2026届高考数学二轮专题高频考点梳理：三角形中面积周长有关的最值问题

**基本信息** 聚焦三角形面积周长最值，以正弦定理、余弦定理为工具，系统整合基本不等式与三角变换方法，构建“定理应用—边角转化—最值求解”逻辑链条，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|9题|边化角/角化边、基本不等式、三角恒等变换|正弦定理与余弦定理实现边角互化，结合三角形内角和构建函数关系| |填空|3题|余弦定理求最值、三角函数值域分析|通过定理建立边与角的联系，转化为二次函数或三角函数最值问题| |解答|7题|分类讨论、构造函数、综合应用|从单一定理应用到多方法融合，形成“条件转化—模型构建—最值求解”完整推理链|

2026年高考数学二轮专题高频考点梳理： 三角形中面积周长有关的最值问题 一、单选题 1．在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在中，内角A、B、C所对应的边依次为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．在平面四边形中，，，，，为边的中点，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，，，四点共圆，则 B．当时，，，，四点共圆 C．若，则的面积为 D．当变化时，长度的最大值为 7．的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，，，则的周长为 C．若，，则面积的最大值为 D．若，，，则边上的中线长为 8．设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 9．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（    ） A． B．的周长的最大值为 C．当最大时，的面积为 D．的取值范围为 三、填空题 10．已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解；           ②周长的最大值为； ③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是 ． 11．在中，角的对边分别为，且，若，则的最大值为 ． 12．锐角中，分别为角所对的边，且，若，则周长的取值范围是 . 四、解答题 13．在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 14．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 15．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 16．记的内角的对边分别为，,点在上，且，. (1)判断的形状； (2)若四边形满足，．求四边形面积的最大值． 17．阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：，函数，（其中），若，函数的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)中，若，为锐角，三个内角分别对应边，面积为，则的最小值为？ 18．记的内角的对边分别为，已知，，为的外心. (1)求的面积； (2)求周长的取值范围. 19．记的内角所对的边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C D D C AC AB BCD BCD 1．B 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 2．C 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 3．D 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 4．D 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，进而可得，再由余弦定理结合基本不等式化简即可求解. 【详解】∵， ∵解得， 再由，结合余弦定理可得， ∵， 又∵， 得，∴. 故选：D 5．C 【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【详解】因为，故， 而，则，； 因为角， 设，， 代入正弦定理化简得：， 则 由， 两边平方得展开计算得： ， ； 由，则有，，则 ， 则， 因为，， ，故， 所以，即 当且仅当，等号成立. 故选：C. 6．AC 【分析】对于选项A，若四点共圆且，用勾股定理得. 又因且，由，求出. 对于选项B，四点共圆时，即. 用余弦定理列出关于的等式求解，再代入求判断对错. 对于选项C，在中，根据三边和角度，用余弦定理求长度. 由等腰直角三角形性质，为AC中点，得出与关系，进而求面积. 对于选项D，因，是中点，得与关系及角度关系.用余弦、正弦定理求相关量，在中求并化简. 对式子变形，求最大值. 【详解】对于选项A，四点共圆性质与勾股定理应用：若，，，四点共圆， 当时，根据勾股定理可得.已知，，则，即. 又因为且，所以，那么，解得，故A正确. 对于选项B，若，，，四点共圆，则，所以. 在中，根据余弦定理；在中，. 已知，，，代入可得，解方程可得. 再将代入，故B错误. 对于选项C，如图，取中点N，在中，，，连接. 根据余弦定理，则. 因为，，为的中点，所以，.那么的面积为，故C正确. 对于选项D，设，，因为，分别为边的中点， 所以，，. 在中，由余弦定理得； 由正弦定理，可得. 在中，， 由余弦定理得 . 令，因为，所以，则. 那么，令，在上单调递增， 当时，的最大值，所以长度的最大值为，故D错误. 故选：AC. 7．AB 【分析】由余弦定理得，得到是钝角三角形，可判定A正确；由余弦定理，列出方程，求得，可判定B正确；由余弦定理和基本不等式，求得，得到面积的最大值，可判定C错误；设边上的中线为，则，结合向量的运算法则，求得边上的中线长，可判定D错误. 【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，所以为钝角， 所以是钝角三角形，故A正确； 对于B中，由，可得， 解得或（舍去），所以的周长为，所以B正确； 对于C中，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以面积的最大值为，所以C错误； 对于D中，设边上的中线为，则， 两边平方可得，解得，所以D错误. 故选：AB 8．BCD 【分析】由三角形的三边关系可求出周长的取值范围，可判断AC选项；根据三角形的面积公式求出面积的最大值，可判断B选项；利用余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求出面积的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A。当时，，由三角形三边关系可得，， 所以，因此的周长的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可知， 当时，的面积取到最大值，故B正确； 对于C，当时，由，即，得； 由，得，从而， 所以， 因此的周长的取值范围是，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 可得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 9．BCD 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 10．②③④ 【分析】利用正弦定理判断①；由余弦定理结合基本不等式可判断②；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断③；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断④. 【详解】对于①，由正弦定理得， 又，所以，角为唯一锐角，有一解，故①错误； 对于②，由余弦定理得：， 则，所以， 所以周长为，所以周长的最大值为，当且仅当时取到，故②正确； 对于③，， 因为，则的取值范围为， 所以的取值范围为，故③正确； 对于④，由正弦定理得，则，则， ， 因为， 所以 . 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值为，故④正确. 故答案为：②③④. 11．/ 【分析】由正弦定理得，根据三边关系确定，根据余弦定理，用边表示为，进而求出最值即可. 【详解】因为，由正弦定理得，在中，，即，故，， 由余弦定理得， 又因为， 所以， 当即时等号成立. 故答案为：. 12． 【分析】由已知结合余弦定理可得，根据正弦定理结合三角恒等变换可得，由角的范围结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由已知得，所以， 解得， 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以锐角周长的取值范围是. 故答案为：. 13．(1) (2) 【分析】（1）已知三边求角，利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理求出，设，利用正弦定理有， 即，利用函数即可求解. 【详解】（1）因为由余弦定理有：， 因为为的内角，所以 （2）因为由余弦定理有： =， 所以 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以. 在中，由， 所以，所以， 所以 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为. 14．(1) (2) 【分析】（1）化简为的形式，再根据正弦函数的单调性可求出的取值范围， （2）利用小问1的结论，代入计算，根据的范围求出，利用余弦定理，结合基本不等式可以得到的最大值. 【详解】（1）． 当时，，因为在上单调递增， 所以，所以， 可得c的取值范围为． （2），，，， 是三角形内角，，所以，得， 由余弦定理：； 即 ，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以            ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 16．(1)等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，由正弦定理得到，求得，得到，进而得到的形状； （2）由（1）得，因为，得到，结合基本不等式，求得，求得所以，进而求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：由，可得，即， 因为，所以，所以，解得， 由正弦定理，可得且， 又因为且， 所以，所以， 所以，所以，则， 所以是等腰直角三角形． （2）解：由（1）知是等腰直角三角形，因为，所以， 因为，在直角中，可得， 又因为，当且仅当时取等号，故， 所以， 所以，即四边形面积的最大值为． 17．(1) (2)4 【分析】（1）利用行列式的定义可得，即可利用二倍角公式以及赋值角公式化简，利用周期公式求解得解， （2）根据可求解，即可利用面积公式求解，由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题知 ∴ ∵的最小正周期为，∴，∴ ∴ （2）∵为锐角，∴ ∴，∴， ∵，∴ ∴当且仅当时，取最小值4 18．(1) (2) 【分析】（1）由已知，利用余弦定理求出角，由正弦定理求外接圆的半径，求出圆心角，再由三角形面积公式求出的面积； （2）方法一：利用正弦定理表示出，由三角恒等变换，结合三角形内角和定理整理，讨论角的范围，进而求出周长的取值范围； 方法二：把条件整理成含与的式子，利用基本不等式求出的最大值，根据两边之和大于第三边，得的取值范围，进而得周长的取值范围. 【详解】（1）在中，，由余弦定理得， 又，所以， 又为的外心， 则由正弦定理得，所以， 又， 所以. （2）方法一： 由（1）及正弦定理得， 则，， 记的周长为，则. 又，则， 则， 因为，所以， 所以，所以. 方法二： 由，，得， 因为，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立. 因为，所以，所以， 即周长的取值范围为. 19．(1)证明见详解 (2) 【分析】(1)利用将已知中的切化弦，再利用正弦定理将边化角，即可得证； (2)利用(1)中的结论可求出，再利用正弦定理将化成角，即可求出范围. 【详解】（1），， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . （2）由(1)可知，又，， ，， 又由已知可得，，， ， ， ，， ，， 的取值范围是. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $