第1章 1 第1课时 正切与坡度-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数 第1课时 正切与坡度 (教材P2~4练习) 即基础闯关 难度等级基础题 知识点二：坡度（坡角）与正切的关系 知识点一：正切的定义及应用 5.如图，某水库堤坝横断面迎 B 命题角度1：直接利用定义求正切值 水坡AB的坡度是1：√3， 1.(云南中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 堤坝高BC=50m,则迎水 1,BC=3,则∠A的正切值为( ) 坡面AB的长度是() A.3 B号 C.v D30 A.100m B.100W3m 10 10 命题角度2：在几何问题中求正切值 C.150m D.50√3m 2.[运算能力]如图，在四边形ABCD中，E,F 6.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD,BC∥ 分别是AB,AD的中点，若EF=2,BC=5, AD,迎水坡AB长13米，且 B C CD=3,则tanC等于() A B.3 4 am∠BAE-是，则河堤的 D. 高BE为 米 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 素养提升微专题 第2题图 第3题图 【在网格图中构造直角三角形求正切值】 3.(通辽中考)如图，在矩形ABCD中，E为AD 7.[一题多辨](1)如图①，将∠AOB放在5×5 上的点，AE=AB,BE=DE,则tan∠BDE= 的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( ) D.3v13 命题角度3：利用正切值求三角形的边长 A.3 B C.2v13 13 13 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,tanB= 亨求BC,A奇长 ① ② (2)(凉山州中考)如图②，△ABC的顶点在正 方形网格的格点上，则tanA的值为( A B 2 C.2 D.2√2 做神龙题得好成绩 第一章直角三角形的边角关系☑ (3)(贵阳中考)如图，A,B,C都是小正方形 11.(鄂尔多斯中考变式)如果三角形有一边上 的顶点，且每个小正方形的边 的中线长等于这边的长，那么称这个三角形 长为1，则tan∠BAC的值为 为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角 () 形”，且∠A=90°，求tan∠ABC的值. A号 B.1 3 D.3 8.[几何直观]（荆州中考）如 y B 图，在平面直角坐标系中， C 点A,B分别在x轴负半 轴和y轴正半轴上，点C A 在OB上，OC:BC=1:2,连接AC,过点O 作OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1, 1),则tan∠OAP的值是( ) A B号 c D.3 9.[学科融合]（凉山州中考）如图，CD是平面 镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 射到B点，若入射角为α，反射角为B(反射角 12.(连云港中考)如图，在△AB℃中，∠C=150, 等于人射角)，AC⊥CD于点C,BD⊥CD于 点D,且AC=3,BD=6,CD=12,则tana的 AC-4.tan 值为 (1)求BC的长 (2)利用此图形求tanl5°的值.（参考数据： √2≈1.4，W3≈1.7，W5≈2.2) B 10.(连云港中考)如图，菱形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,E为AD的中点， AC=4,OE=2.求OD的长及tan∠EDO 的值. 做神龙题得好成绩同行学案学练测 .tanl5°=tan∠AMD= AD 2 MD4+23 =2-√3≈0.3. 参考答案 B M 九年级数学下BS ① ② 第一章直角三角形的边角关系 第2课时正弦与余弦 1.D2.A3.A4.C 1锐角三角函数 5.解：DE⊥AB,∴∠B+∠BDE=90°.：∠ACB=90°， 第1课时正切与坡度 ∴∠B+∠A=90°，∴∠BDE=∠A.在Rt△ABC中，AC 1.A2.B3.2-1 =VAB2-BC=8,∴sin∠BDE=sinA=3 ,COs∠BDE 4.解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，.tanB AC BC,.BC= =COsA= 5,tan∠BDE=tanA=3 4 AC=6=65,AB=VBC+AC=√(63)+6 tanB√3 6.A Z解：I在R△ABC中，snB铝-专AC=台AB =12. 5A6.127.1DB(2A3B8.C9号 -8(②)：mA-8C-是，设AC=4红，BC=3由 勾股定理，得(3x)2+(4x)2=102,解得x=2,.AC=8. 10.解：四边形ABCD是菱形，ACLBD,0A=合AC &D9B10.ID(2A1.号 AC=4,0A=2.:E为AD的中点，0E=号AD, 12.解：在矩形ABCD中，，BC=AD,AD∥BC,∠B=90°， ∠DAF=∠AEB.:DF⊥AE,AE=BC,∠AFD= .OE=2,.AD=4,.OD=√AD2-OA=√42-2 90°，AE=AD,△ABE≌△DFA(AAS),∴.AB=DF= =2m0-品2得 6.在Rt△ADF中，AF=√AD2-DF2=√I02-6= 8,.EF=AE-AF=AD-AF=2.在Rt△DFE中， 11.解：如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是△ABC的 ,DE=√DF2+EF=√62+2=2√I0,∴.sin∠EDF 中线.设AB=EC=2a,则AE=EB=a,AC=√3a, EF_√1O ADC--S-复.如图@，在R△ABC中，∠A= =DE=10 13.解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D.,sin∠AOC= 90°，BE是△ABC的中线.设EB=AC=2b,则AE=EC AD 4 =b,心AB=J3b,tan∠ABC=AC=23 AO5,OA=5,AD=4.在R△AOD中，由勾股定 AB 3 理，得DO=3.·点A在第一象限，.点A的坐标为(3,4)， 将（3,0代入y=得4=号m=12,该反比例函 数的表达式为y是将8，)代人y=u+2,得m=号， ÷一次函数的表达式为y=号x十2.(2在y=号x十2 ①D ② 中，令y=0,即子x+2=0,=-3,点B的坐标是 12.解：(1)如图①，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点 D.:∠ACB=150,∴∠ACD=30,AD=2AC=2, (-3,0),0B=3.又：AD=4,SAm=2OB·AD CD=√AC2-AD=√42-22=23.在Rt△ABD中， 2×3X4=6. m8-品品-日BD=16BC=BD-CD= 16-2√3.(2)如图②，过点A作AD⊥BC,交BC的延 长线于点D,在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接 AM.,∠ACB=150°，.∠AMC=∠MAC=15°， 230°，45°，60°角的三角函数值 岁=30/3+2z-号，z=150=603,BD CE 1(1C(2)A2.A3.A411(2)号 50W3+3x 5.C6C (150-60√3)m,DE=(150√3-180)m,AE=(300 1 7.C8.D9.2 10.C 90月)m,AC=AE·mE=(300-0月)x9- 11.解：：BC⊥AC,.∠BCA=90°.在Rt△ABC中， “m∠BAc=Ae,∴BC=AC,tm∠BAC=12X 1 (100√3-90)m,.Sm动影AB=SAAE一SamE=2X(1003 ama0r=12xX-45(米， -90)×(300-90,5)-2×(150-605)×(1505- 180)=2400√3(m2). 12.B13.A14.丁 方法三：如图③，过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点 15.解：能.理由：：△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°， E,作AF⊥CD于点F.:∠ABD=120°，∴∠ABE=60°， ÷∠B=∠C180,120°=30.过点A作ADLBC于点 2 ∠BAE=30°..AB=30√3m,AE=AB·sin∠ABE =45m,BE=AB·sin∠BAE=15√3m.由题意，知四边 D,∴BD=AB·cosB=12X=6V3(cm),BC=2BD 形AEDF为矩形，.FD=AE=45m,.CF=CD-FD= 12√3≈20.8cm>20cm,∴.能画出一个半径为20cm的圆. (503-45)m..'AB⊥AC,BD⊥CD,∠ABD=120°， .∠ACD=60°，.AF=CF·tan∠ACD=(150-453)m, .S阳边形ACDB=S四边形ADE一SABE=2(45十50V3)(150一 B D C 16.解：设AD=xm.,AD⊥BD,∠ACD=45°，.CD=AD 453)-2×153×45-240v5(m). =xm.在△ADB中，AD⊥BD,∠ABD=30°，.AD= 月D,即z-(16+,解得x=8v5+8∴AB=2D -=(163+16)m,.钢索AB的长度为(163+16)m 3三角函数的计算 D ③ 1.D2.A3.D4.>5.A6.D7.A8.11.9 9.解：方法一：如图①，延长CA,DB交于点P.∠ABD= 4解直角三角形 120°，AB⊥AC,BD⊥CD,.∠C=60°，∠PBA=60°.在 第1课时已知两边解直角三角形 RACDP中，anC-器.iPD-(D·nC-50v5X5 1.C2.C3.D4.3 5.解：已知∠C=90°，a=5,c=5√2，由勾股定理，得b= =150Cm.在△PAB中，mPBA-器PA=AB· Vc-a=√(62)2-52=5.：sin4=a-5=2 tan∠PBA=30V3X√3=90(m)..S四边形AcB=S△rD c5√22， ∠A=45°，∠B=90°-45°=45°. SAe=7×150X505-7×30w3X90=240w5(m). 6.B 7.A[解析]，∠ACB=90°，AC=√5，BC=2,.根据勾股 定理，得AB=V√AC2+BC=√(W5)2+22=3.:CD⊥ AB,∴∠ADC=∠ACB=90°，∴.∠A+∠ACD=∠A+ ∠B=90,∠ACD=∠B,.sim∠ACD=sinB=A9 AB B 3· E 8.解：：AC=√6，BC=√2，∠C=90°，AB=√AC2+BC ① ② 方法二：如图②，延长AB,CD交于点E.:∠ABD=120°， --瓜-2E.A-聚-语-停A ∠DBE=60°.又BD⊥CD,∴.∠E=30°.设BD= 30°，∠B=90°-30°=60°. xm,则BE=2xm,DE=√3xm.在Rt△CAE中，cosE= 9.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm,BC=2cm, 同行学案学练测·11·