第五章 分式与分式方程【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 分式与分式方程【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 分式的求值 题型十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十六 分式加减混合运算 题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十七 分式加减的实际应用 题型四 判断分式变形是否正确 题型十八 分式加减乘除混合运算 题型五 求使分式变形成立的条件 题型十九 分式化简求值 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型二十 分式最值 题型七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型二十一 根据分式方程解的情况求值 题型八 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型二十二 分式方程无解问题 题型九 约分 题型二十三 列分式方程 题型十 最简分式 题型二十四 分式方程的行程问题 题型十一 最简公分母 题型二十五 分式方程的工程问题 题型十二 通分 题型二十六 分式方程的经济问题 题型十三 异分母分式加减法 题型二十七 分式方程和差倍分问题 题型十四 整式与分式相加减 题型二十八 分式方程的其它实际问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【易错点拨】根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有 .分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是 单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点十 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点十一 零指数 a0=1 (a≠0) 知识点十二 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十三 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 分式的求值 【例1】（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查分式的化简求值，由已知条件 可得 ，然后将所求分式的分子和分母变形，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【思路引导】本题考查了分式的值和完全平方变形求值，理解题干中给出的方法是解题的关键． （1）先用倒数法求出，再计算求值即可； （2）①先用倒数法求出，再求解，最后求解的倒数即可；②先用倒数法求出，再用完全平方变形求解，最后代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 题型讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负． 【思路引导】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【规范解答】解：依题意，得， 则有①或 ② 解不等式组①得：； 解不等式组②得：不等式组无解， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【变式】（24-25八年级上·福建福州·月考）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【思路引导】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【规范解答】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 题型讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”，类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： ；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当x=______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)，4 (3)当时，分式取到最大值，最大值为． 【思路引导】本题主要考查了新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算、二次根式的性质、不等式的性质等知识点，理解新定义运算并利用二次根式的性质化简是解题的关键． （1）先设、，可得出，将、代入后根据当且仅当时式子有最小值，据此求出x及最小值即可； （2）先将已知式子化为，再根据x为整数，且为整数，得出关于x的方程求解即可； （3）先将式子化为，再得出，然后根据当且仅当时式子有最小值，求出x及原式的最大值即可． 【规范解答】（1）解：设、，则， ∴， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6． 故答案为：3，6． （2）解： ∵x为整数，且为整数， 或或或， ∴或或或，则满足条件的整数x的值有4个． 故答案为：，4． （3）解：， ， ， 当且仅当时，即时，式子有最小值为， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【变式】（23-24八年级上·湖南长沙·月考）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【思路引导】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 题型讲练四 判断分式变形是否正确 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【思路引导】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【规范解答】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【变式】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了分式的基本性质及符号变化规则，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质及符号变化规则逐项判断即可． 【规范解答】解：A．左边（分子负负得正），右边，显然不等，故A错误． B．左边（分子整体取反），右边，分子符号不同，故B错误． C．左边，与右边完全相同，故C正确． D．左边，右边，左边为负，右边为正，故D错误． 故选C． 题型讲练五 求使分式变形成立的条件 【例5】（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 【规范解答】（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 【变式】根据分式的基本性质填空：．______ 【答案】 【思路引导】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得． 【规范解答】解：， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键． 题型讲练六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【规范解答】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 【变式】．（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【思路引导】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质计算即可． 【规范解答】解：把分式中的，的值都扩大为原来的倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 题型讲练七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例7】（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“+”，可得答案． 【规范解答】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【考点剖析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 题型讲练八 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例8】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【思路引导】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【考点剖析】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据分式的基本性质即可解答； （2）根据分式的基本性质即可解答 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 【考点剖析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 题型讲练九 约分 【例9】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴括号中应填． 【变式】（25-26八年级上·北京西城·期末）在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． (1)化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查分式的约分，多项式乘以多项式，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法以及分式的基本性质，进行化简即可； （2）设，，作差法比较大小即可． 【规范解答】（1）解：设，，则， ， 则原式； 故答案为：，． （2）解：设，， 则 ． ，， ． ． 题型讲练十 最简分式 【例10】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了分式的定义，分式的性质，分式值为0的条件以及最简分式， 根据各自的定义以及条件和性质一一判断即可． 【规范解答】解：．是整式不是分式，故该选项不符合题意； ．中x，y都扩大3倍，变成，分式的值扩大了3倍，故该选项不符合题意； ．分式的值为0，则且，解得，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式】（23-24八年级上·重庆开州·月考）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式的定义，最简分式，分式的性质等知识，根据分式的定义，最简分式，分式的性质对各选项进行判断作答即可，熟练掌握分式的定义，最简分式，分式的性质是解题的关键． 【规范解答】解：A、代数式不是分式，说法正确，故选项不符合题意； B、分式的值不可能为0，说法正确，故选项不符合题意； C、分式是最简分式，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到，分式的值改变，故选项符合题意； 故选：D． 题型讲练十一 最简公分母 【例11】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【变式】（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【思路引导】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【规范解答】（1）解：； ； （2）解： 题型讲练十二 通分 【例12】（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 甲同学   解：原式 乙同学   解：原式 (1)甲同学解法的依据是_____，乙同学解法的依据是_____；（填序号） ①乘法交换律；②分式的基本性质；③乘法分配律；④等式的基本性质． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)见详解 【思路引导】本题考查了分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察甲、乙两位同学的部分运算过程，再结合分式的基本性质，乘法分配律等内容进行分析，即可作答． （2）理解题意，根据分式的混合运算法则计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：观察甲同学的部分运算过程，得出甲同学解法是先进行通分， 故甲同学解法的依据是②， 观察乙同学的部分运算过程，得出乙同学解法是运用乘法分配律去掉括号， 故乙同学解法的依据是③ （2）解：当选择甲同学，过程如下： 原式 ． 或当选择乙同学，过程如下： 原式 ． 【变式】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例：计算． 解：原式， …… (1)请写出单项式_______________； (2)将该例题的解答过程补充完整； (3)请在，，中选择一个合适的数，代入化简后的结果求值． 【答案】(1) (2)过程见解析 (3)选， 【思路引导】本题考查分式的混合运算，分式的基本性质，代数式化简求值，掌握好分式混合运算的法则是关键． （1）将分式通分成，对比可得单项式； （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可； （3）在原分式有意义的前提下（即分母不为，除数不为），选择合适的值，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：根据分式的性质可得， 由题意可知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：原式， ， ， ； （3）解：当或时，原分式无意义，故只能选． 当时，． 题型讲练十三 异分母分式加减法 【例13】（25-26八年级下·山西临汾·期中）学完分式运算后，老师出了一道题：化简. 小明的做法：原式． 小芳的做法：原式． (1)以上解题过程中______同学是正确的，_____同学是错误的．请写出错误的原因：________； (2)请化简：． 【答案】(1)小芳，小明，第2个分式中的分子未加括号 (2) 【思路引导】（1）理解题意，结合异分母分式相加的法则进行分析，即可作答． （2）先把化简得，再运用同分母分式相加的法则进行分析，即可作答． 【规范解答】（1）解：以上解题过程中小芳同学是正确的，小明同学是错误的； 观察解题过程得出：错误的原因是第2个分式中的分子未加括号． （2）解：依题意， ． 【变式】（25-26八年级下·河南安阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】根据分式的加减运算法则将异分母分式通分，将分式的除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到化简后的分式，再代入字母的值，将含有二次根式的分母有理化，即可得出答案． 【规范解答】解：， ， ， ， 当时， 原式． 题型讲练十四 整式与分式相加减 【例14】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据递推关系计算前几项，找出数列的循环周期，再计算除以周期的结果，对应得到所求项的值． 【规范解答】解：∵， ∴ 以为循环节3次一循环，周期为 ∵， ∴． 【变式】（25-26八年级上·福建厦门·期末）小明发现了一个数字游戏，游戏规则如下： ①有一组数字； ②每次随机去掉两个数字，如和，计算，结果记为，将与剩下的数字组成新的一组数字； ③重复②的操作，使得最后只剩下一个数字，记为． 小明用同一组数字重复多次游戏，发现最后剩下的数字始终不变． 根据游戏规则，若，则的值为_____．(用含的式子表示) 【答案】 【思路引导】本题考查数字规律探究与分式的运算，关键是对操作中的代数式进行变形，发现每次操作的本质是将两个数、转化为，进而推导出最终结果与所有数的关系，再利用分式的约分和加减运算求解． 【规范解答】解：∵每次操作将两个数替换为， ∴设替换后的新数为，则， 重复这个操作，每次都是将两个数相乘后再减1，因此最后剩下的数，等于所有数对应的相乘后再减1，即：． ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 题型讲练十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例15】（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 【答案】 1 3 【思路引导】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 【规范解答】解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 【变式】（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，试确定A，B的值 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【规范解答】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 题型讲练十六 分式加减混合运算 【例16】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式】（24-25八年级下·吉林长春·月考）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 【答案】(1)二，； (2)． 【思路引导】本题考查了分式的化简，平方差公式，根据分式的性质正确的化成同分母分式是解题关键． （1）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案； （2）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：小张的做法从第二步开始出现错误， 正确解法如下： ， 故答案为：二，； （2）解： ． 题型讲练十七 分式加减的实际应用 【例17】．（25-26八年级上·上海·月考）为了将一张宽为的长方形纸片拼接成一个新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． 在图4中延长，交于点，延长，交的延长线于点，如果四边是一个面积为的正方形，四边形是一个面积为的正方形． (1)请用两种不同的代数式来表示线段的长； (2)如果，求与之间的数量关系． 【答案】(1)或 (2) 【思路引导】本题考查列代数式，二次根式的应用，分式的化简， 解题的关键是掌握以上知识点． （1）①；②根据图1变到图4时的面积相等列式化简即可； （2）根据（1）中的两种表示方式列出等式，将代入后化简即可． 【规范解答】（1）解：如图： ①∵四边形是一个面积为的正方形，四边形是一个面积为的正方形 ∴，， ∴； ②∵图1矩形面积和图4中多边形面积相等， ∴， ∴； ∴或； （2）解：由（1）得， 当时，， ∴． 【变式】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【思路引导】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【规范解答】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 题型讲练十八 分式加减乘除混合运算 【例18】（25-26八年级下·北京大兴·期中）观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； (2)用含（是整数且）的式子表示第个等式 ，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路引导】（1）仿照等式的规律写出第5个等式即可； （2）找到等式的规律，写出第个等式，通过二次根式的性质化简证明等式成立即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，第5个等式：； （2）解：第个等式为， 证明：左边右边， ∴等式成立． 【变式】25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【思路引导】先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，约去公因式完成化简，最后将代入化简后的式子求值． 【规范解答】解： ． 当时，原式 ． 题型讲练十九 分式化简求值 【例19】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解． 【答案】； 【思路引导】本题主要考查分式的化简求值和解一元一次不等式组，先解一元一次不等式组，求得不等式组中各个不等式解集的公共部分，找到解的整数值，然后化简分式，注意分式的分母不能为零． 【规范解答】解： 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 所以该不等式组的整数解为，． ， 根据题意可知，即． 将代入，可得： 原式． 【变式】（25-26八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【思路引导】先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【规范解答】解： ， ∵， ∴原式． 题型讲练二十 分式最值 【例20】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【思路引导】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 【变式】（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)8，4 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的变形，分式求最值，算术平方根，正确理解题意并举一反三是解题关键． （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8，故可得解； （2）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【规范解答】（1）解：（1）由题意，设，且， 由， 得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8． 故答案为：8，4； （2）解：由题意，设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 答：所用的围栏至少为米． （3）由题意，设， △与△底边上的高相等，△与△底边上的高相等， ， ． ． ． 又 ， 当时，即时取等号， ． 四边形面积的最小值存在，最小值为． 题型讲练二十一 根据分式方程解的情况求值 【例21】（25-26八年级下·山东济南·期中）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【思路引导】先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【规范解答】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且． 【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【思路引导】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【规范解答】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 题型讲练二十二 分式方程无解问题 【例22】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2) (3)或 【思路引导】本题考查新定义“和整分式”的理解，分式的加减运算，分式方程的解法及无解问题，理解新定义是解题关键． （1） 先化简分式，再计算的结果，根据新定义判断是否为和整分式并确定值． （2）先根据和整分式的定义求出，再化简，结合为正整数及为正整数求解的值． （3）先确定的值，再根据列出方程，分一次项系数为0和方程有增根两种情况求解的值． 【规范解答】（1）解： 是正整数 与是互为“和整分式”，“和整数值” （2）解：， 与互为“和整分式”， （） 的值为正整数，为正整数 为的负约数 或 解得或 是正整数 舍去 答：正整数的值为1． （3）解：由（2）知 两边乘得 整理得 关于的方程无解 分两种情况 情况一： 解得，此时方程，无解 情况二：方程有增根，增根为 将代入 得 解得 综上，的值为或． 【变式】（25-26八年级上·广东云浮·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．设被污染的数字为，则方程为，去分母并解方程得，结合“此方程无解”可知是增根，列出关于的方程，即可求解． 【规范解答】解：设被污染的数字为， 则方程为 方程两边同乘，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是增根，即， ∴， 解得：． 故选：A． 题型讲练二十三 列分式方程 【例23】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可． 【规范解答】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 【变式】（25-26八年级上·山东临沂·期末）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】(1)，，． (2)A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 【思路引导】本题考查分式方程的应用，准确的表示A，B两种自主移动机器人搬运化工原料的工作时间是解本题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列出方程解答即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得A型机器人每小时搬运化工原料， B型机器人每小时搬运化工原料， 两种机器人合作搬运完成需要的时间为：， 故答案为：，，； （2）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意可得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A型机器人每小时搬运化工原料，B型机器人每小时搬运化工原料． 题型讲练二十四 分式方程的行程问题 【例24】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)，，； (2)货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； (3)． 【思路引导】本题考查了有理数运算的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据从仓库到仓库的运输时间为：（小时），直接运输成本为：（元），运输总成本为：（元），从而求解； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时；根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时，所以全程共用时（小时），由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），得出则，然后解不等式组即可． 【规范解答】（1）解：从仓库到仓库的运输时间为：（小时）， 直接运输成本为：（元）， 运输总成本为：（元）， 故答案为：，，； （2）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时； 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； （3）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时， 所以全程共用时（小时）， 由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值）， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·山东泰安·期末）周日，小明和小刚相约去万达广场看电影，请根据他们周六电话相约的内容及其它信息，算一下小明乘坐出租车和小刚骑自行车的平均速度各是多少千米每小时？ 小明：我查看了高德地图，我家离万达广场15千米，你家离万达广场10千米，我明天上午9点乘出租车从家里出发，咱们在万达广场西停车场入口处集合． 小刚：我家离万达广场比你家离万达广场近5千米，我骑自行车过去就行，我估计你打车的速度是我骑自行车速度的3倍，这个时间段的早交通高峰已过，一般不会堵车，我上午从家骑自行车出发，估计我们能同时达到． 周日上午，他们两人同时到达相约地点． 【答案】小刚骑自行车的速度为15千米/小时，小明乘出租车的速度为45千米/小时． 【思路引导】本题考查分式方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设小刚骑自行车的速度为x千米/小时，则小明乘出租车的速度为3x千米/小时，根据题意列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设小刚骑自行车的速度为x千米/小时，则小明乘出租车的速度为3x千米/小时， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， 则， 答：小刚骑自行车的速度为15千米/小时，小明乘出租车的速度为45千米/小时． 题型讲练二十五 分式方程的工程问题 【例25】（25-26八年级下·全国·课后作业）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)设甲队单独完成这项工程需要天，将表格补充完整． 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据题干给出的已知条件和所设未知数，表示出表格中对应量； （2）根据总工程量为1，结合题干给出的工作过程找到等量关系，即可列出方程． 【规范解答】（1）解：工程问题中，通常将总工程量设为单位1， 已知甲队单独完成这项工程需要天，因此： 甲队工程总量为，所用时间为， 根据工作效率等于工程总量除以工作时间，可得甲队工程效率为， 由条件Ⅱ可知，乙队单独完成这项工程比规定日期多6天，规定日期等于甲队单独完成的时间，因此乙队所用时间为天，乙队工程总量为，工程效率为， 将表格补充完整如下： 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 1 乙队 1 （2）解：根据题意得： ． 【变式】（25-26八年级下·重庆·月考）某面包店加工甲、乙两种面包．每天加工甲种面包的数量是每天加工乙种面包数量的2倍，加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天． (1)求该面包店每天加工甲、乙两种面包的数量分别是多少份（列方程解答）？ (2)为提升品质与效率，该面包店对烘焙设备进行升级．升级后，每天加工甲种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份，且每天加工乙种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份．受原材料库存和烤箱容量的限制，面包店对加工计划有如下要求： ①为了避免原材料浪费和烤箱超负荷，甲种面包和乙种面包每天的加工数量之和不超过252份；②为了保证产品类型配比均衡，每天加工乙种面包的数量不低于每天加工甲种面包数量的一半．已知每售出1份甲种面包可获利8元，每售出1份乙种面包可获利12元，且每天加工的甲、乙两种面包当天全部售出．不考虑其他成本，当取何值时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每天加工甲种面包100份，乙种面包50份 (2)当时，每天获得的利润最大，最大利润是2360元 【思路引导】（1）设每天加工乙种面包份，则甲种面包为份，根据“加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天”列分式方程求解即可； （2）先表示出升级后甲、乙每天的加工数量，根据题目给出的两个限制条件列出不等式组，得到的取值范围，再列出总利润关于的一次函数，根据一次函数的性质求出最大利润即可． 【规范解答】（1）解：设该面包店每天加工乙种面包份，则每天加工甲种面包份. 根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该面包店每天加工甲种面包100份，乙种面包50份； （2）解：升级后，每天加工甲种面包的数量为份，每天加工乙种面包的数量为份. 根据题意列不等式组： ， 解第一个不等式得： ， 解第二个不等式得： ， 因此不等式组的解集为， 设每天获得的总利润为元， 根据题意得： ， ∵， 随的增大而增大， 当时，取得最大值， ， 答：当时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大，最大利润是2360元． 题型讲练二十六 分式方程的经济问题 【例26】（25-26八年级下·重庆·期中）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元 (2)共有三种购买方案，具体方案见解析 【思路引导】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，由此列不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元； （2）解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个， 依题意，得 解得：， ∵m为整数， ∴m可取42，43，44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品． 【变式】（25-26八年级下·四川眉山·期中）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的．求商店至少购进甲种茶叶多少千克？ 【答案】(1)每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元 (2)商店至少购进甲种茶叶千克 【思路引导】（1）设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元，由题意得：，即可得到答案； （2）设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克，由题意得：，解得，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设甲种茶叶的进价为元，乙种茶叶的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每千克甲种茶叶的进价为元，每千克乙种茶叶的进价为元； （2）解：设购进甲种茶叶千克，则购进乙种茶叶千克， 由题意得：， 解得， 答：商店至少购进甲种茶叶千克． 题型讲练二十七 分式方程和差倍分问题 【例27】（24-25八年级下·河北保定·期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人每分钟分拣快递的数量是B型机器人每分钟分拣数量的倍，且A型机器人分拣900件快递所用时间比B型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)问A型机器人每分钟分拣快递多少件？ (2)已知每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购A，B两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购A种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)A型号的机器人每分钟分拣快递150件 (2)该分拣仓库购进30台A型号的机器人时费用最低，所需最低费用为130万元 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，一次函数应用等知识点，审清题意、正确求得分式方程和一次函数解析式成为解题的关键． （1）设B型机器人每分钟分拣快递x件，则A型机器人每分钟分拣快递件．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买m个A型号机器人，所需费用为w万元．先根据“必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件”列不等式求得m的取值范围，然后再列出一次函数解析式并运用一次函数的性质求最值即可解答． 【规范解答】（1）解：设B型机器人每分钟分拣快递x件，则A型机器人每分钟分拣快递件． 依题意得：，解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 则（件）． 答：A型号的机器人每分钟分拣快递150件． （2）解：设购买m个A型号机器人，所需费用为w万元． 依题意得： 解得：， 又∵． ，， 随m的增大而增大， 当时，W取最小值，此时（万元）． ∴该分拣仓库购进30台A型号的机器人时费用最低，所需最低费用为130万元． 【变式】（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 【答案】16元 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键．设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元，根据“用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同”，即可列方程求解． 【规范解答】解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商店硬面笔记本的单价为16元． 题型讲练二十八 分式方程的其它实际问题 【例28】（25-26八年级上·天津河东·期末）某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，先由一台型数控机器人分拣了420件后，再由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． (1)型、型两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)该快递公司计划购买A型、B型数控机器人共5台，要求每小时总分拣量不低于390件，已知A型机器人单价12000元，B型机器人单价8000元．请直接写出当购买__________台A型数控机器人时总费用最低，最低费用是__________元． 【答案】(1)A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件 (2)； 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用． （1）设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递，利用工作时间工作总量工作效率，结合该任务由，两种型号的数控机器人接力9小时完成，可列出关于的分式方程； （2）设购买A型机器人台，则B型机器人台，根据要求每小时总分拣量不低于390件，可列出不等式，结合，为正整数，即可得出方案． 【规范解答】（1）解：设一台型数控机器人每小时分拣件快递，则一台型数控机器人每小时分拣1.5x件快递， 可得 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件； （2）解：设购买A型机器人台，则B型机器人台， 根据题意得：， 解得， ∵购买的机器人台数为非负整数， ∴且， 解得， ， ∵A型数控机器人的单价比B型数控机器人的单价贵， ∴A型数控机器人买的越少，总费用越低， ∴当时，即购买台A型数控机器人时总费用最低，总费用为元， 故答案为：；． 【变式】（25-26八年级上·北京大兴·期末）某合作社推进智慧农业转型，将西瓜种植从普通大棚升级为智能大棚．智能大棚搭载物联网温湿度传感器、水肥一体化滴灌系统与智能补光设备，可实现环境参数自动调控与精准种植．升级后，平均每公顷西瓜的产量增加了．已知升级前用普通大棚种植收获西瓜的土地，改用智能大棚种植后总产量增加了．求该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是多少？ 【答案】该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是 【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 依据题意，设该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是，则升级前平均每公顷产量为，从而，进而计算可以得解． 【规范解答】解：设该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是，则升级前平均每公顷产量为， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合实际意义． 答：该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先由甲的单件制作时间表示出乙的单件制作时间，再根据甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相等，进而列出方程． 【规范解答】解：若甲制作一件手工艺品需要小时，则乙制作一件手工艺品需要小时，则． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【规范解答】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 3．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【思路引导】根据二次根式和分式有意义的条件，二次根式被开方数需非负，分式分母不能为，据此列不等式求解即可. 【规范解答】解：∵式子在实数范围内有意义 ∴需同时满足二次根式和分式的有意义条件，可得 ， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【思路引导】将所求代数式拆分变形，再把已知条件整体代入计算即可得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）式子有意义的的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【规范解答】解：由题意可得：且， ∵， ∴恒成立， ∴． 6．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为______． 【答案】 【思路引导】先根据新定义运算得到关于的分式方程，再解分式方程并检验即可得到结果． 【规范解答】解：由定义新运算可知：， 即， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 经检验，是原分式方程的根． 7．（25-26八年级下·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【思路引导】（1）分别计算算术平方根、绝对值及零指数幂，再合并同类二次根式即可； （2）按照同分母分式加法法则计算，再约分，最后代入数值计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 当时，原式． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【思路引导】利用分式混合运算法则化简，得出最简结果，再把代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 9．（25-26八年级下·广西南宁·期中）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【答案】(1) 购买1套“安心”充电桩需要4万元，购买1套“优电”充电桩需要6万元 (2) 采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元 【思路引导】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【规范解答】（1）解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； （2）解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 10．（25-26八年级下·河南南阳·期中）“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． (1)求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； (2)超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 【答案】(1)品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元 (2)购进品牌粽子盒时，获得最大利润元 【思路引导】（1）利用“数量相等”的等量关系列分式方程求解进价； （2）建立利润关于品牌数量的一次函数，结合函数增减性和约束条件，求最大利润． 【规范解答】（1）解：设品牌粽子每盒进价为元，则品牌粽子每盒进价为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，则， 故品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元． （2）解：设购进品牌粽子盒，则购进品牌粽子盒，其中， 总利润， 随的增大而减小，则当取最小值时，最大， 故最大利润为：（元）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 分式与分式方程【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+17个题型讲练+真题实战练 共44题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 分式的求值 题型十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十六 分式加减混合运算 题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十七 分式加减的实际应用 题型四 判断分式变形是否正确 题型十八 分式加减乘除混合运算 题型五 求使分式变形成立的条件 题型十九 分式化简求值 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型二十 分式最值 题型七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型二十一 根据分式方程解的情况求值 题型八 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型二十二 分式方程无解问题 题型九 约分 题型二十三 列分式方程 题型十 最简分式 题型二十四 分式方程的行程问题 题型十一 最简公分母 题型二十五 分式方程的工程问题 题型十二 通分 题型二十六 分式方程的经济问题 题型十三 异分母分式加减法 题型二十七 分式方程和差倍分问题 题型十四 整式与分式相加减 题型二十八 分式方程的其它实际问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【易错点拨】根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有 .分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是 单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点十 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点十一 零指数 a0=1 (a≠0) 知识点十二 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十三 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 分式的求值 【例1】（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则________． 【变式】（25-26八年级上·山东德州·月考）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 题型讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例2】（24-25八年级下·河南南阳·月考）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． ∴不等式的解集是． ∴当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【变式】（24-25八年级上·福建福州·月考）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 题型讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例3】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”，类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： ；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当x=______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【变式】（23-24八年级上·湖南长沙·月考）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 题型讲练四 判断分式变形是否正确 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【变式】（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练五 求使分式变形成立的条件 【例5】（23-24八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【变式】根据分式的基本性质填空：．______ 题型讲练六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【变式】．（24-25八年级上·云南昆明·期末）把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 题型讲练七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例7】（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 题型讲练八 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例8】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【变式】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数． (1) (2)． 题型讲练九 约分 【例9】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·北京西城·期末）在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． (1)化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． (2)比较与的大小，并说明理由． 题型讲练十 最简分式 【例10】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【变式】（23-24八年级上·重庆开州·月考）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 题型讲练十一 最简公分母 【例11】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【变式】（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 题型讲练十二 通分 【例12】（25-26八年级下·河南南阳·月考）化简：，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 甲同学   解：原式 乙同学   解：原式 (1)甲同学解法的依据是_____，乙同学解法的依据是_____；（填序号） ①乘法交换律；②分式的基本性质；③乘法分配律；④等式的基本性质． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【变式】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是单项式． 例：计算． 解：原式， …… (1)请写出单项式_______________； (2)将该例题的解答过程补充完整； (3)请在，，中选择一个合适的数，代入化简后的结果求值． 题型讲练十三 异分母分式加减法 【例13】（25-26八年级下·山西临汾·期中）学完分式运算后，老师出了一道题：化简. 小明的做法：原式． 小芳的做法：原式． (1)以上解题过程中______同学是正确的，_____同学是错误的．请写出错误的原因：________； (2)请化简：． 【变式】（25-26八年级下·河南安阳·期中）先化简，再求值：，其中． 题型讲练十四 整式与分式相加减 【例14】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·福建厦门·期末）小明发现了一个数字游戏，游戏规则如下： ①有一组数字； ②每次随机去掉两个数字，如和，计算，结果记为，将与剩下的数字组成新的一组数字； ③重复②的操作，使得最后只剩下一个数字，记为． 小明用同一组数字重复多次游戏，发现最后剩下的数字始终不变． 根据游戏规则，若，则的值为_____．(用含的式子表示) 题型讲练十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例15】（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 【变式】（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，试确定A，B的值 题型讲练十六 分式加减混合运算 【例16】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式】（24-25八年级下·吉林长春·月考）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 题型讲练十七 分式加减的实际应用 【例17】．（25-26八年级上·上海·月考）为了将一张宽为的长方形纸片拼接成一个新的图形，我们进行如下的操作： ①先将纸片沿虚线剪开（图1）； ②然后将三角形部分沿所剪的方向向下平移一段距离，并将三角形沿虚线剪开（图2）； ③再将剪得的四边形部分沿第一次所剪的方向向上平移（图3）； ④得到新的图形（图4）． 在图4中延长，交于点，延长，交的延长线于点，如果四边是一个面积为的正方形，四边形是一个面积为的正方形． (1)请用两种不同的代数式来表示线段的长； (2)如果，求与之间的数量关系． 【变式】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 题型讲练十八 分式加减乘除混合运算 【例18】（25-26八年级下·北京大兴·期中）观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； (2)用含（是整数且）的式子表示第个等式 ，并证明． 【变式】25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 题型讲练十九 分式化简求值 【例19】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解． 【变式】（25-26八年级下·四川泸州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型讲练二十 分式最值 【例20】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式】（25-26八年级上·上海青浦·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为 ，此时 ． (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 题型讲练二十一 根据分式方程解的情况求值 【例21】（25-26八年级下·山东济南·期中）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是________． 【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 题型讲练二十二 分式方程无解问题 【例22】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 【变式】（25-26八年级上·广东云浮·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数字为（    ） A． B． C．2 D．1 题型讲练二十三 列分式方程 【例23】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·山东临沂·期末）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业，某物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料． (1)若有化工原料，A型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，B型机器人小时搬运完成，则每小时搬运______化工原料，两种机器人合作需______小时搬运完成． (2)若A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 题型讲练二十四 分式方程的行程问题 【例24】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【变式】（25-26八年级上·山东泰安·期末）周日，小明和小刚相约去万达广场看电影，请根据他们周六电话相约的内容及其它信息，算一下小明乘坐出租车和小刚骑自行车的平均速度各是多少千米每小时？ 小明：我查看了高德地图，我家离万达广场15千米，你家离万达广场10千米，我明天上午9点乘出租车从家里出发，咱们在万达广场西停车场入口处集合． 小刚：我家离万达广场比你家离万达广场近5千米，我骑自行车过去就行，我估计你打车的速度是我骑自行车速度的3倍，这个时间段的早交通高峰已过，一般不会堵车，我上午从家骑自行车出发，估计我们能同时达到． 周日上午，他们两人同时到达相约地点． 题型讲练二十五 分式方程的工程问题 【例25】（25-26八年级下·全国·课后作业）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)设甲队单独完成这项工程需要天，将表格补充完整． 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程________． 【变式】（25-26八年级下·重庆·月考）某面包店加工甲、乙两种面包．每天加工甲种面包的数量是每天加工乙种面包数量的2倍，加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天． (1)求该面包店每天加工甲、乙两种面包的数量分别是多少份（列方程解答）？ (2)为提升品质与效率，该面包店对烘焙设备进行升级．升级后，每天加工甲种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份，且每天加工乙种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份．受原材料库存和烤箱容量的限制，面包店对加工计划有如下要求： ①为了避免原材料浪费和烤箱超负荷，甲种面包和乙种面包每天的加工数量之和不超过252份；②为了保证产品类型配比均衡，每天加工乙种面包的数量不低于每天加工甲种面包数量的一半．已知每售出1份甲种面包可获利8元，每售出1份乙种面包可获利12元，且每天加工的甲、乙两种面包当天全部售出．不考虑其他成本，当取何值时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型讲练二十六 分式方程的经济问题 【例26】（25-26八年级下·重庆·期中）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． (1)求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【变式】（25-26八年级下·四川眉山·期中）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的．求商店至少购进甲种茶叶多少千克？ 题型讲练二十七 分式方程和差倍分问题 【例27】（24-25八年级下·河北保定·期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人每分钟分拣快递的数量是B型机器人每分钟分拣数量的倍，且A型机器人分拣900件快递所用时间比B型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)问A型机器人每分钟分拣快递多少件？ (2)已知每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购A，B两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购A种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【变式】（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 题型讲练二十八 分式方程的其它实际问题 【例28】（25-26八年级上·天津河东·期末）某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知型数控机器人每小时分拣快递件数是型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，先由一台型数控机器人分拣了420件后，再由一台型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成． (1)型、型两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)该快递公司计划购买A型、B型数控机器人共5台，要求每小时总分拣量不低于390件，已知A型机器人单价12000元，B型机器人单价8000元．请直接写出当购买__________台A型数控机器人时总费用最低，最低费用是__________元． 【变式】（25-26八年级上·北京大兴·期末）某合作社推进智慧农业转型，将西瓜种植从普通大棚升级为智能大棚．智能大棚搭载物联网温湿度传感器、水肥一体化滴灌系统与智能补光设备，可实现环境参数自动调控与精准种植．升级后，平均每公顷西瓜的产量增加了．已知升级前用普通大棚种植收获西瓜的土地，改用智能大棚种植后总产量增加了．求该合作社改用智能大棚种植后，平均每公顷西瓜的产量是多少？ 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花小时，甲小时制作手工艺品的数量与乙小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知，则代数式的值为________． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）式子有意义的的取值范围是______． 6．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为______． 7．（25-26八年级下·广西南宁·期中）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26八年级下·广西南宁·期中）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 10．（25-26八年级下·河南南阳·期中）“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． (1)求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； (2)超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $