5 5.1 分式及其基本性质-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

基础练 1.B2.C3.(1)4(2)±64.(1)①(2x)22xyy2(2x+y)2②@ (a+b)552(a+b-5)2(2)(x-3)25.A6.(1)2(x+1)2(2)2m (x-y)27.(1)解：原式=a(a-3b)2；(2)解：原式=-b(1-2b+b2)=- b(1-b)2;(3)解：原式=(x-y+1)2.8.D9.410.等边11.(1)a +b2(2)412.(1)解：原式=(a-b)(a2-)=(a-b)2(a十b)；(2)解： 原式=(x+2)(x-2)2;(3)解：原式=(x十y-2)2.13.(1)C(2)(x -2)(3)解：设x2+2x=y,则原式=y(y+2)+1=y2十2y+1=(y+1)2 =(x2十2x+1)2=(x十1)4。 微专题四利用十字相乘法因式分解 1.【问题解决】(1)(x十1)(x十4)(2)(x一1)(x一5)(3)(x十8)(x-1) (4)(x-9)(x+3)【拓展训练】(1)(2x+1)(x+1)(2)(x-1)(3x-2) 2.2(x+1)(x-6)3.x(x+3)(x-1) 重点强化专题（一）因式分解的五点关注 1.解：(1)原式=x(x-2y+1);(2)原式=(m一2)(m2-2m+1)=(m-2) (m-1)2.2.解：(1)原式=[2(a+b)]2-12=(2a+2b+1)(2a+2b-1): (2)原式=4(9x2-12xy+4y2)=4[(3x)2-2×3.x·2y+(2y)2]=4(3x 2y)2.3.解：(1)原式=-4m2n(m2+4n2+4mn)=-4mn(m+2n)2； (2)原式=(b-1)2(6a-2)=2(b-1)2(3a一1)。4.解：(1)原式=[(5a十 3b)+(3a+5b)][(5a+3b)-(3a+5b)]=(8a+8b)(2a-2b)=16(a+b)(a -b);(2)原式=(a+1)[(a+1)2-2(a+1)+1]=(a+1)[(a+1)-1]2= a(a+1)。5.解：(1)原式=x2(y-x)=x2(y2+x2)(y2-x2)=x2(y2+ x2)(y十x)(y-x)；(2)原式=(m2)2-2·m2·9+92=(m2-9)2=[(m十 3)(m-3)]2=(m十3)2(m-3)2；(3)原式=(x-y)(x2-9)=(x-y)(x+ 3)(x—3)。 第四章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)C(2)不彻底(x-3)(3)解：设x2一2=y。则原式=y(y-4) +4=y2-4y十4=(y-2)=(x2-2-2)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2。 考点过关 1.D2.D3.B4.D5.C6.B7.368.x(答案不唯一)9.(1)150 (2)3600(3)13210.(1)解：原式=x2(1-x2)=x2(1十x)(1-x); (2)解：原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2;(3)解：原式=[3(x+y)] 6(x+y)+1=(3.x+3y-1)2;(4)解：原式=992+2×99×1+1=(99+ 1)2=1002=10000.11.解：(1)(x2y-xy2)-(x-y)=28xy(x-y) (x-y)=28(x-y)(xy-1)=28。.xy=15,.14(x-y)=28。.x-y =2。(2)x2+y2=(x-y)2+2xy=22+2×15=34;(x+y)2=x2+2xy+y =34+2×15=64,.x+y=士8.12.解：(1)n+6n十4(2)①S1=(n +2)(n+6)=n2+8n+12,S2=(n+8)(n+4)=n2十12n+32。②S2+4=n +12m十32+4=n2+12n+36,,n2+12n+36=n2+12n+62=(n+6)2,. S2+4可以化为一个完全平方式。13.解：(1)132-102=(13+10)(13- 10)=69.69÷3=23,.能被3整除。(2)(2n+3)2-(2n)2=(2n+3十 2n)(2n十3-2n)=3(4n十3)，∴.能被3整除。(3)设这个数为n,比n大9 的数为n十9。(n十9)2一n=(n十9十n)(n+9一n)=9(2n十9)，∴.能被9整除。 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式及其相关概念 基础练 2x+1_2×1+1_ 1.C2.A3.24.-0.55.解：当x=1时，x-3=1-3 3 x=2时，2+}22+1=5；当x=-1时，2+-2X1)士1=号 x2-322-3 x2-3(-1)2-3-2 6.B7,600是8.C9.Dx<5(2)任意实数10.81L.二 x2-36 (答案不唯一) 22 第2课时分式的基本性质及约分 基础练 1.A2.(1)xy(2)a2-b2(3)a2b(4)x+y3.(1)2ab 1 (2)(x 3ac +1)(x-1) (x-1) 14.B5.C62 7.(1)解：原式= 0-(2):原式=2= 3mn·nn (3)解：原式= (a+2)(a-2)_=a-2 (a+2)2 一“2.8.1)B(2)扩大到原来的2倍9.解：原式 (x-y)2 =y。当x=2,y=3时，原式=二y=-。 10.解：答 (x+y)(x-y)x+y x十y 案不唯，如。0，》-“为，当a=26=1时，原式= "ab-b b(a-1) b _2+1=3。 1 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 知识储备 102 d 3 基础练 1.(1)y2x4xy2 1 ,（2)c80舒：原式-器-芸：②解： 原式=”3·名：@解：原式-号“22 2(x-3),x+3=2. a十2 (a-2)2 12.1)03h236②11 atb a-b (2)①解：原式=12xy.152 5z2 》·=产2：③解：原式-》. ；②解：原式=x(x一2） x-3 1 xy=x2y。 x- 3解g909a02y-- 答：甲工程队修900m所 用时狗是乙工程队修60m所用时间的一倍。 4.(1)①3y2x47 9y2 ②- 32x-2y(2)D5.1)解：原式=4y.=2 8x3 ”6r=32 2解式· m二n)=n。6.解：该同学的求解不正确，分式 m2n2 乘除混合运算的顺序为从左到右。正确的解答过程：x÷(x一1)· 1 x-1x ·x‘:7.B8圣9.1)解：原式=二a-2). 1. 1 1 a气2》g》-a-2:2解原式-8千·》=-营 (a-2)2 0解：Q)甲筐水果的单价为12)元/kg:乙筐水果的单价为120 m2-1 元/kg。:m>1,.m2-1-(m-1)2=2m-2>0。.0<(m-1)2<m2-1。 2 心之20故甲筐水果的单价卖得高：2)120 120 129)·加0+卫-物号.答：高的单价是低的单价的倍。 (m-1)2 120 第2课时同分母分式的加减法 知识储备 分母分子土 a 基础练 1.a0a1a-11@a+3a-1a2①D②B2.3第 五 章 分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式及其相关概念 01基础练 知识点四列分式 必备知识梳理· 7.某长方形操场的面积是600m,若这个操场 知识点一 分式的概念 的长是xm,则此操场的宽是 m, 1.下列各式中，是分式的是 ( 此代数式 (填“是”或“不是”)分式。 A号 B.x-1 C.1 x+3 D.2 02综合练 拿关健能力提升一 知识点二 分式有、无意义的条件 8.下列分式中一定有意义的是 () 2.(2025·含州)若分式，有意义，则x的取 值范围是 A月 ( A.x≠-1 B.x=-1 12 3 D.1a+1 C.x≥-1 D.x>-1 C.a+2a+2 9.填空： 3.【载材P128例1变式】若分式。2无意义，则 )当分式十6的值为正数时x的取值范 a- 知识点三分式的值 围是 4.【教材P131习题T3变式】当m=1,n=-3 (②)当分式的值为负数时，x的取值范 时，分式”十的值为 m-n 围是 5.【教材P128随堂练习T2变式】当x=1,2, 10.由生活经验，我们知道往一杯糖水中再加入 一1时，分别求分式2士号的值。 点糖，糖水就变甜了。将a克糖放入水中，得 x2-3 到b克糖水，此时糖水的含糖量记为公(a< b),再往杯中加入c(c>0)克糖，此时糖水的 含糖量可表示为 11.【新中考·结论开放】利用下面三个整式： ①x+5;②x-5;③x2-36中的两个或三个 易错点○忽视分式的分母不为0致错 写出一个分式，使得当x=5时，分式的值为 0,且x=一6时，分式无意义，则这个分式可以 6(2025·周口期未)若分式的值为0，则 是 x的值为 A.±2B.-2C.0 D.2 助学助教优质高数72 第2课时 分式的基本性质及约分 01 基础练 7.【教材P129例3变式】化简下列分式： 份必备知识梳理一 (1) 6mn 知识点一 分式的基本性质 3mn2i (2)3y 6x2y3i 1使得等式一忍皮立的。的取值范围呢〔） A.a≠0 B.a=0 C.a=1 D.a=0或a=1 (3) a2-4 a2+4a+4 2.【教材P129例2变式】利用分式的基本性质 填空。 x2;(2)4-b( (1)y=（) a+b(a+b)29 (3)2 )(4)x2y2 2ab x一y 02综合练 叠关健能力提升一 ab (x+y)( 【点拨】看分子（分母）如何变化，利用分式的基本性 8.12025·郑州翔衣)把分式号的 质想分母（分子）如何变化。 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值() A.扩大到原来的2倍B.不变 知识点二约分及最简分式 3.【法则舞折】1)分式0的分子与分母的公 C.扩大到原来的4倍D.缩小到原来的 因式是 ,约分的结果是 (2)【T8(1)变式】分式中的x,y都扩大到原 “x十y (2)分式的分母分解因式为 来的2倍，则分式的值 9.【教材P131习题T6变式】先化简，再求值： 分子与分母有公因式 ,约分的结果 2-2xy寸y,其中x=2,y=3。 x2-y2 是 4(2025·南归期中)将分式约分，结果为 ( A.4xy B.4x D 03素养练 C.4x 源季科主养培有一 2 10.【新中考·开放性问题】请在a2-1,ab-b, 5.下列分式中，属于最简分式的是 ( ab+b这三个整式中任选两个构造一个分 A.-2bc B.x十y)y 式。化简该分式，并选取恰当的字母值求出 ac 该分式的值。 C.(y) D苏 6分式%化成最简分式为 73八年级数学下册·BS