10.3 实际问题与二元一次方程组课件2025-2026学年 人教版 数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 回顾旧知 1. 二元一次方程组的求解思想是什么？消元有哪些方法？ 2. 代入消元法和加减消元法求解的步骤？分别用代入消元法和加减消元法解下面的方程组(1)和(2) (1) (2) 3. 简要说说列方程或者方程组解应用题的一般步骤. 合作探究 探究1 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg. 饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20kg，每头小牛1天需饲料7~8kg. 你认为李大叔估计得准确吗？ 需要分别求出每头大牛、小牛1天各需要多少kg的饲料. 题中的等量关系： 30头大牛一天的饲料+15头小牛一天的饲料=675kg 42头大牛一天的饲料+20头小牛一天的饲料=940kg 尝试分别列一元一次方程、二元一次方程组求解，并作比较. 合作探究 探究1 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg. 饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20kg，每头小牛1天需饲料7~8kg. 你认为李大叔估计得准确吗？ 列一元一次方程求解： 设每头大牛1天需要饲料x kg，则每头小牛1天需要饲料 kg， 可列方程： ... 列二元一次方程组求解： 设每头大牛1天需要饲料x kg，则每头小牛1天需要饲料y kg， 可列方程组： 解这个方程组，得 李大叔得估计准确吗？ 对两种解题方案做一个比较. 还可以怎样列方程组？ 合作探究 探究1续1 随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔想聘请饲养员代为管理现有的 42 头大牛和 20 头小牛，已知甲种饲养员每人可负责 8 头大牛和 4 头小牛，乙种饲养员每人可负责 5 头大牛和 2 头小牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人才能使所有的牛都恰好能被饲养到? 题中有哪些未知量？ 甲、乙种饲养员的人数未知. 设甲饲养员a人，乙饲养员b人. 题中有哪些等量关系？ 根据上面的等量关系列方程组求解吧 需要4名甲种饲养员和2名乙种饲养员. 合作探究 探究1续2 已知聘请3名甲种饲养员和4名乙种饲养员每天需花费1040元，聘请5名甲种饲养员和2名乙种饲养员每天需费用1320元，请问李大叔聘请甲、乙两种饲养员每天的花费是多少元? 题中有哪些未知量？ 1名甲、乙种饲养员每天所需的费用未知. 设1名甲饲养员每天需费用m元，1名乙饲养员每天需费用n元. 题中有哪些等量关系？ 根据上面的等量关系列方程组求解吧 李大叔聘请饲养员每天需花费1120元. 合作探究 审题 设元 列方程组 解方程组 检验作答 归纳一下列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 小试牛刀 1. 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯. A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元. 1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？ 2. 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7020元上升到8520元，原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元/t上调为300元/t，建筑垃圾清运费的收费标准由150元/t上调到180元/t. 这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？ 设1台甲型节能灯的售价为x元，1台乙型节能灯的售价为y元. 可列方程组： 设该公司去年的餐厨垃圾为x t，建筑垃圾为y t. 可列方程组： 方程组如何求解？ 还可以怎么列方程组？ 小试牛刀 3. 某港口码头使用A、B两种型号的机器人搬运货物. 在24h内，3台A型机器人和2台B型机器人共搬运货物450t，且每台A型机器人比B型机器人多搬运货物25t，每台A型机器人和每台B型机器人24h的搬运量分别是多少？ 4. 铜陵市市举办中学生象棋比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分. 顺安中学象棋队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分，试问该队胜几场? 平几场? 5. 一家超市的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的牙刷52支和牙膏28盒，收入518元. 这个记录是否有误？如果有误，请说明理由. 设24h每台A型机器人的搬运量是a t，每台B型机器人的搬运量是b t. 可列方程组： 设胜x场，则平y场. 可列方程组： 试一试3、4两题列方程求解！ 设每支牙刷的售价为x元，每盒 牙膏的售价为y元.可列方程组： 如何判断账目记录是否有误？ 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？ 合作探究 涉及到实际问题，有时候需要首先把实际问题抽象成数学语言. 长方形 ABCD，AB=CD=200 m，AD=BC =100 m，将长方形 ABCD 分割为两个小长方形分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是 1:2. 长方形分割成两个小长方形，有两种方案， 纵向分割和横向分割： 纵向分割： 横向分割： 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？ 合作探究 先看纵向分割： 设AE=x m，EB=y m，可列方程组： 方程②可改写成： 3×200y=4×100x 解方程组得： 由上结论，长方形土地该如何分割？ 这个方案里，有 . 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？ 合作探究 再看横向分割： 设DG=x m，AG=y m，可列方程组： 方程②可改写成： 3×400y=4×200x 解方程组得： 由上结论，长方形土地该如何分割？ 这个方案里，有 . 与纵向分割方案的结果一样. 分析一下，这是什么原因呢？ 小试牛刀 1. 如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、格列及对角线上的三个数之和均相等，x、y各应取什么值？ 2x 3 2 x+2y -3 4y 2. 在"幻方拓展课程"探索中，小明在如图所示的3×3的格子内填写了一些数和代数式，若幻方的各行、格列及对角线上的三个数之和均相等，则x-y= . 2x 3 2 x+2y -3 4y 3. 如图，学校规划在一块长18m、宽13m的长方形场地ABCD上，分别设计与AD、AB平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮. 如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边AM：AN=8：9，那么通道的宽是多少？ 小试牛刀 4. 如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求每个小长方形的长和宽分别是多少？ 设每个小长方形的长x cm，宽y cm. 可列方程组： 试一试：以上两题列方程求解！ 5. 在长为 20 m、宽为 16 m 的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积. 设小长方形的长x cm，宽y cm. 可列方程组： 合作探究 探究3 七年级书法兴趣小组到文具店购买A、B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是： (1)一次性购买A型毛笔不超过20支，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低0.4元. (2)一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元. 这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元. 这家文具店A、B型毛笔的零售价分别是多少？ 设A型毛笔的零售价格是a元/支，B型毛笔的零售价格是b元/支. 可列方程组： 毛笔销售分段收费. 以A型毛笔为例，假设A的零售价是a元/支，则购买x(x>20)支的费用为[20a+(x-20)(a-0.4)]元，比如，购买100支A型毛笔的费用为[20a+(100-20)(a-0.4)]=(100a-32) 元 探究3续 炎炎夏日，随着气温的升高，某空调专卖店销售的 A，B 两种空调销量迅速增长.已知 A 空调的进价为 0.2万元/台，售价为 0.5 万元/台； B 空调的进价为 0.4万元/台，售价为 0.7 万元/台.今年六月这两种空调的销售总额为 206 万元，总利润为 102 万元. 问这两种空调售出的台数分别是多少? 合作探究 关于产品销售的几个量： 利润=售价-进价 设 A 空调售出x台，B 空调售出y台.分别用x，y表示两种空调的总售价和总利润. A空调总售价 0.5x 万元，进价为0.2x万元，总利润是 0.3x 万元； B空调总售价 0.7y 万元，进价为0.4y万元，总利润是 0.3y 万元. 可列二元一次方程组： 小试牛刀 1. 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元. 若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张. 2. 某超市为促销，决定对A，B两种商品统一进行打8折销售. 打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元；打折后，小敏买50件A商品和40件B商品仅需 ⁠元. 3.列二元一次方程组解决下面问题： 为落实教育部门安排的学生社会实践活动，七年级(9)班开展了一次蔬菜售卖体验.其中第一小组花 128 元从蔬菜批发市场批发了豆角和土豆共 55 kg 到蔬菜市场去卖，豆角和土豆当天的批发价与零售价如表所示： 请问该小组当天卖完这些豆角和土豆可赚多少元？ 品名 豆角 土豆 批发价(元/kg) 2.4 2.2 零售价(元/kg) 3.8 3.3 合作探究 探究4 如下图 ，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连，这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地，已知长绒棉的进价为 3.08 万元/t，纺织面料的出厂价为 4.25 万元/t，公路运价为 0.5 元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5200 元，铁路运费 16640 元. 那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元? 销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设购买x t 长绒棉，制成y t 纺织面料.根据题中数量关系填写下表 价值/元 x t长绒棉 y t纺织面料 合计/元 公路运费/元 铁路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 0.2×110y 0.2×120x 0.5(10x+20y) 0.2(120x+110y) 30800x 42500y 合作探究 探究4 如下图 ，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连，这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B 地，已知长绒棉的进价为 3.08 万元/t，纺织面料的出厂价为 4.25 万元/t，公路运价为 0.5 元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5200 元，铁路运费 16640 元. 那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元? 题目所求的是 . 为此需先解出 与 . 由前面表格，可列方程组： ⇒42500×320-(400×30800+5200+16640) =1258160 这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1258160元. 对于复杂问题，可以通过列表的方法将所有的数量关系进行整理，发现等量关系，列出方程组. 合作探究 探究5 有一批零件共420个，如果甲先做2天后乙加入合做，那么再做2天完成；如果乙先做2天后甲加入合做，那么再做3天完成. 则甲、乙两人每天分别做多少个零件? 工程问题： 1. 通常需要把总工作量看作是"1" 2. 工作量=工作效率×工作时间 合做的工作效率=参与合做的工作效率的和 设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，可列方程组： 小试牛刀 2. 在某外环公路建设过程中，准备让甲、乙两个工程队接力完成. 已知甲工程队独立完成这项工程需要 20 天，每天要支付甲工程队 2000 元；乙工程队独立完成这项工程需要 15 天，每天要支付乙工程队 3000 元；最后一共支付甲乙工程队 42000 元，请问甲、乙两个工程队分别工作了多少天? 1. 为完善某市城市路网，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，5月起，该市各道路维修改造工程有序进行.已知甲工程队工作1天和乙工程队工作2天共修路400米，甲工程队工作2天和乙工程队工作3天共修路700米，求甲、乙两工程队每天分别修路多少米. 合作探究 探究6 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需11 min，从学校到家里需14 min. 问小华家离学校多远? 行程问题： 1. 路程=速度×时间 2. 平均速度=总路程÷总时间 3. 相遇问题：速度求和 追赶问题：速度差 设小华家和学校之间平路x m，坡路y m. 填写下面的表格： 上坡路程 平路路程 下破路程 总用时 家里到学校 学校到家里 由表格，可列 二元一次方程： ⇒x+y=720 小华家离学校720m. 小试牛刀 1. 甲、乙两人相距4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲2 h 后追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少? 3. 两地相距280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用14 h，逆流用20 h.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 2. 甲、乙两人匀速骑车分别从相距60千米的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2小时后相遇；若两人同向而行，甲在出发后6小时追上乙，则甲的速度为 千米/时. 小试牛刀 4. 甲地到乙地由一段上坡路和一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练. 如果他保持上坡的速度为30km/h，平路的速度为40km/h，下坡的速度为50km/h，那么他从甲地骑行到乙地需54min，从乙地骑行到甲地需42min. 甲地到乙地全程是多少千米？ 6. 编一道符合实际意义的应用题，使其中的未知数满足方程组： 与同学交流一下，并解决这个问题. 5. 甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发，2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇. 已知小轿车比大客车每小时多行驶20千米，设大客车每小时行驶x千米，小轿车每小时行驶y千米，则可列方程组为 . 再 见 $