a=b=c=2=45 (2)由sinA sinB sinc 45 nπ3，得a= 45 sinA,c= sinC, sin 3 3 3 因为B=,则A+C=2红， 3,C=2π一A 3 所以a+c=43 0<A<亚 因为ABC为锐角三角形，所以 则<A< 2π 6 2 0< -A< 3 2 所以25<4sinA+s4,即a+c取值范围为25,4 6 变式1.(25-26高三上安徽合肥月考)已知a,b,C分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，且 a=4csinAsinB-2acos(B-C). (1)求角A的大小； (2)求的取值范围。 b 【答案】04-号 o2) 【详解】(1)由正弦定理得sinA=4 sinCsin4sinB-2sin4cos(B-C), 因为Ae(0,π，所以sinA≠0， 所以1=4 sinBsinC-2cosB-C）, 所以1=2 sinBsinC-2 cosBcosC, 所以e8+G:号即co-所以4 3 2)根据正弦定理得e sinC s;+B 6 2 b sinB sinB sinB 2tanB2 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 由0)得4-骨8+c=号 3 0<B<号 B,C为锐角，所以 0< 2T-B< (6'2 3 2 其中tanB∈ ,+00 2tanB 即S 综上可知， 分的取值范围是 22 变式2.(25-26高三上山东青岛月考) ABC的内角4，B,C的对边分别为a,么c,已知asin4+C=bsin4, 2 (1)求B; (2)若b=2√5，求ABC周长的取值范围. 【答案】①号 (245,65] 【详解】(1)由正弦定理得sin4sin4牛C=-sin Bsin. 2 因为sinA≠0，所以sin4+C=sinB. 2 所以sinπ-B」 -=sin B, 2 所以cosB=2sin9cosB BB 2 22 B B 1 因为50引，os20,所以sm22 a=23 2)由于8-骨，b=25,有正弦定理insinsinc, 3 所以a=4sinA,c=4simc,由于C=2-A, 3 a+6+e=25+4m4+4snc=25+4n4+4sn(行- =25+25cos4+6m4=45m4+825 因为4所以m+引经 因此(a+b+c)e45,65 变式3.(25-26高三上安徽阜阳期末)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,已知 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 2sinB cosB cosC=sinAb= b c sinC (1)求B: (2)记ABC的面积为s,周长为1，求S的取值范围 【答案】0)8-号 5-111 【详解】(1)由正弦定理得： 2sinB cosB+cosC） 2sinB ccosB+bcosC 2sinB sinCcosB+sinBcosC b b b sinC 2sinB sinAsinA b sinC sinC 又si4*0,sinC≠0.b=v5si血B= 2 又ABC为锐角三角形，：B= 3 2)由余弦定理回知，cosB=+C0=,即(a+c}-=3ac, 2ac ac a+c-b a+c+b 3 1 atb+c4 atbic=12(atc-b) 由正弦定理得a=b sinA sin B sinC =2R,又2R=b =2, sinB sind+Rinci) 0<A<π 2 又 臣4+Bx 君4受可得3<a+≤2， 6 4’4 变式4.(2026湖北模拟预测)记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=b+2csin (1)求C; ②)若4BC为锐角三角形，且外接圆直径为25，求2+3c'的取值范围 2b 【答案】)C-骨 6 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 a6号 【详解】(1)易得2a=b+2 esin 4-=b+V5 esin A-co, 6 由正弦定理得2sinA=sinB+3 sin Asin C-sin Ccos4, sin B=sin(A+C)=sin AcosC+sin Ccos A, 故2sinA=√3 sin Asin C+sin AcosC, 易知sinA≠0， sinC+cosC2sinC 即c+别}1. 又因为Ce(0,π)， 所以c+8管2. 所以C+=工， 62 解料C-骨 (2)因外接圆直径为2√5， 则由正弦定理可知 c=b=25, sinC sin B 故6=25sin8,c=25sm号-3， 因为ABC是锐角三角形， 0<B<号 所以 N0A=3-B交 2 6 则b=25 sin Be(V5,25), 所以25+3c-h+27,be小N5,25) 2b 2b 由对勾压数的性质可红，=b+受、5,2、同可上单调递该。 放2少的以值范用为任5号5 2b 7 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 考点二 面积的最值与范围问题 例1.(25-26高三上·福建漳州月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b-c=2 a cosC,b=2. (1)求A: (2)若D为BC中点，且AD=√万，求ABC的周长； (3)若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取值范围. 【答案】0肾 (2)2V3+6 【详解】(1)因为2b-c=2 acosC,由正弦定理得2sinB-sinC=2 sin AcosC, 2sin(A+C)-sin C=2sin A cos C, 所以2 sin AcosC+2 cos A sin C-sinC=2 sin AcosC, 所以2 cos AsinC-sinC=0,因为Ce(0,π，所以sinC≠0， 所以2cs4-10,得cos4=由4e(0,得4=号： (2)因为D为BC中点，所以AD=AB+AC), 则而-肠+衣-丽+C+2丽C列， 所以7= +4+22引解得e=-6(会)或4， 4 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=4+16-2x2x4×=12,所以a=25, 2 所以ABC的周长为a+b+c=2V3+2+4=2√3+6； (3)在ABC中，由正弦定理得C。=b sinC sin B' 所以。-6snc.2sn(8+爱 sin B+3 cosB13 sin B sin B sin B tan B 1 所以S.4Bc= .21+ 1+ 5 tan B 22 tan B 8 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 0<B< 根据题意得 ，解得工<B< 0<C 2m-B< 2 所以tanB∈ 所以5 a公=0,3)·所以1+mB么4， 所以S△ABC 1+5e3,23 tan B 所以ABC的取值范围是 ,25 2 例2.(25-26高三上山东济南月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=bcosA+。a. (1)求角B的大小： (2)若ABC为锐角三角形. (1)求角A的取值范围； (i)设a=6,求ABC面积的取值范围. 【答案10B=号 (2)(i) ππ 62 (ii 95,85 【详解】(1)因为c=beos+2, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=sin B cos A+sin A, 2 所以sin Acos=)inA, 而A∈(0列，从而sinA>0,所以cosB= 又因为8e0小，所以8-子 (2)(1)显然B=T是锐角， 3 0<AK2 需满足 2π 解得4 0<B= 改角4的取维花固为后引： (ii)因为B=2 3a=6,所以S=5 ac sin B=3V3 2 -C, 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 a c 由正弦定理有sinA sinC (2-A 6sin 所以 sin C= 3 sin A 3 所以s=3c=95.2 cos+sin A 2 =95 15 sin A 2tan A 因为角A的取值范围为 ππ 62 所以tanA的取值范围为 3,0 tan 4 的取值范围为0,5， 5 的取值范围为0，。 1, 3 的取值范围为 2tan A 2/ 2 2 tan A 22 故S=9V5 2 2 tan A 9585 例3.(24-25高二下·云南临沧期末) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A+cos2A=1, b=1. (1)若c=2√2，求a: (2)若ABC为钝角三角形，求ABC面积的取值范围. 【答案】（①）a=√5 eoGj 【详解】(1)因为sin2A+cos2A=1,所以2 sin Acos4+1-2sin2A=1,即sin AcosA=sin2A. 因为Ae0,5mA0,所以5n=60s4,amA=0A1,4-子， cosA a2=b+c2-2bcc0sA=1+8-2x22cos元=5，解得a=V5, 4 【2)ABC的面积SAAc=2 besin A-V2 4c. 由正孩定科。nC.如4+到[ sincos B+cossin B 4 4 sin B sin B sin B sin B √2,2 2tan B 2 因为48C为t角三角形，所以8<径吸子<C=7-B< 4 4 即5<B<3经或0<B<年，故an8e-,-lU0,, 2 4 品号小 o解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 考点目录 边长、周长的最值与范围问题 面积的最值与范围问题 考点一 边长、周长的最值与范围问题 例1.(25-26高三上·河南三门峡期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,c,且 (2a+c)cosB+bcosC=0, (1)求B的大小 (2)已知b=√5，BD为AC边上的高，求BD的取值范围. 例2.(25-26高二上贵州遵义·期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=√5 (I)若AB.AC=2,求ABC的面积： (2)若a=V万，求ABC周长的取值范围. 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高三上·贵州黔西南月考)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为ab.c,且满足 ccosB+bcosC=a 2cosA (1)求A; (2)若c=2，,求锐角ABC周长的取值范围， 例4.(25-26高三上·四川眉山月考)己知ABC的面积记为S.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 3AB.BC+2S=0 (1)若b=7,c=5,求a; (2)若ABC为锐角三角形，b=2,求a+c的取值范围 2 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 变式1.(25-26高三上·安徽合肥月考)已知a,b,C分别为锐角ABC三个内角A,B,C的对边，且 a=4csinAsinB-2acos(B-C). (1)求角A的大小； (2)求的取值范围. b 变式2.(25-26高三上山东青岛月考)ABC的内角4，B,C的对边分别为ah,c,已知asin4+C=sin4. 2 (1)求B; (2)若b=2√5，求ABC周长的取值范围. 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 变式3.(25-26高三上安徽阜阳期末)在锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知 2sinB cosB,cosC ”十 c sin A,b=3 b sinC (1)求B; ②记A8C的面积为S,周长为1，求今的取值范围 号-pus元+9=”ZP·p9D年咯巧必明)'8v肜4D84(臊嬷瓣谢磔90)T平— (1)求C: ②若ABC为锐角三角形，且外接圆直径为25，求2少+3C的取值范围 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 考点二 面积的最值与范围问题 例1.(25-26高三上·福建漳州月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b-c=2 a cosC,b=2. (1)求A; (2)若D为BC中点，且AD=√万，求ABC的周长； (③)若ABC是锐角三角形，求ABC面积的取值范围. 1 例2.(25-26高三上山东济南月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=bcosA+。a. (1)求角B的大小： (2)若ABC为锐角三角形， (1)求角A的取值范围； (iⅱ)设a=6,求ABC面积的取值范围. 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 例3.(24-25高二下·云南临沧期末)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知sin2A+cos2A=1, b=1. (1)若c=22,求a; (2)若ABC为钝角三角形，求ABC面积的取值范围. 例4.(25-26高三上安徽芜湖月考)己知锐角ABC中，，b,c分别是角A,B,C的对边，且 acosC+3asinC-b-c=0. (1)求A; (2记ABC的面积为S,求a+b2+c的取值范围. S 6 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 变式1.(25-26高三上江苏连云港·月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 (a+b)(sin A-sin B)=c(sin A-sin C). (1)若ABC为锐角三角形，且c=4,求a的取值范围； (2)若点D在边AC上，且AD=2DC,BD=1,求ABC面积的最大值. 变式2.(25-26高三上·江西上饶月考)若ABC中的一个内角等于△DEF中的一个内角，则称ABC和aDEF为 同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形ABC和aDEF的同源角. D ()若在ABC中，BC=万，4C=5，∠ABC=牙，判断ABC和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理 由 (2如图，同源三角形ABC和ADE的同源角为∠BAC和∠DAE,且BC=!CD=!DE. 5 ①求B E ②若BC=1,求△ABE面积的最大值， 解三角形：边长、周长的最值与范围问题、面积的最值与范围问题专项训练 变式3.(2025·新骚喀什模拟预测)&ABC的内角4，B,C的对边分别为ab,c,已知acos=bsin. 2 (I)求B; (2)若aABC为锐角三角形，且c=2,求△ABC面积的取值范围. 变式4.(25-26高三上四川凉山月考)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,V3 bsin C-ccos B=c. (I)BD是边AC上的中线，BD=2,且a2+c2=10,求AC的长度 (2)若ABC为锐角三角形，且a=2,求ABC面积的取值范围。 8