5.1 分式及其基本性质 分层练习 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学分式及其基本性质同步练，以分层设计构建"概念理解-性质应用-综合实践"路径，强化抽象能力与运算能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分式概念、有意义/值为0条件|选择题辨析概念（如分式个数判断），填空题巩固简单条件（如x取何值分式无意义）| |提升层|分式值计算、基本性质变形|整体代入求分式值（如a²-3a+1=0求分式值），系数化整与符号调整（如分子分母最高次项系数转正）| |综合层|分式应用与探究|工程问题（合作天数）、规律探究（如10+a/b=10²×a/b），培养应用意识与推理能力|

北师大版（2024）八年级下册 5.1 分式及其基本性质 分层练习 分式的概念 1下列各式，，，−，，＝中，分式的个数为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 2如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3请你写出一个含有字母x，y的分式：            ． 4已知a＞2，代数式：A=2a2-8，B=3a2+6a，C=a3-4a2+4a. （1）因式分解A，B，C； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，能写出几个分式，请你写出来. 分式有意义的条件 1下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 2使分式有意义的x的取值范围是（　　） A.x≠1 B.x≠-1 C.x＜1 D.x＞1 3如果分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1 4x的值为      时，分式无意义． 5求下列分式有意义的x的取值范围： （1）； （2）； （3）． 分式值为0的条件 1若=0，则x的值等于（　　） A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定 2若分式的值为0，则x的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.2或﹣1 3如果分式的值为零，那么x等于（　　） A.1 B.﹣1 C.0 D.±1 4当x=　    　时，分式的值为0． 5当x=　    　时，分式的值为零． 6已知y＝，x取哪些值时，y的值是零？分式无意义？y的值是正数？ 7已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 已知某些字母的值求分式的值 1当x=2时，分式的值为（　　） A.8 B.4 C.3 D.2 2题目当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　） A.2 B. C.1 D. 3当a=2016时，分式的值是            ． 4已知x=2，y=1，求的值． 5已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）． （1）探究a，b的值； （2）求分式的值． 整体代入法求分式的值 1已知a2﹣3a+1=0，则分式的值是（　　） A.3 B. C.7 D. 2如果x2﹣4xy+4y2=0，那么的值等于（　　） A.﹣ B.﹣ C. D. 3已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于________． 4已知，则的值为　    　． 5已知=，求的值． 由分式值正负确定字母的取值范围 1若分式的值为正，则x的取值范围为(　　) A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－ 2若分式的值为正数，则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a≠2 C.a<2 D.a>3或a<2 3已知的值为负数，则a　      ． 4已知分式，x取哪些值时分式： （1）值是正数； （2）值是零； （3）无意义； （4）有意义． 5若x为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的x的值之和． 分式的应用 1有一项工程，甲单独做需要m天完成，乙单独做需要n天完成，那么甲乙两人合作需要（　　）天完成． A. B. C. D.m+n 2已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为（　　） A.秒 B.秒 C.秒 D.秒 3一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完了下集，这部小说一共100万字，这位作家平均每天的写作量（万字）为（　　） A.- B.+ C. D. 4李师傅a小时加工了40个零件，每小时加工       个． 52001-2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是S1，S2，S3，2003年与2002年相比，2002年和2003年的增长率是多少？森林面积增长率提高了多少？（用式子表示） 用分式基本性质将分式变形 1下列各式从左到右的变形正确的是(　　) A.= B. C. D. 2若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 3已知等式和，那么（　　）中应填入                    . 4若，则括号内填             . 把分子与分母的系数变为整数 1下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 2下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A.=x+y B. C. D. 3不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：=　        ． 4（1）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　   　　　； （2）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　　　　. 5不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： ①；② 把分子与分母的最高次项系数变为正数 1下列各式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 2下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3与分式相等的是（　　） A. B. C. D. 4下列分式的变形中：①＝(c≠0)；②＝－1；③＝；④＝，错误的是________．(填序号) 5不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号． （1）；（2）；（3）；（4）－. 公因式为单项式的约分 1化简的结果是（　　） A. B. C. D.4y 2化简的结果是（　　） A. B. C. D. 3约分：=         ． 4约分：=         . 公因式为多项式的约分 1下列各式中，不能约分的分式是（　　） A. B. C. D. 2下列各式约分正确的是（　　） A. B. C. D. 3分式可化简为　    　． 4计算的结果是　     　． 最简分式 1若分式是最简分式，则△表示的是（　　） A.2x+2y B.(x-y)2 C.x2+2xy+y2 D.x2+y2 2下列分式中，是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 3化简：＝________. 4改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是           . 5分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值． 北师大版（2024）八年级下册 5.1 分式及其基本性质 分层练习（参考答案） 1分式的概念 1下列各式，，，−，，＝中，分式的个数为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【解析】，−，是分式，共3个． 故选：C． 2如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片，则卡片中的式子是分式的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】甲卡片中，是分式；乙卡片中，中，π是一个数，故不是分式；丙卡片中，是分式；丁卡片中，，分母不含字母，不是分式． 综上，是分式的有甲、丙，共2个. 故选：B． 3请你写出一个含有字母x，y的分式：            ． 【答案】（答案不唯一） 4已知a＞2，代数式：A=2a2-8，B=3a2+6a，C=a3-4a2+4a. （1）因式分解A，B，C； （2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，能写出几个分式，请你写出来. 【答案】解：（1）A=2(a2-4)=2(a+2)(a-2)；B=3a(a+2)；C=a(a2-4a+4)=a(a-2)2. （2）根据分式的定义，能写出6个分式，分别是： ，，，，，. 2分式有意义的条件 1下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A，B选项中，当时，分母为0； C选项中，当时，分母为0； 而D选项中的分母＞0，也即不管x取什么值，其分母都一定大于0，所以D项中的式子一定是分式． 故选：D. 2使分式有意义的x的取值范围是（　　） A.x≠1 B.x≠-1 C.x＜1 D.x＞1 【答案】A 【解析】∵分式有意义，∴x-1≠0，解得x≠1． 故选：A． 3如果分式有意义，则x的取值范围是（　　） A.全体实数 B.x≠1 C.x=1 D.x＞1 【答案】B 【解析】∵分式有意义，∴x-1≠0，解得：x≠1． 故选：B． 4x的值为      时，分式无意义． 【答案】-1 【解析】由分式无意义，得x+1=0，解得x=-1． 5求下列分式有意义的x的取值范围： （1）； （2）； （3）． 【答案】解：（1）当分母x-1≠0，即x≠1时，分式有意义. （2）当分母|x|-4≠0，即x≠±4时，分式有意义. （3）当分母(x-1)(x+5)≠0，即x≠1或x≠-5时，分式有意义． 3分式值为0的条件 1若=0，则x的值等于（　　） A.3或﹣2 B.﹣3 C.2 D.无法确定 【答案】B 【解析】由题意得解得x=﹣3. 故选：B． 2若分式的值为0，则x的值为（　　） A.2 B.﹣2 C.2或﹣2 D.2或﹣1 【答案】B 【解析】根据题意得解得x=﹣2． 故选：B． 3如果分式的值为零，那么x等于（　　） A.1 B.﹣1 C.0 D.±1 【答案】B 【解析】∵分式的值为零，∴解得x=﹣1． 故选：B． 4当x=　    　时，分式的值为0． 【答案】 【解析】∵分式的值为0，∴解得x=. 5当x=　    　时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】依题意得解得x=3． 6已知y＝，x取哪些值时，y的值是零？分式无意义？y的值是正数？ 【答案】解：由题意得当x＝0时，y的值是零； 当3－5x＝0，即x＝时，分式无意义； 当>0，即x＜且x≠0时，y的值是正数． 7已知分式，试问： （1）当m为何值时，分式有意义？ （2）当m为何值时，分式值为0？ 【答案】解：（1）由题意得m2﹣3m+2≠0，解得m≠1且m≠2. （2）由题意得解得m=3， 则当m=3时，此分式的值为零． 4已知某些字母的值求分式的值 1当x=2时，分式的值为（　　） A.8 B.4 C.3 D.2 【答案】D 2题目当x=6，y=﹣2时，式子的值为（　　） A.2 B. C.1 D. 【答案】D 【解析】∵x=6，y=﹣2，∴===． 故选：D． 3当a=2016时，分式的值是            ． 【答案】2018 【解析】原式==a+2，把a=2016代入得原式=2016+2=2018． 4已知x=2，y=1，求的值． 【答案】解：因为x=2，y=1，所以原式===． 5已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）． （1）探究a，b的值； （2）求分式的值． 【答案】解：（1）∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，且10+=102×（a，b均为正整数）． ∴a=10，b=102-1=99． （2）原式==，将a=10，b=99代入得原式=20.8． 5整体代入法求分式的值 1已知a2﹣3a+1=0，则分式的值是（　　） A.3 B. C.7 D. 【答案】D 【解析】∵a2﹣3a+1=0，∴a2+1=3a，∴（a2+1）2=9a2，∴a4+1=（a2+1）2﹣2a2=7a2，∴原式==． 故选：D． 2如果x2﹣4xy+4y2=0，那么的值等于（　　） A.﹣ B.﹣ C. D. 【答案】C 【解析】∵x2﹣4xy+4y2=0，∴（x﹣2y）2=0，则x=2y，故原式===． 故选：C． 3已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于________． 【答案】4 【解析】由y＝得xy＋y＝x，即x－y＝xy，所以＝＝＝4. 4已知，则的值为　    　． 【答案】5 【解析】∵，即，∴2b=3a，∴b=1.5a，∴==5． 5已知=，求的值． 【答案】解：∵=， ∴=9， x﹣+1=9， x﹣=8， ∴==(x+2+1=82+3=67， ∴=． 6由分式值正负确定字母的取值范围 1若分式的值为正，则x的取值范围为(　　) A.x≥－ B.x≤－ C.x>－且x≠0 D.x＜－ 【答案】C 2若分式的值为正数，则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a≠2 C.a<2 D.a>3或a<2 【答案】D 【解析】由题意得或解得a>3或a<2. 故选：D. 3已知的值为负数，则a　      ． 【答案】a＞ 【解析】由题意得当1﹣3a＜0时，分式的值是负数，解得a＞． 4已知分式，x取哪些值时分式： （1）值是正数； （2）值是零； （3）无意义； （4）有意义． 【答案】解：（1）∵分式的值是正数，∴或解得＜x＜1， ∴当＜x＜1时，分式值是正数. （2）∵分式值是零，∴x﹣1=0且2﹣3x≠0，解得x=1， ∴当x=1时，分式值为0． （3）∵分式无意义，∴2﹣3x=0，解得x=， ∴当x=时，分式无意义． （4）∵分式有意义，∴2﹣3x≠0，解得x≠， ∴当x≠时，分式有意义． 5若x为整数，且的值也为整数，求所有符合条件的x的值之和． 【答案】解：＝＝. ∵x为整数，为整数，∴x－2＝±1，x－2＝±2，x－2＝±4， ∴x的值为－2，0，1，3，4，6. 若原分式有意义，则x2－4≠0，∴x≠2且x≠－2. ∴x的值为0，1，3，4，6. 故所有符合条件的x的值之和为0+1+3+4+6=14. 7分式的应用 1有一项工程，甲单独做需要m天完成，乙单独做需要n天完成，那么甲乙两人合作需要（　　）天完成． A. B. C. D.m+n 【答案】A 【解析】由题意可知，两人合作需要1÷(+)＝（天）完成. 故选：A． 2已知甲、乙两地相距500米，小李、小刘两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，速度分别为x米/秒、y米/秒，小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，行驶时间为（　　） A.秒 B.秒 C.秒 D.秒 【答案】C 【解析】依题意得小李、小刘两人第二次相距m（m＜500）米时，两人所行驶的路程之和为（500+m）米， 又∵两人的速度之和为（x+y）米/秒，∴行驶的时间为秒． 故选：C． 3一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完了下集，这部小说一共100万字，这位作家平均每天的写作量（万字）为（　　） A.- B.+ C. D. 【答案】C 【解析】这位作家平均每天的写作量（万字）为. 故选：C． 4李师傅a小时加工了40个零件，每小时加工       个． 【答案】 52001-2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是S1，S2，S3，2003年与2002年相比，2002年和2003年的增长率是多少？森林面积增长率提高了多少？（用式子表示） 【答案】解：2002年的增长率是， 2003年的增长率是， 则森林面积增长率提高-. 8用分式基本性质将分式变形 1下列各式从左到右的变形正确的是(　　) A.= B. C. D. 【答案】C 【解析】选项A，分子、分母同加m，不符合分式的基本性质； 选项B，分子、分母都乘以c，但当c=0时，不成立； 选项C，分子、分母都除以m，且隐含m≠0，符合分式的基本性质； 选项D，分子乘以a，分母乘以b，分式的值改变. 故选：C. 2若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍， A选项，==； B选项，≠； C选项，； D选项，. 故选：A． 3已知等式和，那么（　　）中应填入                    . 【答案】3a2-3ab，m+n 【解析】由于分母a+b需乘以a-b才能得到a2-b2，依据分式的基本性质，分子3a也需乘以a-b，分式的值才不变． 而3a(a-b)=3a2-3ab，故第一个（　　）中应填入3a2-3ab； 由于分母2m2n2需除以mn才能得到2mn，依据分式的基本性质，分子m2n+mn2也需除以mn，分式的值才不变． 而(m2n+mn2)÷mn=m+n，故第二个（　　）中应填入m+n． 4若，则括号内填             . 【答案】2a+2b 【解析】根据分式的基本性质，分子、分母都乘(a+b)，则括号内填2a+2b． 9把分子与分母的系数变为整数 1下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.将分式分子分母同乘10，应该每一项都乘10，故错误； B.分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故正确； C.将分式分子分母同除10，应该每一项都除以10，故错误； D.分子分母除以不同的数，分式的值发生变化，故D错误. 故选：B． 2下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A.=x+y B. C. D. 【答案】D 【解析】A.分子与分母除的数不是同一个数，故错误； B.分子分母的一部分乘以10，故错误； C.-=≠，故C错误； D.分子分母都乘2，故D正确. 故选：D． 3不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：=　        ． 【答案】 【解析】分子分母都乘以10，分式的值不变，得. 4（1）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　   　　　； （2）将分式的分子、分母的各项系数化为整数的结果是　　　　　. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）原式==； （2）原式==. 5不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： ①；② 【答案】解：①分式的分子与分母同时乘6得：原式=. ②分式的分子与分母同时乘10得：原式=． 10把分子与分母的最高次项系数变为正数 1下列各式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.原式=，故错误； B.原式=，故错误； C原式=，故错误； D.，故正确． 故选：D. 2下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A错误，应为； B错误，应为； C错误，应为； D正确，分子分母都乘15，分式的值不变，故D符合题意. 故选：D． 3与分式相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，因而在分式的分子、分母上同时乘以﹣1分式的值不变，原分式分子分母都乘以﹣1，可得﹣． 故选：C． 4下列分式的变形中：①＝(c≠0)；②＝－1；③＝；④＝，错误的是________．(填序号) 【答案】③④ 【解析】③原式＝，故③错误； ④原式＝，故④错误． 5不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号． （1）；（2）；（3）；（4）－. 【答案】解：（1）＝－. （2）＝－. （3）＝. （4）－＝－. 11公因式为单项式的约分 1化简的结果是（　　） A. B. C. D.4y 【答案】C 【解析】原式==． 故选：C． 2化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】原式==． 故选：B． 3约分：=         ． 【答案】﹣ 【解析】＝﹣. 4约分：=         . 【答案】- 12公因式为多项式的约分 1下列各式中，不能约分的分式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A. =，故本选项错误； B. ，不能约分，故本选项正确； C. =﹣，故本选项错误； D. ==，故本选项错误. 故选：B． 2下列各式约分正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.原式=，故本选项错误； B.分子、分母没有公因式，不能约分，故本选项错误； C.原式=，故本选项正确； D.原式=，分子、分母没有公因式，不能约分，故本选项错误. 故选：C． 3分式可化简为　    　． 【答案】 4计算的结果是　     　． 【答案】1﹣2a 【解析】原式==1﹣2a． 13最简分式 1若分式是最简分式，则△表示的是（　　） A.2x+2y B.(x-y)2 C.x2+2xy+y2 D.x2+y2 【答案】D 【解析】因为x2-y2=(x+y)(x-y)，且分式是最简分式，所以△中肯定不含有(x+y)或(x-y)． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 2下列分式中，是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.=，错误； B.=，错误； C.=，错误； D.是最简分式，正确． 故选：D． 3化简：＝________. 【答案】x 【解析】原式＝＝x. 4改变分式的值，把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是           . 【答案】 【解析】分子、分母都乘以100，得原式==． 5分式是最简分式吗？若不是最简分式请把它化为最简分式，并求出x=2时此分式的值． 【答案】解：分式不是最简分式． 原式==， 当x=2时，原式==． 学科网（北京）股份有限公司 $