精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2025-2026学年度高一下学期期中考试数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2028届高一下期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量的模都相等 C. 平行向量一定相等 D. 向量的模是负数 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：零向量方向任意，故A错误； 选项B：单位向量的模为1，都相等，故B正确； 选项C：平行向量的方向相同或相反，且模长不一定相等，故平行向量不一定相等，故C错误； 选项D：向量的模非负，故D错误. 3. 用斜二测画法画一个边长为8的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】斜二测画法中，平面图形沿轴方向长度不变，沿轴方向长度变为原来的一半，并且直角坐标系中的夹角在直观图中画成。因此，若原图中一个矩形面积为，则其直观图面积会缩小为原来的倍.先求原正三角形面积，再乘这个缩放比即可. 【详解】边长为的正三角形面积为 在斜二测画法中：与轴平行的线段长度不变； 与轴平行的线段长度变为原来的一半； 直观图中两坐标轴夹角为， 故直观图的面积变为原来的， 所以该正三角形直观图的面积为 故选C. 4. 在中，已知，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得 . 5. 若向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两向量的模长，展开题中所给等式求出两向量的数量积，进而代入向量夹角公式计算即可. 【详解】由题意知，， 设与的夹角为， 因为，解得， 所以，又，所以. 6. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 【答案】C 【解析】 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可. 【详解】球形容器的直径为，则半径为， 所以球形容器的体积， 底面直径为、深的圆柱形水杯的底面半径为， 所以圆柱形水杯的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯. 故选：C 7. 鼎湖峰位于浙江省，为了测量山高，某学生在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了80米到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则鼎湖峰的山高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得各个角度，且，设，可得BC的长，过B作，交AQ于D，分别求出BD、AD、QD、CQ的值，根据条件，列出等式，可得h，即可得答案. 【详解】由题意，，，，则， 设，在中，， 过B作，交AQ于D，如图所示， 在中，，， ， ， 则， ，，， 因为，所以， 则，则， 解得，则. 8. 如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【详解】如图所示， 过点作于点，因为， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知， 所以， 而， 所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）给出下面四个命题正确的是（ ） A. 分别在两个平行平面内的两直线平行 B. 若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C. 如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 【答案】BD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质和判定定理逐一判断即可. 【详解】A：因为分别在两个平行平面内的两直线平行或异面，所以本选项说法不正确； B：根据面面平行的性质可知本选项说法正确； C：由面面平行的判定定理可知必须是相交直线，不能是任意两条直线，所以本选项说法不正确； D：根据面面平行的定义可知本选项说法正确. 故选：BD 10. 如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为2 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A ，利用中点向量公式；选项B，直接计算数量积；选项C，先化简为 ，再用圆中弦长的最大值判断；选项D，将 两边平方，利用基本不等式得到，又，从而得到的最大值. 【详解】对于A：因为是的中点，所以即所以A正确； 对于B：因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为为的中点，所以，， ，所以B错误； 对于 C：因为所以 而点在以为直径所在圆的右半圆弧上运动， 所以的最大值为故C正确； 对于 D：因为，， 所以， 因为， 所以 ， ，所以， 又因为, 所以，解得， 所以的最大值为故D正确. 11. 在中，内角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为 C. 若的面积为，则的周长为 D. 若边上的中线长为，点在上，为的角平分线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由及两角和的正弦公式化简所给等式即可求出角B判断A；直接利用正弦定理求外接圆半径判断B；利用三角形面积公式求出，然后利用余弦定理求出，两式联立可求出，即可求得三角形的周长从而判断C；将中线长条件与余弦定理联立求解和，两式联立可求出，再利用等面积法求判断D. 【详解】由题意知，结合， 得， 化简得，因为，所以，所以， 又，所以，A错误； ，即的外接圆的半径为，B正确； ，即，解得， 在中由余弦定理可得：，， 因为 ，所以，则的周长为，C正确； 设边上中点为D，则，因为， 两边同时平方可得，化简得， 与余弦定理联立可得，， 两式联立得， 由得， 即， 解得，D正确. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【详解】由题意，. 13. 已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】 ，因此是直角三角形，如下图所示： 过作，垂足为，因为，所以， 又因为为的中点，所以为的中点， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 14. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径r和母线l的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定三个向量. （1）求满足的实数. （2）若，求实数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用坐标表示，再根据向量相等可得答案； （2）根据向量共线的坐标表示可得答案. 【小问1详解】 因为向量. 因为， 所以 ，解得， 所以实数； 【小问2详解】 ， ， 若， 则，解得. 16. （1）一平面截一球所得截面为直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，求该球的体积和表面积. （2）如图，在直三棱柱中，，，且点是的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）；. （2） 【解析】 【分析】（1）利用球的半径，截面圆半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理求球的半径，再结合球的体积公式和表面积公式求值. （2）先判断的形状，确定其面积，再利用三棱锥的体积变换将三棱锥的体积转换为三棱锥的体积来求. 【详解】（1）如图： 设球的半径为，截面圆的半径为，球心到截面的距离， 由，所以. 所以该球的体积为， 球的表面积为. （2）在中，，，由得. 所以. 又为中点， 所以. 17. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】（1）3千米 （2）6千米． 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦定理解三角形即可； （2）设，由正弦定理得，，可得，根据可得其最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． 【小问2详解】 设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2） 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 19. 已知的内角所对的边分别为，且，点为三角形内部一点，且满足. （1）求. （2）若，求的值. （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知边角关系式，结合余弦定理把余弦展开代入，通过化简整理得到边的平方关系，再用余弦定理求出，进而确定内角的大小. （2）设出的长度，利用点三个夹角均为，根据向量数量积公式把所求式子转化为含的代数式，再利用三角形总面积拆分为三个小三角形面积之和，结合求出，代入即可算出向量数量积的和. （3）同样设，由直角三角形边长平方关系结合三点夹角为的余弦定理，推导出的等量关系，再换元令，借助均值不等式建立关于的不等式，解一元二次不等式舍去负根，求出目标式的最小值. 【小问1详解】 由余弦定理得，， 代入得， 化简得 通分整理得 展开得 因为，所以，即 由余弦定理，又，故. 【小问2详解】 设，，，由， 所以，，. 所以原式. 由，， 而，， ，， 故，得. 因此原式. 【小问3详解】 设，，， 由（1）知，故. 由， 分别用余弦定理得， ， . 代入得， 化简得，令，则，. 由均值不等式，得，即. 当且仅当时，等号成立.两边平方得， 整理得，解得（舍去负根）. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2028届高一下期中考试 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量的模都相等 C. 平行向量一定相等 D. 向量的模是负数 3. 用斜二测画法画一个边长为8的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 若向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 7. 鼎湖峰位于浙江省，为了测量山高，某学生在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了80米到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则鼎湖峰的山高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）给出下面四个命题正确的是（ ） A. 分别在两个平行平面内的两直线平行 B. 若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C. 如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 10. 如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为2 D. 若，则的最大值为 11. 在中，内角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为 C. 若的面积为，则的周长为 D. 若边上的中线长为，点在上，为的角平分线，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则的值为__________. 13. 已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为__________. 14. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定三个向量. （1）求满足的实数. （2）若，求实数. 16. （1）一平面截一球所得截面为直径为6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，求该球的体积和表面积. （2）如图，在直三棱柱中，，，且点是的中点，求三棱锥的体积. 17. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知的内角所对的边分别为，且，点为三角形内部一点，且满足. （1）求. （2）若，求的值. （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $