专题1.1 锐角三角函数 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

锐角三角函数 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 锐角的三角函数 考点梳理 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 典例引领 考向01 正弦的概念辨析 【例1】在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数值是角的固有属性，与边长无关是解题关键． 【详解】解：∵在锐角中，各边长扩大为原来的2倍后，所得三角形与原三角形三边对应成比例， ∴所得三角形与原三角形相似， ∴的大小不变． 又∵锐角的正弦值由角的大小决定，与边的长度无关， ∴的正弦值不变． 故选：A． 考向02 求角的正弦值 【例2】如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，首先根据菱形的性质以及菱形面积公式确定的长度，再利用勾股定理解得的值，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，且， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 考向03 已知正弦值求边长 【例3】拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 考向04 余弦的概念辨析 【例4】在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 考向05 求角的余弦值 【例5】在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：由题可得图， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据余弦定义可得 ． 考向06 已知余弦值求边长 【例6】如图，在中，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．9 【答案】A 【分析】利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 考向07 正切的概念辨析 【例7】在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 考向08 求角的正切值 【例8】在中，，，垂足为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可证明得到，则，据此可得，则． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 考向09 已知正切值求边长 【例9】如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由可求出，由可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 对点提升 【对点1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【对点2】如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出，的长，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【对点3】在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵米， ∴米． 【对点4】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．由的值设，，利用勾股定理求，再根据的定义计算 【详解】解：∵在中，，若 ， ∴设，， 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 【对点5】如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ∴． 【对点6】在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦的定义得到与的关系，设未知数后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 又，即， 解得， 则． 【对点7】在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 根据三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关，当三边同比例变化时，三角函数值不变，由此判断选项即可． 【详解】解：设原中，，，， 则，，， ∵三边都缩小为原来的， ∴，，， ∴， 同理，， ∴锐角A的三角函数值都不变． 故选：D． 【对点8】如图，在正方形中，对角线交于点，将绕点逆时针旋转到，连接． （）若，则点到的距离为______； （）______． 【答案】 【分析】（）过作于点，由旋转知，，得，再利用正方形的性质和勾股定理求出即可求解； （）证明四边形是矩形，得，设，则，可得，，即得，再根据正切的定义解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，正切的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过作于点， 由旋转知，， ， ∵四边形为正方形，， ∴， ， ∴点到的距离为， 故答案为：； （）由（）知，，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， 设，则， ∴，， ， ， 故答案为：． 【对点9】如图，电流表中，把指针旋转中心记为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖从点运动到点．若，，则指针的长度是________cm 【答案】5 【分析】根据题意可得，如图所示，过点O作于点C，得到，由锐角三角函数的计算得到，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，如图所示，过点O作于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即指针的长度是5． 考点02 特殊角的三角函数值 考点梳理 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 典例引领 考向01 已知角度比较三角函数值的大小 【例1】比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 对点提升 【对点1】以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的大小比较．利用互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：如图， 在中，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵在范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且， ∴， 即． 故选：B． 考点03 锐角的三角函数间的关系 考点梳理 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 典例引领 考向01 根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例1】若是锐角，，则取值范围为________． 【答案】 【分析】先根据是锐角得到的初步范围，再结合特殊角的正弦值得到，根据锐角正弦函数的增减性即可求出的取值范围． 【详解】解：是锐角， ， ，锐角的正弦值随角度的增大而增大，且， ， 综上可得 ． 对点提升 【对点1】已知，则锐角的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角函数值的性质，根据，且随着的增大而减小，随着的增大而增大，即可得出结果． 【详解】解：∵，且随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∴当时，； 故答案为： 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 锐角三角函数 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 锐角的三角函数 考点梳理 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 典例引领 考向01 正弦的概念辨析 【例1】在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 考向02 求角的正弦值 【例2】如图，已知菱形的面积为20，对角线，则（    ） A． B． C． D． 考向03 已知正弦值求边长 【例3】拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 考向04 余弦的概念辨析 【例4】在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 考向05 求角的余弦值 【例5】在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 考向06 已知余弦值求边长 【例6】如图，在中，，则的长是（    ） A． B．4 C． D．9 考向07 正切的概念辨析 【例7】在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 考向08 求角的正切值 【例8】在中，，，垂足为，，则（    ） A． B． C． D． 考向09 已知正切值求边长 【例9】如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 对点提升 【对点1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【对点2】如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【对点3】在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【对点4】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【对点5】如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【对点6】在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【对点7】在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 【对点8】如图，在正方形中，对角线交于点，将绕点逆时针旋转到，连接． （）若，则点到的距离为______； （）______． 【对点9】如图，电流表中，把指针旋转中心记为点，指针顺时针旋转某一度数，针尖从点运动到点．若，，则指针的长度是________cm 考点02 特殊角的三角函数值 考点梳理 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 典例引领 考向01 已知角度比较三角函数值的大小 【例1】比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 对点提升 【对点1】以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 考点03 锐角的三角函数间的关系 考点梳理 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 典例引领 考向01 根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例1】若是锐角，，则取值范围为________． 对点提升 【对点1】已知，则锐角的取值范围是______． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $