6.1 平行四边形的性质及判定 分层练习 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级下册6.1平行四边形分层练习，以基础巩固、中档应用、综合拓展三级梯度设计，覆盖性质、判定等核心知识点，实现从单一概念到综合应用的进阶，适配新授课分层教学与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平行四边形单一性质（边长、对角等）、判定条件|以选择、填空为主，如求平行四边形边长、对角度数，直接应用概念，培养抽象能力与几何直观| |中档|性质与判定简单结合（对角线平分、周长面积计算）|包含简单证明与计算，如利用对角线互相平分证线段相等，提升推理意识与运算能力| |综合|性质判定综合应用、实际情境（梯形、动态几何）|结合动态问题（点运动形成平行四边形）、实际场景（直角梯形面积计算），发展创新意识与应用意识|

北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 分层练习 求边长或坐标 1在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(　　) A.3 B.5 C.2或3 D.3或5 2如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=4，AD=5，则EF的长度（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 3如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 4如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 求周长或面积 1如图，E是平行四边形内任一点，若S▱ABCD=18，则图中阴影部分的面积是（　　） A.6 B.8 C.9 D.10 2如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A.40 cm2 B.32 cm2 C.36 cm2 D.50 cm2 3平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________． 4如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积. 平行四边形的对角相等 1如图，在▱ABCD中，点E是BC延长线上一点，且∠A＝120°，则∠DCE的度数是(　　) A.120° B.60° C.45° D.30° 2如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.138° 3如图，在▱ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 4如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 5如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求 ∠AGB的度数． 6如图，在▱ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF. 平行四边形的对角线互相平分 1如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若AB=2，AC=8，BD=m,AD=n.则化简的结果为（　　） A.n+m-11 B.n-m-9 C.m-n+9 D.11-m-n 2如图，在平行四边形ABCD，O是AC，BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11 cm,则平行四边形ABCD的周长为（　　） A.20 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm 3如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则BC的长为(　　) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm 4如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为27，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是__________． 5如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F. (1)求证：OE＝OF； (2)若AB＝7，BC＝5，OE＝2，求四边形BCFE的周长． 6如图，▱ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，且PF∥CD交AD于F，求阴影部分的面积. 平行四边形的判定 1如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位长度/s的速度沿长度AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位长度/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为(　　) A.4 s B.3 s C.2 s D.1 s 2在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(　　) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边相等，一组对角相等 C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 3如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)当t＝__________ s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 4如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(4,0)，点C在y轴的正半轴上，且OB＝2OC，在坐标平面内确定点M，使得以点M，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为________________． 5如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上. (1)给出以下条件：①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO； (2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 6如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形． 平行四边形性质与判定的综合 1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是(　　) ①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC； ②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC； ③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点； ④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB. A.3 B.4 C.1 D.2 2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，AB=，EF=4，则CF的长是（　　） A. B. C.2 D. 4如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________． 5在▱ABCD中，两对角线交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有__________个． 6如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC.试问DE，DF与AB之间有什么关系吗？请说明理由． 7如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且CE＝AF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 平行线之间的距离 1如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　) A.AC＝BP B.△ABC的周长等于△BCP的周长 C.△ABC的面积等于△ABP的面积 D.△ABC的面积等于△PBC的面积 2直线a∥b，点A是直线a上的一个动点，若该点从如图所示的A点出发向右运动，那么△ABC的面积(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 3如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB∶CD＝1∶2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为________． 4如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________． 5如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值. 梯形的定义与识别 1下图中，属于梯形的是（ ） A.四边形ADEB B.四边形ADCB C.四边形AECB D.都不对 2观察下图，图中共有（ ）个梯形. A.1 B.2 C.3 D.4 3观察下图，梯形的两腰分别是         ，底角分别是          . 4观察下图，梯形的上底是         ，下底是          . 5已知梯形ABCD，请你画出梯形的高. 梯形的计算及相关证明 1如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，CM＝BM，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（　　） A.1cm      B.2cm      C.2.5cm      D.3cm 2在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，则AE2等于（　　） A.84    B.80    C.75    D.64 3如图，甲是直角三角形，乙是平行四边形，丙是直角梯形，则甲、乙、丙三个图形的面积之比是（　　） A.2：5：3    B.1：5：3    C.1：5：4    D.2：5：4 4如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．若AD＝4，CE＝3，则DE的长为　  　 ． 5如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，如果BC＝4，AD＝2，那么梯形ABCD的面积为　    　 ． 6如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 7位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1060m，CD＝460m，AD＝1000m． （1）求BC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 分层练习（参考答案） 1求边长或坐标 1在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(　　) A.3 B.5 C.2或3 D.3或5 【答案】D 【解析】①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2， ∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝8， ∴AB＝5； ②在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF+EF＝CD， ∵EF＝2， ∴BC＝BE＋CF+EF＝2AB＋EF＝8，∴AB＝3. 综上所述AB的长为3或5. 故选D. 2如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=4，AD=5，则EF的长度（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF=∠FCB， ∴∠DFC=∠DCF， ∴DF=DC， 同理可证AE=AB， ∵AB=4，AD=BC=5， ∴EF=AE+FD-AD=2AB-BC=3． 故选：C． 3如图，▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若AE＝3，则CF＝________. 【答案】3 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴DE＝BF， ∴AD－DE＝BC－BF， ∴AE＝CF， ∵AE＝3， ∴CF＝3. 4如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∵AF⊥BE， ∴BE=2BF， ∴BF=12， ∴AB===13， ∴AE=AB=13， ∴BC=AD=AE+DE=13+5=18. 2求周长或面积 1如图，E是平行四边形内任一点，若S▱ABCD=18，则图中阴影部分的面积是（　　） A.6 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB， 设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S阴影部分=S△EAD+S△ECB=AD•h1+CB•h2=AD(h1+h2)=S▱ABCD=9． 故选：C． 2如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，▱ABCD的面积为(　　) A.40 cm2 B.32 cm2 C.36 cm2 D.50 cm2 【答案】A 【解析】∵▱ABCD的周长为36 cm， ∴AB＋BC＝18 (cm)， ∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ∴4AB＝5BC， AB+AB=18(cm)，解得AB＝10 cm，BC＝8 cm， ∴▱ABCD的面积为AB·DE＝40 (cm2)． 故选A. 3平行四边形的周长为36 cm，相邻两边的比为1∶2，则它的两邻边长分别是________． 【答案】6 cm,12 cm 【解析】∵平行四边形的周长为36 cm， ∴AB＋BC＝36÷2＝18(cm)， ∵AB∶BC＝1∶2， ∴AB＝6（cm），BC＝12(cm). 4如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积. 【答案】解：连接EF， ∵F是▱ABCD的边CD上的点， ∴BE∥CF， ∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE， ∵BQ=FQ， ∴△EBQ≌△CFQ， ∴EQ=CQ， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴S△BEF＝2S△BQC＝16 cm2， ∵S△AED=S△AEF， ∴S△APD＝S△EPF＝2 cm2， ∴S阴影＝S△EPF+S△EBF＝18(cm2). 3平行四边形的对角相等 1如图，在▱ABCD中，点E是BC延长线上一点，且∠A＝120°，则∠DCE的度数是(　　) A.120° B.60° C.45° D.30° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BE， ∴∠B＝180°－∠A＝60°， ∴∠DCE＝∠B＝60°.故选B. 2如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　) A.42° B.48° C.58° D.138° 【答案】B 【解析】∵CE⊥AB，∠BCE＝42°， ∴∠B＝48°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝48°. 故选B. 3如图，在▱ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______. 【答案】23° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝67°， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠BCD＝67°， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝90°， ∴∠BCE＝90°－67°＝23°. 4如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________. 【答案】55° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C， 由折叠的性质，得∠D′AE＝∠C， ∴∠D′AE＝∠BAD， ∴∠D′AD＝∠BAE＝55°. 5如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求 ∠AGB的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 又∵BG＝DE， 在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE， ∴△ABG≌△CDE， ∴∠AGB＝∠CED， ∵∠CED＝∠AEF＝70°， ∴∠AGB＝70°. 6如图，在▱ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC， ∵点E，F分别为边BC，AD的中点， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． 4平行四边形的对角线互相平分 1如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若AB=2，AC=8，BD=m,AD=n.则化简的结果为（　　） A.n+m-11 B.n-m-9 C.m-n+9 D.11-m-n 【答案】C 【解析】在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∴AO=AC=4，AB=CD=2， 在△AOB中，AB=2， ∴AO-AB＜BO＜AB+AO， ∴2＜BO＜6， ∴4＜BD＜12， ∴4＜m＜12； 在△ACD中，AD=n,CD=2，AC=8， ∴AC-CD＜AD＜AC+CD， ∴6＜AD＜10， ∴6＜n＜10， ∴化简：=|n-10|+|m-1|=10-n+m-1=m-n+9， 故选：C． 2如图，在平行四边形ABCD，O是AC，BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11 cm,则平行四边形ABCD的周长为（　　） A.20 cm B.22 cm C.24 cm D.26 cm 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，AB=CD，AD=BC， ∵OE⊥AC， ∴ AE=CE， ∵△CDE的周长为11 cm, ∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+DE+AE=AD+CD=11(cm). ∴ ▱ABCD的周长为2（AD+CD）=2×11=22(cm)， 故选：B． 3如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则BC的长为(　　) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10 cm，BD＝6 cm， ∴OA＝OC＝AC＝5(cm)，OB＝OD＝BD＝3(cm)， ∵∠ODA＝90°， ∴AD＝4 cm， ∴BC＝AD＝4 cm， 故选A. 4如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为27，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是__________． 【答案】42 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝6， ∵△OCD的周长为27， ∴OD＋OC＝27－6＝21， ∵BD＝2DO，AC＝2OC， ∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD＋AC＝2(DO＋OC)＝42. 5如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F. (1)求证：OE＝OF； (2)若AB＝7，BC＝5，OE＝2，求四边形BCFE的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△OAE和△OCF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE＝OF. (2)解：∵△AOE≌△COF， ∴CF＝AE，OE＝OF， ∵AB＝7，BC＝5，OE＝2， ∴EF＝2OE＝4，BE＋CF＝BE＋AE＝AB＝7， ∴四边形BCFE的周长为EF＋BE＋BC＋CF＝4＋7＋5＝16. 6如图，▱ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，且PF∥CD交AD于F，求阴影部分的面积. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵PE∥BC， ∴PE∥AD， ∵PF∥CD， ∴PF∥AB， ∴四边形AEPF为平行四边形， ∴AO=PO，EO=FO，∠AOE=∠POF， ∴△POF≌△AOE（SAS）， ∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积， 过A作AM⊥BC交BC于点M， ∵∠B=60°，AB=4， ∴AM=2， ∴S△ABC=×5×2=5， 即阴影部分的面积等于5． 5平行四边形的判定 1如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位长度/s的速度沿长度AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位长度/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为(　　) A.4 s B.3 s C.2 s D.1 s 【答案】B 【解析】设运动时间为t s，则CP＝12－3t，BQ＝t，根据题意得到12－3t＝t，解得t＝3. 故选B. 2在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(　　) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边相等，一组对角相等 C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D.一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 【答案】C 【解析】A．错误，这个四边形有可能是等腰梯形； B．错误，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行； C．正确，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，故是平行四边形； D．错误，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行． 故选C. 3如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为t(s)当t＝__________ s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6 【解析】①当点F在C的左侧时， 根据题意得AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC－BF＝(6－2t) cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6－2t，解得t＝2； ②当点F在C的右侧时， 根据题意得AE＝t cm，BF＝2t cm，则CF＝BF－BC＝(2t－6)cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t－6，解得t＝6. 综上可得当t＝2或6时，以A, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形． 4如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(4,0)，点C在y轴的正半轴上，且OB＝2OC，在坐标平面内确定点M，使得以点M，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为________________． 【答案】(3,2),(－3,2),(5，－2) 【解析】如图， ①当BC为对角线时，易求M1(3,2)； ②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB，所以M2(－3,2)； ③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM，则|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB＋OA＝5， 所以M3(5，－2)． 综上所述，符合条件的点M的坐标是M1(3,2)，M2(－3,2)，M3(5，－2)． 5如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上. (1)给出以下条件：①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO； (2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：(1)选取①②， ∵在△BEO和△DFO中，∠1＝∠2，BO＝DO，∠EOB＝∠FOD， ∴△BEO≌△DFO(ASA). (2)由(1)得△BEO≌△DFO， ∴EO＝FO，BO＝DO， ∵AE＝CF， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形． 6如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO， 在△AOB和△COD中，∠BAO＝∠DCO，AO＝CO，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD(ASA)， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 6平行四边形性质与判定的综合 1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是(　　) ①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC； ②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC； ③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点； ④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB. A.3 B.4 C.1 D.2 【答案】A 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ACD＝S△ABC，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，S△ACD＝AC·DE，S△ABC＝AC·BF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形； ②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形； ③∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴DF＝CD，BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形； ④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB上一点，EF⊥AB，无法判定DF＝BE，∴四边形BFDE不一定是平行四边形． 故选A. 2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【解析】由平行四边形的判定方法可知，若是四边形的对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以. 故选B. 3如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，AB=，EF=4，则CF的长是（　　） A. B. C.2 D. 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD且AB=CD=， 又∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴DE=AB=， ∴CE=CD+DE=2， 在Rt△CFE中，由勾股定理得CF===2. 故选：C． 4如图，▱ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是________． 【答案】2 【解析】如题图，在▱ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.∵点E在CD的延长线上，∴AB∥ED.又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝ED，∴AB＝ED＝DC＝EC＝2. 5在▱ABCD中，两对角线交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有__________个． 【答案】4 【解析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形EFGH是平行四边形；根据SAS可分别证明：△AHD≌△CFB，△AFB≌△CHD，可得AH＝CF，AF＝CH，所以四边形AHCF是平行四边形；同理可得四边形BGDE是平行四边形，则以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH，ABCD，AHCF，BGDE，故有4个． 6如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，DF∥AC.试问DE，DF与AB之间有什么关系吗？请说明理由． 【答案】解：DE＋DF＝AB.理由如下： ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴AF＝DE， ∵AB＝AC，DF∥AC， ∴∠B＝∠C＝∠FDB， ∴BF＝DF， ∴DE＋DF＝AF＋BF＝AB. 7如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，且CE＝AF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC， ∵CE＝AF， ∴DF＝BE， 在△ABE和△CDF中， AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF. (2)由(1)可知，AF＝CE，AF∥CE， ∴四边形AFCE是平行四边形． 7平行线之间的距离 1如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n.则下列说法正确的是(　　) A.AC＝BP B.△ABC的周长等于△BCP的周长 C.△ABC的面积等于△ABP的面积 D.△ABC的面积等于△PBC的面积 【答案】D 【解析】∵A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，根据平行线之间的距离相等可得△ABC与△PBC是同底等高的三角形， 故△ABC的面积等于△PBC的面积． 故选D. 2直线a∥b，点A是直线a上的一个动点，若该点从如图所示的A点出发向右运动，那么△ABC的面积(　　) A.变大 B.变小 C.不变 D.不确定 【答案】C 【解析】如题图，∵a∥b， ∴a，b之间的距离是固定的， 而△ABC的高和这个距离相等， ∴△ABC的高、底边都是固定的， ∴△ABC的面积不变． 故选C. 3如图，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB∶CD＝1∶2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为________． 【答案】12 【解析】如图，过C作CM⊥AB于点M，过B作BN⊥CD于点N， ∵a∥b， ∴CM＝BN， ∴S△ABC＝BA·CM，S△CDB＝CD·BN， ∴S△ABC∶S△CDB＝AB∶CD＝1∶2， ∵△ABC的面积为6，∴△BCD的面积为12. 4如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为________． 【答案】10 【解析】过点A作AF⊥BD于点F， ∵△ABD的面积为16，BD＝8， ∴BD·AF＝×8AF＝16， 解得AF＝4， ∵AE∥BD， ∴AF的长是△ACE的高的长， ∴S△ACE＝×4AE＝×4×5＝10. 5如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值. 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且△ADB ≌△CBD， ∴S△ABD=S△CBD=S平行四边形ABCD， ∵点E为AB边中点， ∴S△ADE=S△BDE=S平行四边形ABCD， ∵FB=2DF， ∴S△DEF=S△BDE=S平行四边形ABCD， ∵AB∥CD， ∴S△CDE=S△DBC=S平行四边形ABCD， ∴S△DEF∶S△CDE=S平行四边形ABCD∶S平行四边形ABCD=1∶6． 8梯形的定义与识别 1下图中，属于梯形的是（ ） A.四边形ADEB B.四边形ADCB C.四边形AECB D.都不对 【答案】B 【解析】 解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，四边形ADCB符合梯形的定义，所以正确的选项是B. 故选B. 2观察下图，图中共有（ ）个梯形. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，有梯形ABCD，有梯形AEFD，有梯形BCFE，符合题意的是选项C. 故选C. 3观察下图，梯形的两腰分别是         ，底角分别是          . 【答案】 AB和DC; ∠A，∠B，∠C，∠D 【解析】 解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.其中平行的一组对边称为梯形的底，不平行的一组对边叫梯形的腰，所以梯形的两腰分别为AB和DC; 梯形的四个内角叫作梯形的底角，所这个梯形的底角分别为∠A，∠B，∠C，∠D. 4观察下图，梯形的上底是         ，下底是          . 【答案】 CB；AD 【解析】 解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.其中平行的一组对边称为梯形的底，较短的边为上底，较长的边为下底. 故答案为CB；AD. 5已知梯形ABCD，请你画出梯形的高. 【答案】 解：梯形的高是指从它的上底或下底上的一点向对边所作的垂线段.如图，作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F.则线段AE或DF即为所求. 9梯形的计算及相关证明 1如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，CM＝BM，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（　　） A.1cm      B.2cm      C.2.5cm      D.3cm 【答案】B 【解析】 解：过点D作DE⊥AB，过M作MF⊥BC， ∵BM＝CM， ∴CF＝BF， ∵∠ABC＝90°， ∴AB∥FM， ∵AB∥CD， ∴AB∥MF∥CD， ∴AM＝DM， ∴MF（DC+AB）＝8cm ∴MF＝DE＝8，又MN⊥AD， ∴∠NMF+∠DMF＝90°，又∠DMF+∠ADE＝90°，MF∥AB， ∴∠ADE＝∠NMF ∴Rt△ADE≌Rt△NMF（AAS）， ∴FN＝AE＝AB﹣CD＝2cm， 又FBBC＝4cm， ∴BN＝FB﹣FN＝2cm， 故选：B． 2在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB＝6，CD＝14，∠AEC是直角，CE＝CB，则AE2等于（　　） A.84    B.80    C.75    D.64 【答案】A 【解析】 解：如图，连接AC，过点A作AF⊥CD于点F，过点B作BG⊥CD于点G，则AF＝BG，AB＝FG＝6，DF＝CG＝4． 在直角△AFC中，AC2＝AF2+FC2＝AF2+102＝AF2+100， 在直角△BGC中，BC2＝BG2+GC2＝AF2+42＝AF2+16， 又∵CE＝CB，∠AEC＝90°， ∴AE2＝AC2﹣EC2＝AF2+100﹣（AF2+16）＝84，即AE2＝84． 故选：A． 3如图，甲是直角三角形，乙是平行四边形，丙是直角梯形，则甲、乙、丙三个图形的面积之比是（　　） A.2：5：3    B.1：5：3    C.1：5：4    D.2：5：4 【答案】C 【解析】 解：如图，∵直角三角形的面积2AB，平行四边形的面积＝5AB，直角梯形的面积（3+5）AB， ∴甲、乙、丙三个图形的面积之比是2AB：5AB：（3+5）AB＝1：5：4， 故选：C． 4如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．若AD＝4，CE＝3，则DE的长为　  　 ． 【答案】 1． 【解析】 解：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC， ∵CE⊥BD，∠A＝90°， ∴∠A＝∠BEC＝90°， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（AAS）， ∴AD＝BE＝4，AB＝CE＝3，BD＝BC， 由勾股定理可得：BC， ∴DE＝BD﹣BE＝5﹣4＝1， 故答案为：1． 5如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，如果BC＝4，AD＝2，那么梯形ABCD的面积为　    　 ． 【答案】 9． 【解析】 解：如图，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，过点D作DF⊥BC于F， ∵AC⊥BD， ∴DB⊥DE， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴BD＝AC， ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴DE＝AC＝BD，CE＝AD＝2， ∴△BDE为等腰直角三角形，BE＝4+2＝6， ∴DFBE＝3， ∴梯形ABCD的面积为：（4+2）×3＝9， 故答案为：9． 6如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BE＝AD，CE⊥BD，垂足为E． （1）求证：△ABD≌△ECB； （2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【答案】 （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）； （2）解：在Rt△BEC中，∠DBC＝50°， 则∠BCE＝90°﹣50°＝40°， 由（1）可知，△ABD≌△ECB， ∴BD＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣50°）＝65°， ∴∠DCE＝65°﹣40°＝25°． 7位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1060m，CD＝460m，AD＝1000m． （1）求BC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】 解：（1）作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°． 又∵∠B＝90°， ∴DE∥BC． 又∵AB∥DC， ∴四边形BCDE是平行四边形． ∴BC＝DE，BE＝CD＝460m． ∴AE＝1060﹣460＝600（m）． ∴． （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $