专题05 圆中的重要模型之圆中的全等模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

专题05圆中的重要模型之圆中的全等模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 5 模型1、切线长模型 5 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 14 模型5、对角互补模型 19 24 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 例1（24-25·浙江·九年级统考期末）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则点在量角器上所对应的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 例2（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接． (1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形．    例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．    模型2、燕尾模型 例1（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长． 例2（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点． (1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．    例2（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴①_________________．∵于E点，于点F∴②_________________ 在与中∴．∴． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在同圆或等圆中，④__________________________________________． 例3（24-25九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．    模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ． 例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 例4（24-25九年级上·浙江·期末）如图，四边形是圆内接四边形，． (1)求的度数；(2)若的半径为6．①求的长；②如图2在四边形中，若平分，求的最大值．(3)如图3，连接，若是的直径，，请直接用含m，n的式子表示的长． 例5（24-25九年级下·广西贵港·阶段练习）如图，圆是的外接圆，是上的点，连接、、．(1)如图甲，，点在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图乙，，点不在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出之间的数量关系．（用含的式子表示） 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ） A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分 C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线 2．（24-25·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．为直径 B． C． D． 4．（24-25·天津和平·九年级专题练习）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ． 5．（24-25·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ． 6．（2025·江苏扬州·三模）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． (1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； (2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 7．（24-25·江苏南京·九年级校考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 8．（2025·贵州遵义·校考一模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）； 拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由． 9．（2025·山东德州·校考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC． (1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． (2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由． (3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果） (4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？ 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 11．（2025成都·模拟预测）已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连接CD，并延长交BE的延长线于点A.，(1)证明：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE·OC＝ BE2． 12．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到… 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得… （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． 【类比探究】（2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】（3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长． （4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 13．（2025·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线． (1)求证：(2)若，求证：点D在的垂直平分线上． 14．（2025·河南·校考二模）如图，点是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点．点是圆上一点，且，连结交于点．(1)求证：；(2)当点运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 15．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且．（1）求证：（2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：        16．（24-25·江苏·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，． (1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长． 17．（24-25·江苏泰州·九年级校考期末）如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求长． 18．（2025·河南驻马店·校考一模）《义务教育数学课程标准（2022年版）》是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在《切线的性质与判定》学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B”．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1）： 作法二（如图2）： 1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 2．以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B； 3．作直线，则直线是的切线． 1．连接，交于点M，过点M作的垂线； 2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q； 3．连接，交于点B； 4．作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，为直径， ，（       ） 是的半径，∴直线PB是的切线． 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． (1)“作法一”中的“依据”是指_______________．(2)请写出“作法二”的证明过程． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆中的重要模型之圆中的全等模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 5 模型1、切线长模型 5 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 14 模型5、对角互补模型 19 24 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （24-25·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．    【答案】 30 【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D， ∴，，， ∴ ∵、分别与相切于点A、B，∴， 又∵，∴， ∵与相切于点D，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，故答案为：30；．    （24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______ (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．       【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴AO==2∴=． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，    ∴，， ∵，，， ∴，，∴，而， ∴∴． （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度． （2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连接 ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程． （3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，       ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴，∴， ∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴； （3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，， 在和中，，，，， ，，由圆周角定理得：，，， ∵，∴，∴ 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 例1（24-25·浙江·九年级统考期末）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则点在量角器上所对应的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵，，∴， ∵，∴垂直平分，∴，∴， ∵、是的切线，∴，， ∵，∴，∴， ∴，故选：A． 例2（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．    (1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）解：、分别切于点、，， 在和中，，．， ， 垂直半分； （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下：如图，连接，，    的半径为，，切于点，， ，，，，， ，，， ，，，垂直平分，，， ，四边形为菱形，故答案为：； 当时，四边形为正方形，理由如下： 的半径为，，切于点，， ，，， 垂直半分，，，四边形为菱形， ，四边形为正方形，故答案为：． 例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．    【答案】（1）见解析；（2）9 【详解】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，    ∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∵△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线； （2）过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4， ∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4， ∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9． 模型2、燕尾模型 例1（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：直径垂直于弦于点E，连接，∴，∴， ∵过圆心O的直线，∴，即是的中垂线，∴， ∴．即：是等边三角形，∴， 在中，有，∴，∴点E为的中点； （2）解：∵，∴， 又∵，∴，∴，，∴． 例2（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点． (1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：，为以点为圆心的大圆半径， ，为等腰三角形，； （2），为以点为圆心的大圆半径，，为以点为圆心的小圆半径， ，，，即， 在与中，，， ，，即， 在与中，，，， 在与中，，，， 又为等腰三角形，． 例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________． 证明： 【答案】，是小圆O的切线，证明见解析 【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中,∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． 例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形． (1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意可得：，， 由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，， ，即，，． 在与中，，． （2）解：当为直径时，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为直径，∴，即， ∴，∴优弧的长度为． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接，∵，∴， ∴，即，∴，∴， 又∵，∴．    例2（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴①_________________．∵于E点，于点F∴②_________________ 在与中∴．∴． 通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在同圆或等圆中，④__________________________________________． 【答案】(1)图见解析(2)①；②；③；④如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：． ∵∴．∵于E点，于点F∴ 在与中，∴．∴． ∴在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等． 例3（24-25九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析 【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C， 在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）； （2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°， ∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B， ∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD； （3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：    ∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2， ∴EH＝AH﹣AE＝1，∴OH＝＝＝1， ∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为， ∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ． 【答案】32 【详解】解：延长到点E，使得，连接， ∵是圆内接四边形，∴，， 又∵，∴，又∵，∴， ∴，，∴， ∴，故答案为：． 例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD 【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”； ②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB ∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD （2）AD＋CD＝BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE ∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°， ∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2)(3) 【详解】（1）在等边三角形中，，， （在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）， 故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）过点作于点，在中， ∴，，∴，， 在中，，， ，．， 由题可知， ． （3） 连接，过点作交于点 ∵正方形内接于，， 是等腰直角三角形∴， 即 ． 例4（24-25九年级上·浙江·期末）如图，四边形是圆内接四边形，． (1)求的度数；(2)若的半径为6．①求的长；②如图2在四边形中，若平分，求的最大值．(3)如图3，连接，若是的直径，，请直接用含m，n的式子表示的长． 【答案】(1)(2)①；②(3) 【详解】（1）四边形是圆的内接四边形， ，有，． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径，，由（1）知：，， 的半径为6，．． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：，， 平分，．，， 四边形是圆的内接四边形，，，． 在△和△中，，， ，，为等边三角形． ，，． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大，当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由：延长交的延长线于点，如图， 是的直径，，．由（1）知：， ，，． ，，，．故答案为：． 例5（24-25九年级下·广西贵港·阶段练习）如图，圆是的外接圆，是上的点，连接、、．(1)如图甲，，点在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图乙，，点不在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出之间的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3) 【详解】（1）解：，证明如下： ∵点在延长线上，∴为的直径，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：，理由如下：在上截取， ∵，∴为等边三角形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴； （3）解：，理由如下： 过点C分别作于点M，延长线于点N， ∵，∴，，在和中， ∴，∴， 在和中，∵，∴，， ∴ ∴． 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则， ， 平分，，，， 四边形是圆的内接四边形，， ，， 在和中，，，， 是圆的直径，，平分，， 、是等腰直角三角形， ，，， ，，，， ，故选：D． 例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【答案】【探究】成立，见解析；【应用】 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，∴在和中，， ∴，∴，， ∴在和中，，∴， ∴，∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，，∴，∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴，∵， ∴在和中，，∴， ∴，，∴四边形是正方形，∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴， 设，则，∴，， ∴． 例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接， ，， 又，，， 为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上； ②解：， 故答案为：234； （2）解：，，， 在中，，在中，，，即； （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ，，， ，，，，， 同理可证，，，， ∵，，，， ，， 即四边形面积S的最大值为 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（    ） A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分 C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线 【答案】B 【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确； 无法证明与相互垂直平分，故选：B． 3．（24-25·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 四边形是圆内接四边形，，， 在和中，，   ， ， 即，，故选：C． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．为直径 B． C． D． 【答案】C 【详解】A：，根据圆周角定理，的圆周角所对的弦是直径，为直径，A正确，不符合题意； B：由作图知平分，即．同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故，则，B正确，不符合题意； C：是直径，．若，则，但由已知条件无法推出，实际分析：所对的弧为，结合圆的性质，，C错误．符合题意； D：D正确，不符合题意，证明如下： 证明：延长至点E，使，连接， ，，， ，，，， 是直径，， ，是等腰直角三角形，，故选：C． 4．（24-25·天津和平·九年级专题练习）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，交于点， ∵在圆内接四边形在中，，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴；故答案为：． 5．（24-25·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ． 【答案】π． 【详解】解：如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H． ∵AC⊥BD，∴∠DAC+∠ADB＝90°， ∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，∴∠DOC+∠AOB＝180°， ∵OH⊥AB，DP＝PC，∴AH＝HB＝AB＝3，OP⊥CD， ∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，∴∠AOH+∠COP＝90°， ∵∠AOH+∠OAH＝90°，∴∠COP＝∠OAH， 在△OHA和△CPO中， ∴△OHA≌△CPO（AAS）， ∴OP＝AH＝3，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆， ∵点D在圆上逆时针运动的路径长为π，设圆心角为n，∴， ∴n＝60°， ∵OD，OP的旋转角度相等，∴点P的运动路径的长．故答案为：π． 6．（2025·江苏扬州·三模）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． (1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； (2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，，∴，∴； （2）解：如图，线段或， 在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则， 过点作的垂线，垂足为点， 以为圆心，为半径画圆，连接， 取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为， 过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可， 由作图可得，由圆周角定理可得：，而， 由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即． 7．（24-25·江苏南京·九年级校考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点， ∵，∴，， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，∴，故答案为： （2）过作，作，垂足分别为、， ∴，，，， 又∵，∴，连接、、、， 在和中，， ∴，∴， 在和中，， ∴，∴，∴． 8．（2025·贵州遵义·校考一模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，． 探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． (1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程； 问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）； 拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)推理过程如下(2)(3) 【详解】（1）∵绕点顺时针旋转得到，∴，， ∴，，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． （2）绕点点顺时针得到，∴， ∴，，，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，∴． （3）∵绕点点逆时针得到，点在上，∴， ∵沿翻折得到，∴，∴， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵是圆的直径，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 9．（2025·山东德州·校考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC． (1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． (2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由． (3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果） (4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？ 【答案】(1)；(2)没有，理由见详解；(3)； (4)圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和． 【详解】（1）解：， 证明：如图4，延长PB到点D，使得，连接DA， ∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形ABPC内接于圆，∴， ∵，∴， 在和中， ，∴（SAS）∴， ∵，∴为等边三角形，∴， ∵，∴； （2）若△ABC为等腰直角三角形，，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系，理由如下：如图5，延长PB到点E，使得，连接AE， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，， ∵四边形ABPC内接于圆，∴， ∵，∴， 在和中， ， ∴（SAS）∴，， ∵，又∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系； （3）如图6，在中，以点A为顶点，AC为边，作，点F在BC上， ∵，又∵，∴， ∴，∴，∵，，∴， ∵，，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵，∴ ， 当AB＝c，AC＝b，BC＝a时，∴，即． 故答案为：； （4）由（3）的结论，可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系为：圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接， ∵，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即； 小华同学：连接，则由圆周角定理得， ∵，∴，∴，即，∴， ∵，∴，∴； 小刚同学：连接， ∵，∴，∴，即， ∴，即，∴； （2）解：连接，过点作交于点，则，， ∵过点，∴点与点关于对称，∴， ∵，∴，∴； （3）解：连接， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴点三点共线，点三点共线，， ∵，∴，∴四边形是正方形， 过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值， ∵四边形是正方形，∴，，∴ 由正方形性质可得，，∵，， ∴为等腰直角三角形，∴， ∴，，根据折叠可知，， ∴，∴， ∴折叠后上的一点到最小值为． 11．（2025成都·模拟预测）已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连接CD，并延长交BE的延长线于点A.，(1)证明：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE·OC＝ BE2． 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析 【详解】（1）∵EDOC，∴∠COB=∠DEO，∠COD=∠EDO， ∵OD=OE，∴∠DEO=∠EDO，∴∠COB=∠COD， 在△BCO和△DCO中，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CDO=∠CBO， ∵BC为圆O的切线，∴BC⊥OB，即∠CBO=90°，∴∠CDO=90°， 又∵OD为圆的半径，∴CD为圆O的切线； （2）如下图，连接BD， ∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE = 90°，∴∠BDE=∠OBC， ∵ DE//OC，∴∠BED=∠BOC，∴△BDE∽△CBO， ∴ ，∴DE·OC= BE·OB，∵OB =BE，∴DE·OC=BE2． 12．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到… 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得… （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． 【类比探究】（2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】（3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长． （4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析（3）；（4）存在最小值，最小值为 【详解】解：（1）延长到E，使，连接，如图1， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2），理由如下：延长至点G，使，连接，如图所示， 由作图可知，∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （3）如图3，过点O作于点E，于点F， 由条件可知，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （4）存在最小值，最小值为，理由如下： 如图4，取的中点F，连接，延长至点H，使，连接， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴点E、D、G、B四点共圆，∴，∴， ∵F为的中点，∴， ∵∴四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，∴， 若的度数发生改变，当点G、D、F三点在同一直线时，的值最小为． 13．（2025·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线． (1)求证：(2)若，求证：点D在的垂直平分线上． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：设直线交于T， ∵是圆D的两条切线，∴， ∴， ∵，∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，在和中，， ∴，∴，∴点D在的垂直平分线上． 14．（2025·河南·校考二模）如图，点是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点．点是圆上一点，且，连结交于点．(1)求证：；(2)当点运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)当点运动时，的度数不会变化，的度数为 【详解】（1）证明：连接，如图所示， 是等边三角形，，， ，，，， ，，，，， 四边形是圆内接四边形，， ，，； （2）解：当点运动时，的度数不会变化，理由如下： ，，， ，的度数为． 当点运动时，的度数不会变化． 15．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且．（1）求证：（2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：        【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】解：（1）如图：连接OC、OD ∵在△AOC和△AOD中OA=OA,AC=AD,OC=OD∴△AOC≌△AOD∴∠CAO=∠DAO 又∵AC=AD∴； （2）如图：连接OC、BC∵AB是直径∴∠ACB=90° ∵∴∠AEC=90°∴∠CAE+∠ABC =90°, ∠CAE+∠ACE =90°∴∠ACE=∠ABC ∵OC=OB∴∠OCB=∠ABC∴∠CAB+∠ABC =90°, ∠OCA+∠OCB =90°∴∠OAB=∠OCA ∵∴∠ACE=∠GWC∴∠ABC=∠GWC ∴∠OCA+∠GWC =∠OAB +∠CAB= 90°, 即OC⊥BE∴． 16．（24-25·江苏·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，． (1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长． 【答案】(1)等边(2)5 【详解】（1）∵∠APB＝120°，四边形APBC内接于圆，∴∠ACB＝60°， ∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边； （2）由（1）知，△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠APC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°， ∴∠PAB＝∠CAE，∴△PAB≌△EAC（SAS），∴PB＝EC＝2， ∵PE＝PA＝3，∴PC＝PE＋CE＝3＋2＝5． 17．（24-25·江苏泰州·九年级校考期末）如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求长． 【答案】(1)详见解析(2) 【详解】（1）当时，，如图所示：作轴，连结， 是的直径， ∵轴， 所对的圆周角为和 （2）∵在（1）的条件下，在和中， （AAS） 18．（2025·河南驻马店·校考一模）《义务教育数学课程标准（2022年版）》是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在《切线的性质与判定》学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B”．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1）： 作法二（如图2）： 1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 2．以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B； 3．作直线，则直线是的切线． 1．连接，交于点M，过点M作的垂线； 2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q； 3．连接，交于点B； 4．作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，为直径， ，（       ） 是的半径，∴直线PB是的切线． 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． (1)“作法一”中的“依据”是指_______________．(2)请写出“作法二”的证明过程． 【答案】(1)直径所对的圆周角为(2)见解析 【详解】（1）∵为直径，，（直径所对的圆周角为）． 是的半径，∴直线是的切线．故答案为：直径所对的圆周角为； （2）由作法可得，，，， 在和中，，，，． ∵是的半径，直线是的切线． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $