专题1.1 锐角三角函数 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

锐角三角函数 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点，，在边长为1的正方形网格格点上，则的值（   ） A． B． C． D． 4．如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 6．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 10．在中，，，则__________． 11．如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则_____． 12．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线上升至最高点A后下落，再沿直线精准落在地面C点，且．测得最高点A距地面高度为2.4米，起跳点B与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线与地面的夹角为．则______，机器人起跳路线的长度为______米． 三、解答题 13．已知：如图，在中，，求和的值． 14．计算：． 15．如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的垂直平分线交于点，并连接；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与解决：在（1）的条件下，若，求的值． 能力提升 1、 选择题 1．如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若中，，，那么（   ） A． B． C． D．1 4．如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么________． 7．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______． 三、解答题 8．如图，四边形是平行四边形，，相交于点，为边的中点，连接，过点作于点，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，且，，求矩形的面积． 9．对于平面内任意一点P，作点P关于直线的对称点和关于直线的对称点，连接，则称直线为点P关于和的“镜像线”． (1)点关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为______； (2)已知N是直线上的动点，当点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行时，求点N的坐标； (3)如图，点位于第四象限，直线l的解析式为，记点A关于y轴和直线l的“镜像线”与直线l相交所得的较小的夹角为．若，直接写出的取值范围． 10．在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： (1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； (2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； (3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 拓展培优 一、选择题 1．如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．如图，在中，，，P是的中点，M是直线上的一动点，线段绕着点P逆时针旋转，得到线段，连接，．下列结论错误的是（    ） A．线段的最小值是 B．线段的最小值是3 C．面积的最小值是 D．线段的最小值是 3．如图，正方形中，是边的中点，点是平面内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．则线段长最大时，的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 5．如图，菱形，点是边上一点，连接交对角线于点，，，点为线段上一动点（不与端点重合），作点关于直线对称点，连接、，当取最小值时，则______． 三、解答题 6．如图，D、E是边、上的点，、交于点G．已知． (1)求的值； (2)如果，，求的值． 7．定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 锐角三角函数 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，在中，若，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及锐角三角函数进行求解． 【详解】解：借助网格，根据勾股定理得， ∴． 3．如图，点，，在边长为1的正方形网格格点上，则的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造直角三角形，利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，构造， ． 4．如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用位似图形的性质以及锐角三角函数求解． 【详解】解：∵轴， ∴， ∵与关于原点O位似， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， 由勾股定理得， ∴． 6．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以矩形折叠为背景，先利用矩形性质与中点条件得出边长，再根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出 且，通过同角的余角相等，证得，因此，最后在中计算从而得到． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， 又∵ 折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得： ∴， ∵， ∴， ∵矩形纸片沿边折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 8．如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接格点、，根据网格特征结合勾股定理得出，，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，连接格点、， ∵正方形网格的边长为， ∴，，，， ∴，是直角三角形，， ∴， ∴． 二、填空题 9．如图，在中，，是边上的高，，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据同角的余角相等，推出，进而得到，进行求解即可. 【详解】解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故. 10．在中，，，则__________． 【答案】2 【分析】本题考查锐角三角函数中正切的定义，根据已知线段比例结合正切定义即可求解，解题关键是掌握正切的定义：锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作. 【详解】解：在中，， ，的对边为，邻边为， ． 11．如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则_____． 【答案】/ 【分析】由矩形性质得，则，在中，，由此得，设，由正方形性质得，在中，由，得，由此得，在中，由勾股定理得，继而得，然后根据得，由此可得的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，设， ∵顶点都在边上， ∴和都是直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线上升至最高点A后下落，再沿直线精准落在地面C点，且．测得最高点A距地面高度为2.4米，起跳点B与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线与地面的夹角为．则______，机器人起跳路线的长度为______米． 【答案】 【分析】由题意易得米，米，，，然后根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：米，米，，， ∵， ∴米， ∴，米． 三、解答题 13．已知：如图，在中，，求和的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：由， 根据勾股定理，得， 在中，，． 14．计算：． 【答案】2 【分析】先计算零指数幂得；再化简绝对值；最后代入特殊角的三角函数值，再进行实数的加减运算． 【详解】解：原式 15．如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的垂直平分线交于点，并连接；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与解决：在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧在线段上下方各交于一点，过两点作直线交于点，即为所求； （2）在中，根据勾股定理可得的长，再由线段垂直平分线的性质得到，从而得到，最后根据正切值的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的图形； （2）解：在中，， 根据垂直平分线的性质可知，， ， 在中，． 能力提升 1、 选择题 1．如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，证明，根据勾股定理得，，根据，结合正切函数的性质，可以得到，证明，利用平行四边形的判定和性质，三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，根据题意，得， ， 都是锐角， ， 不平行， 故选项A不符合要求； ，， ， 故选项B不符合要求； 根据题意，得， 都是锐角，且， ， 故选项C不符合要求； 连接， 根据勾股定理，得，且是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 2．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的意义即可求出． 【详解】解：如图，设，则，    ∵， ∴， ∴． 3．若中，，，那么（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先设，，利用勾股定理求得，然后利用正弦的定义得出结果． 【详解】解：在中，，， ∴设，， ∴， ∴． 4．如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，根据等边对等角得到，证明，求出，可知当最小时有最小值，由“垂线段最短”可知当时最小，证明，得到，求出，根据勾股定理得到，求出，进而得到，求出，即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时有最小值， 由“垂线段最短”可知当时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点旋转得到， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，， ∴． 二、填空题 6．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么________． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理可得到，即，然后根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处， ，， 在中， ， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得，， ， ． 7．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______． 【答案】 5 / 【分析】过点E作于点H，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明；然后利用三角函数，，可得，，易得，求解即可获得答案． 【详解】解：过点E作于点H，如图， 则， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题 8．如图，四边形是平行四边形，，相交于点，为边的中点，连接，过点作于点，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，且，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)矩形的面积为24． 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而证明是的中位线，得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （）根据菱形的性质得到，，由，设，，根据勾股定理得到，求得，，据此计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点, ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，即， 设，， 由勾股定理得，即， 解得（舍去负值）， ∴，， ∵，是的中位线， ∴，， 解得，， ∴矩形的面积． 9．对于平面内任意一点P，作点P关于直线的对称点和关于直线的对称点，连接，则称直线为点P关于和的“镜像线”． (1)点关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为______； (2)已知N是直线上的动点，当点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行时，求点N的坐标； (3)如图，点位于第四象限，直线l的解析式为，记点A关于y轴和直线l的“镜像线”与直线l相交所得的较小的夹角为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点N的坐标为 (3) 【分析】本题考查轴对称，一次函数综合和三角函数． （1）先根据点关于轴、轴的对称规律，求出点关于两坐标轴的对称点​、​的坐标，设过两点的直线解析式为，将、​的坐标代入，解方程组求出和的值，得到直线解析式． （2）先设直线上动点的坐标，再根据关于轴、轴对称的坐标规律，求出它的两个对称点​、​的坐标，通过计算​、的横纵坐标，发现两点关于原点对称，因此它们所在的 “镜像线” 必过原点， 根据 “镜像线与原直线平行”，设出镜像线解析式，再代入对称点坐标，求出参数，进而确定点的坐标． （3）由两次轴对称，得到，说明点在以为圆心、为半径的圆上，再结合直线是的垂直平分线、圆周角定理，推导出，点 在第四象限，过作轴垂线，在中，用建立关系，根据时，列出不等式，解出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，点M关于x轴的对称点记为点，点M关于y轴的对称点记为， 则点关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为， 设所在直线的解析式为， 将，代入，得解得 所在直线的解析式为， 即点关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为． （2）解：N是直线上的动点， 设点N的坐标为， 记点N关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为， 点N关于x轴的对称点的坐标为，关于y轴的对称点的坐标为， ，， 点和点的横坐标、纵坐标均互为相反数， 点和点关于原点对称， 直线经过原点，即点N关于x轴和y轴的“镜像线”经过原点． 如图， 点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行， 直线的解析式为， 将点代入， 得，解得， ， 点N的坐标为； （3）解：如图，点A关于y轴的对称点记为点，点A关于直线l的对称点记为点，作直线， 则直线为点A关于y轴和直线l的“镜像线”， 记直线与直线l的交点为B，则，连接， 由对称性可得直线l为的垂直平分线， 直线， ．连接OA，， 点A，点关于y轴对称，由对称性可得，连接， 直线l的解析式为， 直线l经过原点O， 点A，点关于直线l对称， ， ， 点在以点O为圆心，以OA长为半径的圆上，记⊙O与y轴正半轴交于点C， 连接，，由圆周角定理可得，即， 得．连接，交y轴于点D， ， ， ．过点A作轴于点E， ， ， ， ∴无论k在0<k<1范围内取何值，都存在， 点A的坐标为，点A在第四象限， ，．在中，， 当时，随的增大而增大， ，即， ，即时，a的取值范围是． 10．在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： (1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； (2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； (3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，24 (3) 【分析】（1）本题考查平行四边形性质和折叠性质，平行线性质和判定．利用两组对边平行的四边形来证明四边形的形状是平行四边形． （2）本题考查菱形的判定及面积求法．利用第一问的条件可轻松得出四条边均相等，从而判断四边形的形状是菱形．利用菱形的对角线互相垂直且平分的性质可求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而求出菱形的面积． （3）本题重点考查了相似三角形和锐角三角函数的应用．过点作的高，构造出两个直角三角形，利用建立方程，从而求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 又折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕， ， 同理，折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕， 可得：， ， 由可得：， , , 四边形是平行四边形． （2）解：①由（1）可得，， 是等腰三角形，， 同理可得：． 又， ， 四边形的形状是菱形． ②连接交于点，如图： 四边形的形状是菱形，，， ，， ， ． （3）作交于点， ， 由（2）得，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 平移的距离为． 拓展培优 一、选择题 1．如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先构建平行四边形、，结合等边三角形性质得出，结合全等三角形的判定和性质推得点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动，即可推得当时，的值最小，根据锐角三角函数的定义即可求出的最小值；通过证明、是等边三角形，结合等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质得出，，进一步可证明得出是等边三角形，分析可得当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大，最大值为的长，结合垂直平分线的性质以及勾股定理求出的值，即可得出的最大值为；结合三角形的三边关系，得出当、、三点共线时，此时的值最大，最大值为；结合垂直平分线的判定和性质得出，进一步推得当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长，即可得出答案． 【详解】过点作交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，连接、、、、、．过点作于点，如图： 则四边形、为平行四边形， 故，，，，， ∵三角形是等边三角形， 故， 即， ∵， ∴，， 故， 又∵， ∴， ∴， 故， 即点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动， ∵， ∴， 当时，的值最小，此时的最小值为；故A选项说法正确． ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故， ∴， 即是等边三角形． 则，，， ，， 即，，， ∴， ∴，， 故， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，的值最大，即的最大值为的长． ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， 故， ∴， 在中，， 在中，， 即的最大值为，B选项说法正确． 在中，， 即当、、三点共线时，此时点与点重合，的值最大，最大值为，故C选项说法错误． ∵，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 故是的垂直平分线， 又∵点在直线上， 故， ∴， 即当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为，D选项说法正确． 2．如图，在中，，，P是的中点，M是直线上的一动点，线段绕着点P逆时针旋转，得到线段，连接，．下列结论错误的是（    ） A．线段的最小值是 B．线段的最小值是3 C．面积的最小值是 D．线段的最小值是 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，解含有的直角三角形，勾股定理解三角形，全等三角形的判定与性质，利用角的余弦值求解边长，解决本题的关键是添加合适的辅助线，利用旋转的性质得到边长不变且证明全等． 根据，即与重合时，取最小值，再由含有的直角三角形，求解的长度，由此可判断AB选项；根据与取得的最小值，即可求解面积的最小值，由此可判断C选项；证明与全等可得，再根据N，F，G三点共线，可得点N在直线上运动．再求解的长度即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E， 根据旋转的性质可知，， 则． ∵，P为的中点， ∴． 又∵，， ∴． ∵M是直线上的一动点， ∴当，即与重合时，取最小值， 此时取最小值，同时也取最小值， 即的最小值为3，的最小值为3，的最小值为，故选项A错误，选项B正确； ∵，且的最小值为3，的最小值为3， ∴面积的最小值是，故选项C正确； 如图，过点P作，且使，过点F作于点G，连接， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， 又∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴N，F，G三点共线，点N在直线上运动． 过点A作交的延长线于点，延长交于点H． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴，线段的最小值为，故选项D正确． 故选：A． 3．如图，正方形中，是边的中点，点是平面内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．则线段长最大时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，旋转的性质，矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由旋转得：，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，证明 ，则，可得，由，得到，当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，则，，故，则由即可求解． 【详解】解：由旋转得：， 如图，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，，则， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点三点共线时，取得最大值，如图：过点作交延长线于点，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 4．如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 【答案】/ 【分析】根据角度关系证明，确定点在以为直径的圆上运动；然后根据点圆模型确定最大时三点共线；过点作于点，证明，，求出，,再求． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动 ∴设的中点为，则为圆心， ∴， 当B，O，Q三点共线，且在延长线上时，取得最大值， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，菱形，点是边上一点，连接交对角线于点，，，点为线段上一动点（不与端点重合），作点关于直线对称点，连接、，当取最小值时，则______． 【答案】 【分析】先设，由此可得，再根据三点共线可得的最小值，再利用勾股定理可求解的值，根据相似三角形的性质可得与的长度，再结合勾股定理可求解的长度，由此可求解的长度，进而进行比值即可． 【详解】解：设， 由，则， ∵作点关于直线对称点， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 当取最小值时，则有点三点共线， 连接交于点，过点分别作， 连接，连接并延长交的延长线于点，如图， 在菱形中，，且， 在中，， ∴，则， ∴， ∴菱形的边长为25，即， 由翻折可知，， 又， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 则有，即，可得， 同理可得， 则有，即，可得， ∵， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 在菱形中，，则， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则． 三、解答题 6．如图，D、E是边、上的点，、交于点G．已知． (1)求的值； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：连接，证明可得，，再证明，最后利用相似三角形的性质列比例式即可解答； （2）由（1）知，利用平行线分线段成比例以及线段的和差可得，利用等边对等角可得，易证可得，进而得到；如图：过点A作于点H．利用等腰三角形三线合一的性质、勾股定理进而得、，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∴． ∵， ， 在和中， ， ∴． ∴， ∴，即， 如图：过点A作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴． 7．定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)．理由见解析 (4) 【分析】（1）根据直菱四边形的定义，逐个分析判断即可； （2）先推导出平分，得到，证明为等边三角形，进而推导出，得到，求出，即可解答； （3）先求出，将绕点A顺时针旋转得到，推导出，得到M，B，E三点共线，进而证明，得到，则，即可解答； （4）连接，作于点G，先求出，得到，推导出，证明，得到，，求出，推导出点D，M，B，C共圆，得到，，可求出，，则，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：①∵平行四边形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ②∵矩形的邻边不一定相等， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ③∵菱形的四边相等，但内角不一定为直角， ∴该选项不符合直菱四边形的定义； ④∵正方形的四边相等，四个内角都为直角， ∴正方形一定是直菱四边形，该选项符合题意， （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中线上一点， ∴平分， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是直菱四边形； （3）解：．理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，， ∴． 如图3，将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴M，B，E三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图4，连接，作于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴点D，M，B，C共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $